2020 年高考数学第四次模拟试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）
1．已知函数 f（x）＝x2﹣2x，集合 A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则 A∩B＝（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，2]
C．[0，1] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
2．设 i 是虚数单位，若复数 z＝1+i，则 +z2＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnx
B．∃x0∈（0，1），e ＞lnx0
C．∃x0∈（0，1），e ＜lnx0
D．∃x0∈（0，1），e ≤lnx0
4．已知| |＝ ，| |＝2，若 ⊥（ ﹣ ），则向量 + 在向量 方向的投影为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．在三角形 ABC 中，“sinA＞sinB”是“tanA＞tanB”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A． B．6 C． D．
7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的
体积为（ ）A．24π+9 B．48π+9 C．48π+18 D．144π+18
8．函数 y＝cos2x﹣ sin2x（x∈[0， ]）的单调递增区间是（ ）
A．[0， ] B．[0， ] C．[ ， ] D．[ ， ]
9．在平面直角坐标系中，若不等式组 所表示的平面区域内存在点（x0，y0）
，使不等式 x0+my0+1≤0 成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣ ] B．（﹣∞，﹣ ] C．[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]
10．已知函数 f（x）＝ex﹣1+x﹣2 的零点为 m，若存在实数 n 使 x2﹣ax﹣a+3＝0 且|m﹣n|≤
1，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[2，4] B．[2， ] C．[ ，3] D．[2，3]
11．已知双曲线 E： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线 E 的右焦点与抛
物线 y2＝4x 的焦点 F 重合；②双曲线 E 与过点 P（4，2）的幂函数 f（x）＝xa 的图象
交于点 Q，且该幂函数在点 Q 处的切线过点 F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是
（ ）
A． B． C． D． +1
12．已知函数 f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的 x0∈（0，e]，函数 g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0
）+1 在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（1，e] B．（e﹣ ，e] C．（e﹣ ，e+ ] D．（1，e﹣ ]
二、填空题（共 4 小题）
13．（1﹣2x）（1+x）6 的展开式中 x2 的系数为 ．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条
边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平
方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的
那个数，相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1 作为“隅”，开平方后即得面积．
所谓“实”、“隅”指的是在方程 px2＝q 中，p 为“隅”，q 为“实”．即若△ABC 的
大斜、中斜、小斜分别为 a，b，c，则 S2＝ [a2c2﹣（ ）2]．已知点 D 是△
ABC 边 AB 上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝ ，则△ABC
的面积为 ．
15．过直线 y＝kx+7 上一动点 M（x，y）向圆 C：x2+y2+2y＝0 引两条切线 MA，MB，切点
为 A，B，若 k∈[1，4]，则四边形 MACB 的最小面积 S∈[ ， ]的概率为
16．三棱锥 S﹣ABC 中，点 P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一点．给出下列四个命题：
①若 SA⊥平面 ABC，则三棱锥 S﹣ABC 的四个面都是直角三角形；
②若 AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面 ABC，则三棱锥 S﹣ABC 的外接球体积为 32
；
③若 AC＝3，BC＝4，SC＝ ，S 在平面 ABC 上的射影是△ABC 内心，则三棱锥 S﹣ABC
的体积为 2；
④若 AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面 ABC，则直线 PS 与平面 SBC 所成的最大角为
60°．
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a4+a6＝18，S11＝121．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 bn＝（an+3）2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn．
18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了 50 名男生
和 50 名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统
计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于 90 本，则称该学生为“书虫”
．
（1）根据频率分布直方图填写下面 2×2 列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过
5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？
男生 女生 总计
书虫
非书虫
总计
附：K2＝
P（k2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024
（2）从所抽取的 50 名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为 X，求 X 的分布列和
数学期望．
19．如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且∠
DAB＝60°，点 F 是 BC 的中点．
（1）求证：BD⊥EF；
（2）求二面角 E﹣DF﹣B 的余弦值．20．已知 F1，F2 为椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点 P（1， ）在椭圆
上，且过点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，△AF1B 的周长为 8．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F 的弦 AB 满足
|AF|+|BF|＝ |AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数 λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•
|BF2|成立，若存在求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣2+1．
（1）求函数 f（2x）在 x＝1 处的切线方程；
（2）若不等式 f（x+y）+f（x﹣y）≥mx 对任意的 x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，
求实数 m 的取值范围．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题
号.[选修 4-4 坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝ cos（ ）．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|AB|．
[选修 4-5 不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+2|．
（1）求不等式 f（2x）﹣f（x﹣4）＞2 的解集；
（2）当 a＞0 时，不等式 f（ax）+af（x）≥a+1 恒成立，求实数 a 的取值范围．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1．已知函数 f（x）＝x2﹣2x，集合 A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则 A∩B＝（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，2]
C．[0，1] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【分析】求出集合 A，B，由此能求出 A∩B．
解：∵函数 f（x）＝x2﹣2x，集合 A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，
∴A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，
B＝{2x﹣2≤0}＝{x|x≤1}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．
故选：C．
2．设 i 是虚数单位，若复数 z＝1+i，则 +z2＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．
解：复数 z＝1+i，|z|＝ ，z2＝（1+i）2＝2i，
则 +z2＝ ＝ ＝1﹣i+2i＝1+i
故选：A．
3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnx
B．∃x0∈（0，1），e ＞lnx0
C．∃x0∈（0，1），e ＜lnx0
D．∃x0∈（0，1），e ≤lnx0
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．
解：全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是：
“∃x∈（0，1），e﹣x≤lnx”．故选：D．
4．已知| |＝ ，| |＝2，若 ⊥（ ﹣ ），则向量 + 在向量 方向的投影为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为 0，以及向量的平方即为模的平方，和向量投
影的概念，计算即可得到所求值．
解：| |＝ ，| |＝2，若 ⊥（ ﹣ ），
则 •（ ﹣ ）＝0，
即为 • ＝ 2＝3，
（ + ）• ＝ • + 2＝3+4＝7，
则向量 + 在向量 方向的投影为
＝ ．
故选：B．
5．在三角形 ABC 中，“sinA＞sinB”是“tanA＞tanB”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
解：sinA＞sinB⇔a＞b⇔π＞A＞B＞0，
∵π＞A＞B＞0 推不出 tanA＞tanB，
tanA＞tanB 推不出 π＞A＞B＞0，
∴“sinA＞sinB”是“tanA＞tanB”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A． B．6 C． D．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量 n×S 的值，
模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：执行程序框图，可得
S＝0，n＝2，满足条件，
S＝ ，n＝4，满足条件，
S＝ ＝ ，n＝6，满足条件，
S＝ + ＝ ，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为
＝ ．
故选：D．
7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的
体积为（ ）
A．24π+9 B．48π+9 C．48π+18 D．144π+18
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．
解 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 知 圆 锥 底 面 半 径 为 ， 圆 锥 的 高 h ＝
，圆锥母线 l＝ ，截去的底面弧的圆心角为 120°，
底 面 剩 余 部 分 的 面 积 为 S ＝ ＝
，
故几何体的体积为：V＝ ，
故选：C．8．函数 y＝cos2x﹣ sin2x（x∈[0， ]）的单调递增区间是（ ）
A．[0， ] B．[0， ] C．[ ， ] D．[ ， ]
【分析】利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的单调性进行求解即可．
解：因为 y＝cos2x﹣ sin2x＝2cos（2x+ ），
由 2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，k∈Z，
解得 2kπ﹣ ≤2x≤2kπ﹣ ，k∈Z，
即 kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣ ，kπ﹣ ]，k∈Z，
所以当 k＝1 时，增区间为[ ， ]，
∵x∈[0， ]，
∴增区间为[ ， ]，
故选：D．
9．在平面直角坐标系中，若不等式组 所表示的平面区域内存在点（x0，y0）
，使不等式 x0+my0+1≤0 成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣ ] B．（﹣∞，﹣ ] C．[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的
关系进行求解即
解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中 A（2，6），直线 x+my+1＝0 过定点 D（﹣1，0），
当 m＝0 时，不等式 x+1≤0 表示直线 x+1＝0 及其左边的区域，不满足题意；当 m＞0 时，直线 x+my+1＝0 斜率﹣ ＜0，不等式 x+my+1≤0 表示直线 x+my+1＝0 下
方的区域，不满足题意；
当 m＜0 时，直线 x+my+1＝0 的斜率﹣ ＞0，不等式 x+my+1≤0 表示直线 x+my+1＝0
上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），
使不等式 x0+my0+1≤0 成立，只需直线 x+my+1＝0 的斜率﹣ ≤KAD＝2，
解得 m ．
综上可得实数 m 的取值范围为（﹣∞，﹣ ]，
故选：B．
10．已知函数 f（x）＝ex﹣1+x﹣2 的零点为 m，若存在实数 n 使 x2﹣ax﹣a+3＝0 且|m﹣n|≤
1，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[2，4] B．[2， ] C．[ ，3] D．[2，3]
【分析】先对函数 f（x）求导，然后结合导数与函数的性质可求 m，代入不等式可求 n
的范围，问题转化为：使方程 x2﹣ax﹣a+3＝0 在区间[0，2]上有解，分离参数后结合对
勾函数的性质可求．
解：因为 f（x）＝ex﹣1+x﹣2，且 f（1）＝0，
所以函数 f′（x）＝ex﹣1+x﹣2 单调递增且有唯一的零点为 m＝1，
所以|1﹣n|≤1，∴0≤n≤2，问题转化为：使方程 x2﹣ax﹣a+3＝0 在区间[0，2]上有解，
即 a＝ ＝ ＝x+1+ ﹣2，在区间[0，2]上有解
，而根据“对勾函数”可知函数 y＝x+1+ ﹣2，在区间[0，2]的值域为[2，3]，
∴2≤a≤3，
故选：D．
11．已知双曲线 E： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线 E 的右焦点与抛
物线 y2＝4x 的焦点 F 重合；②双曲线 E 与过点 P（4，2）的幂函数 f（x）＝xa 的图象
交于点 Q，且该幂函数在点 Q 处的切线过点 F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是
（ ）A． B． C． D． +1
【分析】先根据导函数的几何意义求出点 Q 的坐标，再代入双曲线方程结合 c＝1，c2＝
a2+b2，从而求出离心率．
解：依题意可得，抛物线 y2＝4x 的焦点为 F（1，0），F 关于原点的对称点（﹣1，0），
∵2＝4α， ，所以 ，f'（x）＝ ，
设 Q ，则 ，解得 x0＝1，
∴Q（1，1），可得 ，又 c＝1，c2＝a2+b2，可解得 a＝ ，
故双曲线的离心率是 ，
故选：B．
12．已知函数 f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的 x0∈（0，e]，函数 g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0
）+1 在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（1，e] B．（e﹣ ，e] C．（e﹣ ，e+ ] D．（1，e﹣ ]
【分析】函数 g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1 在（0，e]内都有两个不同的零点，等价
于方程 lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．利用导数可得，当 x∈（0
，e]，0＜f（x）≤1．设 F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，分析知 F′（x）＝0 在（0，e）有解，
且易知只能有一个解．设其解为 x1，可得当 x∈（0，x1）时，F（x）在（0，x1）上是增
函数；当 x∈（x1，e）时，F（x）在（x1，e）上是减函数．结合∀x0∈（0，e]，方程 lnx﹣
x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，得 F（x）max＝F（x1）＞1，且 F（e）≤
0．由此求得 1＜a＜2e ．
解：函数 g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1 在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方
程 lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．
f′（x）＝e1﹣x﹣xe1﹣x＝（1﹣x）e1﹣x，
∴当 x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当 x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，因此 0＜f（x）≤1．
设 F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，F′（x）＝ ，
若 F′（x）＝0 在（0，e）上无解，则 F（x）在（0，e]上是单调函数，不合题意；F′（x）＝0 在（0，e）有解，且易知只能有一个解．
设其解为 x1，当 x∈（0，x1）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，x1）上是增函数；
当 x∈（x1，e）时，F′（x）＜0，F（x）在（x1，e）上是减函数．
∵∀x0∈（0，e]，方程 lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，∴F（x）max
＝F（x1）＞1，且 F（e）≤0．
由 F（e）≤0，即 lne﹣e2+ae+1≤0，解得 a≤e﹣ ．
由 F（x）max＝F（x1）＞1，即 ＞1，∴ ＞0．
∵ ，∴ ，代入 ＞0，得 ＞0
．
设 m（x）＝lnx+x2﹣1，m′（x）＝ ＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函数，
而 m（1）＝ln1+1﹣1＝0，由 ＞0，可得 m（x1）＞m（1），得 1＜x1＜e
．
由 在（1，e）上是增函数，得 1＜a＜2e ．
综上所述 1＜a≤e﹣ ，
故选：D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上.）
13．（1﹣2x）（1+x）6 的展开式中 x2 的系数为 3 ．
【分析】由二项式定理及展开式的通项公式即可求解．
解：由（1﹣x）6 展开式的通项为：Tr+1＝（﹣1）r xr；
得（1﹣2x）（1+x）6 的展开式中 x2 的系数为 +（﹣2） ＝3．
故答案为：3．
14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条
边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平
方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的
那个数，相减后余数被 4 除，所得的数作为“实”，1 作为“隅”，开平方后即得面积．
所谓“实”、“隅”指的是在方程 px2＝q 中，p 为“隅”，q 为“实”．即若△ABC 的大斜、中斜、小斜分别为 a，b，c，则 S2＝ [a2c2﹣（ ）2]．已知点 D 是△ABC
边 AB 上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝ ，则△ABC 的面
积为 ．
【分析】由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求 cos∠ACB，然后结合余弦定
理可求 AB，代入已知公式即可求解．
解：因为 tan∠ACB＝tan（∠ACD+∠BCD）＝ ＝﹣ ，
所以 cos∠ACB＝﹣ ，
由余弦定理可知 AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，
＝ ＝16，
即 AB＝4，
根据“三斜求积术”可得 S2＝ ＝ ，
所以 S＝ ．
故答案为：
15．过直线 y＝kx+7 上一动点 M（x，y）向圆 C：x2+y2+2y＝0 引两条切线 MA，MB，切点
为 A，B，若 k∈[1，4]，则四边形 MACB 的最小面积 S∈[ ， ]的概率为
【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形面积的最小值求出 MC 的最小值，利用点到
直线的距离求解即可．
解：连接 MC，由圆的切线性质可知，AC⊥MA，BC⊥MB，
又因为圆 C：x2+y2+2y＝0 的圆心 C（0，﹣1），半径 r＝1，
所以 SMACB＝2△MAC＝2× ＝MA＝ ，
要使得四边形 MACB 的面积最小，则 MC 最小，即当 CM 垂直直线 y＝kx+7 时，满足题
意，
此时|MC|min＝ ，SMACB 的最小值为 ，
又因为 1≤k≤4，解可得， ，
故所求的概率为： ．
故答案为： ．
16．三棱锥 S﹣ABC 中，点 P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一点．给出下列四个命题：
①若 SA⊥平面 ABC，则三棱锥 S﹣ABC 的四个面都是直角三角形；
②若 AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面 ABC，则三棱锥 S﹣ABC 的外接球体积为 32
；
③若 AC＝3，BC＝4，SC＝ ，S 在平面 ABC 上的射影是△ABC 内心，则三棱锥 S﹣ABC
的体积为 2；
④若 AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面 ABC，则直线 PS 与平面 SBC 所成的最大角为
60°．
其中正确命题的序号是 ①②③ ．（把你认为正确命题的序号都填上）
【分析】①由线面垂直的判定定理与性质定理即可判断；
②三棱锥 S﹣ABC 的外接球可以看作棱长为 4 的正方体的外接球，进而求出外接球的半
径，即可得解；
③由线面垂直的判定定理可知 SO⊥平面 ABC，所以 SO⊥OC，再结合勾股定理以及内
切圆的半径公式可求得 SO＝1，最后利用三棱锥的体积公式即可得解；
④因为 SA⊥平面 ABC，所以直线 PS 与平面 SBC 所成的角最大时，P 点与 A 点重合，
再在△SCA 中，求出 tan∠ASC 即可得解．
解：对于①，因为 SA⊥平面 ABC，所以 SA⊥AC，SA⊥AB，SA⊥BC，又 BC⊥AC，所以 BC⊥平面 SAC，所以 BC⊥SC，故四个面都是直角三角形，∴①正确；
对于②，若 AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面 ABC，∴三棱锥 S﹣ABC 的外接球可以
看作棱长为 4 的正方体的外接球，
∴ ， ，∴体积为 ，∴②正确；
对于③，设△ABC 内心是 O，则 SO⊥平面 ABC，连接 OC，则有 SO2+OC2＝SC2，又内
切圆半径 ，
所以 ，SO2＝SC2﹣OC2＝3﹣2＝1，故 SO＝1，∴三棱锥 S﹣ABC 的体积为
，∴③正确；
对于④，若 SA＝3，SA⊥平面 ABC，则直线 PS 与平面 SBC 所成的角最大时，P 点与 A
点重合，
在 Rt△SCA 中， ，∴∠ASC＝45°，即直线 PS 与平面 SBC 所成
的最大角为 45°，∴④不正确，
故答案为：①②③．
三、解答题（共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a4+a6＝18，S11＝121．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 bn＝（an+3）2n，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn．
【分析】（1）设数列{an}的公差为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可
得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得 bn＝（n+1）•2n+1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，
化简可得所求和．
解：（1）设数列{an}的公差为 d，a4+a6＝18，可得 2a1+8d＝18，即 a1+4d＝9，
S11＝121，可得 11a1+ ×11×10d＝121，即 a1+5d＝11，
解得 a1＝1，d＝2，
可得 an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由（1）可知 bn＝（an+3）2n＝（n+1）•2n+1，
数列{bn}的前 n 项和为 Tn＝2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1，
2Tn＝2•23+3•24+…+（n+1）•2n+2，两式作差，得﹣Tn＝8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）•2n+2
＝8+ ﹣（n+1）•2n+2，
化简可得 Tn＝n•2n+2．
18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了 50 名男生
和 50 名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统
计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．
如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于 90 本，则称该学生为“书虫”
．
（1）根据频率分布直方图填写下面 2×2 列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过
5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？
男生 女生 总计
书虫
非书虫
总计
附：K2＝
P（k2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024
（2）从所抽取的 50 名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为 X，求 X 的分布列和
数学期望．
【分析】（1）由已知可得列联表，利用 K2 计算公式即可得出．
（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为 4，X 的所有可能取值为 0，1，2，
利用超几何分布列计算公式即可得出．解：（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为 12，38，女生书虫、
非书虫的人数分别为 4，46，故得如下 2×2 列联表：
男生 女生 总计
书虫 12 4 16
非书虫 38 46 84
总计 50 50 100
根据列联表中数据可得：K2＝ ＝4.762．
由于 4.762＞3.841，
所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．
（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为 4，X 的所有可能取值为 0，1，2，
则 P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2）＝ ＝
，
故 X 的分布列为
X 0 1 2
P
X 的数学期望为 E（X）＝0× +1× +2× ＝ ．
19．如图，已知边长为 2 的正三角形 ABE 所在的平面与菱形 ABCD 所在的平面垂直，且∠
DAB＝60°，点 F 是 BC 的中点．
（1）求证：BD⊥EF；
（2）求二面角 E﹣DF﹣B 的余弦值．
【分析】（1）取 AB 的中点 O，连结 EO，OF，AC，由题意知 EO⊥AB．EO⊥平面 ABCD
．EO⊥BD，由四边形 ABCD 为菱形，得 BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明 BD⊥平面 EOF
．从而 BD⊥EF．（2）连结 DO，由题意知 EO⊥AB，DO⊥AB．推导出 DO⊥平面 ABE，以 O 为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz．利用向量法能求出二面角 E﹣DF﹣B 的余弦值
．
解：（1）证明：取 AB 的中点 O，连结 EO，OF，AC，由题意知 EO⊥AB．
又因为平面 ABCD⊥平面 ABE，所以 EO⊥平面 ABCD．
因为 BD⊂平面 ABCD，所以 EO⊥BD，
因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BD⊥AC，
又因为 OF∥AC，所以 BD⊥OF，所以 BD⊥平面 EOF．
又 EF⊂平面 EOF，所以 BD⊥EF．
（2）解：连结 DO，由题意知 EO⊥AB，DO⊥AB．
又因为平面 ABCD⊥平面 ABE，所以 DO⊥平面 ABE，
以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz．
则 O（0，0，0），E（ ，0，0），D（0，0， ），F（0， ， ），B（0，1，0
），
＝（ ，0，﹣ ）， ＝（0， ）．
设平面 DEF 的一个法向量为 ＝（x，y，z），
则 ，令 x＝1，所以 ＝（1， ，1）．
又由（1）可知 EO⊥平面 ABCD，所以平面 DFB 的一个法向量为 ＝（1，0，0），
设二面角 E﹣DF﹣B 的平面角为 θ，
则 cosθ＝ ＝ ．20．已知 F1，F2 为椭圆 E： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点 P（1， ）在椭圆
上，且过点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，△AF1B 的周长为 8．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F 的弦 AB 满足
|AF|+|BF|＝ |AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数 λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•
|BF2|成立，若存在求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出 a，设出椭圆方程，代入点的
坐标求解即可点的椭圆方程．
（2）求出 F2（1，0），设直线 l 的方程为 x＝my+1，与椭圆方程联立，消去 x，整理得
（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，不妨设 y1＞0，
y2＜0，求出|AF2|，|BF2|，通过 ，转化求解，推出|AF2|+|BF2|＝ |AF2|•
|BF2|，点的存在实数 ．
解：（1）根据椭圆的定义，可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，
△AF1B 的周长为 4a＝8，得 a＝2，所以，椭圆 E 的方程为： + ＝1，
将点 P（1， ）代入椭圆 E 的方程可得 b＝ ，所以椭圆 E 的方程为 + ＝1．
（2）由（1）可知 c＝ ＝1，得 F2（1，0），
依题意可知直线 l 的斜率不为 0，故可设直线 l 的方程为 x＝my+1，
由 消去 x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1+y2＝ ， ，
不妨设 y1＞0，y2＜0，|AF2|＝ ＝ ＝
，
同理|BF2|＝ ，所 以 ＝ ＝ ＝ •
＝ ，
即|AF2|+|BF2|＝ |AF2|•|BF2|，所以存在实数 ，
使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．
21．已知函数 f（x）＝ex﹣2+1．
（1）求函数 f（2x）在 x＝1 处的切线方程；
（2）若不等式 f（x+y）+f（x﹣y）≥mx 对任意的 x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，
求实数 m 的取值范围．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；
（2））根据题意可得 ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2≥mx，对任意的 x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成
立，当 x＝0 时，不等式即为 ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当 x＞0 时，设 g（x）＝ex+y
﹣2+ex﹣y﹣2+2，则不等式 ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2≥mx 恒成立，即为不等式 g（x）≥mx 恒成立
，利用基本不等式得到 对 x∈（0，+∞） 恒成立，令 h（x）＝ ，
利用导数得到当 x＝2 时，h（x） 取得最小值，为 h（2）＝ ，所以 m≤2，
从而求得 实数 m 的取值范围．
解：（1）设 t（x）＝f（2x）＝e2x﹣2+1，则 t'（x）＝2e2x﹣2，
当 x＝1 时，t（1）＝2，t'（1）＝2，
∴函数 f（2x） 在 x＝1 处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即 2x﹣y＝0；
（2）根据题意可得 ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2≥mx，对任意的 x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，
当 x＝0 时，不等式即为 ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2≥0，显然成立，
当 x＞0 时，设 g（x）＝ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，则不等式 ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2≥mx 恒成立，即为
不等式 g（x）≥mx 恒成立，
∵g（x）＝ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2＝ex﹣2（ey+e﹣y）+2 （
当且仅当 y＝0 时取等号），∴由题意可得 2ex﹣2+2≥mx，即有 对 x∈（0，+∞） 恒成立，
令 h（x）＝ ，则 h'（x）＝2× ＝2× ，
令 h'（x）＝0，即有（x﹣1）ex﹣2＝1，令 m（x）＝（x﹣1）ex﹣2，则 m'（x）＝ex﹣2+（
x﹣1）ex﹣2＝xex﹣2，
当 x＞0 时，m'（x）＝xex﹣2＞0，∴m（x） 在（0，+∞） 上单调递增，
又∵m（2）＝（2﹣1）e2﹣2＝1，∴（x﹣1）ex﹣2＝1 有且仅有一个根 x＝2，
当 x∈（2，+∞） 时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当 x∈（0，2）时，h'（x）＜0，h
（x） 单调递减，
∴当 x＝2 时，h（x） 取得最小值，为 h（2）＝ ，∴m≤2，
∴实数 m 的取值范围（﹣∞，2]．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题
号.[选修 4-4 坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝ cos（ ）．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求|AB|．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
解：（Ⅰ）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．
转换为直角坐标方程为： ．
圆 C 的极坐标方程为 ρ＝ cos（ ）．
转换为直角坐标方程为： ．
（Ⅱ）由于：直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，故：圆心（ ）到直线 的距离 d＝ ，
则： ＝ ．
[选修 4-5 不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+2|．
（1）求不等式 f（2x）﹣f（x﹣4）＞2 的解集；
（2）当 a＞0 时，不等式 f（ax）+af（x）≥a+1 恒成立，求实数 a 的取值范围．
【分析】（1））利用函数 f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝ ，分
段解不等式 f（2x）﹣f（x﹣4）＞2 即可；
（2）当 a＞0 时，不等式 f（ax）+af（x）≥a+1 恒成立，利用绝对值不等式的意义，可
得⇔，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，再解|2a﹣2|≥
a+1 即可．
解：（1））函数 f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝ ，
当 x＜﹣1 时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得 x＜﹣6，∴x＜﹣6；
当﹣1≤x＜2 时，不等式即 3x＞2，求得 x＞ ， ＜x＜2；
当 x≥2 时，不等式即 x+4＞2，求得 x＞﹣2，∴x≥2．
综上所述，不等式的解集为{x|＞ 或 x＜﹣6}．
（2）当 a＞0 时，
f（ax）+af（x）＝|ax+2|+a|x+2|＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，
∵不等式 f（ax）+af（x）≥a+1 恒成立，
∴|2a﹣2|≥a+1，
2a﹣2≥a+1 或 2a﹣2≤﹣1﹣a，解得 a≥3 或 0＜a≤ ，
∴实数 a 的取值范围为（0， ]∪[3，+∞）．
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