2020 年高考数学二模试卷（文科）
一、选择题
1．已知集合 A{x|y＝lg（2﹣x）}，集合 B＝{x|﹣2≤x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2≤x＜2} D．{x|x＜2}
2．若复数 （α∈R）是纯虚数，则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，则 • 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．定义运算： ，则函数 f（x）＝1⊗2x 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃
苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了
牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，
牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗＝10
升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一
半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．若 p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p 是 q 的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则①处应填的数字为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知 x，y 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A．[ ，4] B．（1，2]
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
9．抛物线方程为 y2＝4x，一直线与抛物线交于 A、B 两点，其弦 AB 的中点坐标为（1，1）
，则直线的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．﹣2x﹣y﹣1＝0
10．已知变量 x 与变量 y 的取值如表所示，且 2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回
归方程可能是（ ）
x 2 3 4 5
y 2.5 m n 6.5
A． ＝0.8x+2.3 B． ＝2x+0.4 C． ＝﹣1.5x+8 D． ＝﹣1.6x+10
11．已知点 A（﹣3，0），B（0，3），若点 P 在曲线 y＝﹣ 上运动，则△PAB 面
积的最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
12．f（x）是 R 上的偶函数，f（x+2）＝f（x），0≤x≤1 时 f（x）＝x2，则函数 y＝f（x）﹣
|log5x|的零点个数为（ ）A．4 B．5 C．8 D．10
二、填空题（共 4 小题）
13．函数 y＝loga（x﹣5）2+1（a＞0，且 a≠1）恒过点 ．
14．在平面直线坐标系 xOy 中，△ABC 的顶点 A（﹣6，0）和 C（6，0），顶点 B 在双曲
线 的左支上，则 ＝ ．
15．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个与其各面都相切的球 O1，若 AB⊥BC，AB＝3，BC
＝4，则球 O1 的表面积为 ．
16．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2n﹣an，则数列{an}的通项公式 an＝ ．
三、解答题
17．从某高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 160cm
和 184cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组[160，164），第 2 组[164，168
），…，第 6 组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；
（2）在这 50 名男生身高不低于 176cm 的人中任意抽取 2 人，则恰有一人身高在[180，
184]内的概率．
18．已知函数 ．
（1）当 x∈[0，π]时，求函数的值域；
（2）△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 ，求 AB 边上的高
h 的最大值．
19．如图 1，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点．
将△ABE 沿 AE 折起后如图 2，使二面角 B﹣AE﹣C 成直二面角，设 F 是 CD 的中点，P
是棱 BC 的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面 PEF⊥平面 AECD；（3）判断 DE 能否垂直于平面 ABC，并说明理由．
20．设椭圆 ，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率 ，右准线
为 l，M，N 是 l 上的两个动点，
（Ⅰ）若 ，求 a，b 的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时， 与 共线．
21．设函数 f（x）＝1﹣x﹣xlnx，g（x）＝（1+e﹣2）ex．
（1）求函数 f（x）最大值；
（2）求证：f（x）＜g（x）恒成立．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则
按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线 l 的参数方程： （t 为参数）和圆 C 的极坐标方程：ρ＝2sinθ．
（1）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点 M（1，3），直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|MA|+|MB|的值．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中 a＞0，b＞0）．
（1）求函数 f（x）的最小值 M．（2）若 2c＞M，求证： ．参考答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项符合
要求.）
1．已知集合 A{x|y＝lg（2﹣x）}，集合 B＝{x|﹣2≤x≤2}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2≤x＜2} D．{x|x＜2}
【分析】利用交集定义和对数函数性质求解．
解：∵集合 A{x|y＝lg（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，
集合 B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|﹣2≤x＜2}．
故选：C．
2．若复数 （α∈R）是纯虚数，则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简复数 ，根据纯虚数的定义求出 a 的值，写出复数 2a+2i 对应复平面
内点的坐标，即可得出结论．
解：复数 ＝ ＝（a+1）+（﹣a+1）i，
该复数是纯虚数，∴a+1＝0，解得 a＝﹣1；
所以复数 2a+2i＝﹣2+2i，
它在复平面内对应的点是（﹣2，2），
它在第二象限．
故选：B．
3．在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，AD＝1，则 • 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】根据 ABCD 是平行四边形可得 ＝ + ； ＝ + ，然后代入数量积结
合 AB＝2，AD＝1 即可求出结论．
解：∵AB＝2，AD＝1，
∴ • ＝（ + ）•（ + ）＝（ + ）•（﹣ + ）＝ ﹣ ＝12﹣22＝﹣3．
故答案为：﹣3．
故选：A．
4．定义运算： ，则函数 f（x）＝1⊗2x 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题需要明了新定义运算 a⊗b 的意义，即取两数中的最小值运算．之后对函数
f（x）＝1⊗2x 就可以利用这种运算得到解析式再来求画图解．
解：由已知新运算 a⊗b 的意义就是取得 a，b 中的最小值，因此函数 f（x）＝1⊗2x＝
，因此选项 A 中的图象符合要求．
故选：A．
5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃
苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了
牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，
牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗＝10
升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一
半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？
（ ）A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【分析】设羊、马、牛吃的青苗分别为 a1，a2，a3，则{an}是公比为 2 的等比数列，由此
利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．
解：设羊、马、牛吃的青苗分别为 a1，a2，a3，
则{an}是公比为 2 的等比数列，
∴a1+a2+a3＝a1+2a1+4a1＝7a1＝50，
解得 ，
∴羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿 升， 升， 升粮食．
故选：D．
6．若 p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p 是 q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
解：由 p 是¬q 的充分不必要条件知“若 p 则¬q”为真，“若¬q 则 p”为假，
根据互为逆否命题的等价性知，“若 q 则¬p”为真，“若¬p 则 q”为假，
故选：B．
7．阅读程序框图，为使输出的数据为 31，则①处应填的数字为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序
的作用是利用循环求 S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 3 2 是
第二圈 7 3 是
第三圈 15 4 是
第四圈 31 5 否
故最后当 i＜5 时退出，
故选：B．
8．已知 x，y 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A．[ ，4] B．（1，2]
C．（﹣∞，0]∪[2，+∞） D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）
【分析】设 k＝ ，则 k 的几何意义为点（x，y）到点（2，3）的斜率，利用数形结
合即可得到结论．
解：设 k＝ ，则 k 的几何意义为点 P（x，y）到点 D（2，3）的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
；由图可知当过点 D 的直线平行于 X 轴时，此时 k＝ ＝0 成立；
k＝ 取所有负值都成立；当过点 A 时，k＝ 取正值中的最小值， ⇒A（1，1），此时 k＝ ＝ ＝
2；
故 的取值范围为（﹣∞，0]∪[2，+∞）；
故选：C．
9．抛物线方程为 y2＝4x，一直线与抛物线交于 A、B 两点，其弦 AB 的中点坐标为（1，1）
，则直线的方程为（ ）
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x+y﹣1＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．﹣2x﹣y﹣1＝0
【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得到 ，所以直线 AB
的斜率为 2，又过点（1，1），再利用点斜式即可得到直线 AB 的方程．
解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝2，
又 ，两式相减得： ，
∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），
∴ ，
∴直线 AB 的斜率为 2，又∴过点（1，1），
∴直线 AB 的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即 2x﹣y﹣1＝0，
故选：A．
10．已知变量 x 与变量 y 的取值如表所示，且 2.5＜m＜n＜6.5，则由该数据算得的线性回
归方程可能是（ ）
x 2 3 4 5
y 2.5 m n 6.5
A． ＝0.8x+2.3 B． ＝2x+0.4 C． ＝﹣1.5x+8 D． ＝﹣1.6x+10
【分析】先根据两个变量的相关关系是正还是负，对选项进行排除，再把样本中心点
代入选项进行检验．
解：由表格中的数据可知，两个变量是正相关关系，所以排除 C、D 选项．
， ，把 分别代入 A、B 选项，
对于 A，有 ，符合题意；
对于 B，有 ∉（3.5，5.5），不符合题意；
故选：A．
11．已知点 A（﹣3，0），B（0，3），若点 P 在曲线 y＝﹣ 上运动，则△PAB 面
积的最小值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【分析】求得直线 AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得 P 位于（﹣1，0）
，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小
值．
解：曲线 y＝﹣ 表示以 O 为原点，1 为半径的下半圆（包括两个端点），
直线 AB 的方程为 x﹣y+3＝0，
可得|AB|＝3 ，P 在（﹣1，0）时，P 到直线 AB 的距离最短，即为 ＝ ，
则△PAB 的面积的最小值为 ×3 × ＝3．
故选：B．
12．f（x）是 R 上的偶函数，f（x+2）＝f（x），0≤x≤1 时 f（x）＝x2，则函数 y＝f（x）﹣
|log5x|的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【分析】将求函数的零点问题转化为求两个函数 f（x）和 g（x）的交点问题，画出图象
，容易解决．
解：∵0≤x≤1 时 f（x）＝x2，f（x）是 R 上的偶函数，∴﹣1≤x≤1 时，f（x）＝x2，
令 g（x）＝| |，
画出函数 f（x）和 g（x）的图象，
如图示：
，
由图象得：函数 f（x）和 g（x）的交点有 5 个，
∴函数 y＝f（x）﹣|log5x|的零点个数为 5 个，
故选：B．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.）
13．函数 y＝loga（x﹣5）2+1（a＞0，且 a≠1）恒过点 （4，1）或（6，1） ．
【分析】令对数的真数等于 1，求得 x、y 的值，即为定点 P 的坐标．
解：令（x﹣5）2＝1 得，x＝4 或 6，
此时 y＝1，
所以函数过定点（4，1）或（6，1），
故答案为：（4，1）或（6，1）．
14．在平面直线坐标系 xOy 中，△ABC 的顶点 A（﹣6，0）和 C（6，0），顶点 B 在双曲
线 的左支上，则 ＝ ．
【分析】由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简
即可得到答案．
解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是 A，B，
由双曲线的定义可知 BC﹣AB＝2a＝10，c＝6，＝ ＝ ＝ ；
故答案为： ．
15．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 内有一个与其各面都相切的球 O1，若 AB⊥BC，AB＝3，BC
＝4，则球 O1 的表面积为 4π ．
【分析】三棱柱的内切圆的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的
内切圆的半径即可求解结论．
解：由题意知内切球的半径为 R 与底面三角形的内切圆的半径相等，
而三角形 ABC 为直角三角形，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，所以 AC＝5，
设三角形内切圆的半径为 r，由面积相等可得： R（3+4+5）＝ 3×4，所以 R＝1，
所以内切球的表面积 S＝4πR2＝4π，
故答案为：4π．
16．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝2n﹣an，则数列{an}的通项公式 an＝ ．
【分析】由题意可得 an+1﹣an﹣1＝2 （n≥2），又 a1＝1，数列{an}的奇数项为首项为 1
，公差为 2 的等差数列，对 n 分奇数和偶数两种情况，分别求出 an，从而得到数列{an}
的通项公式 ．
解：∵an+1＝2n﹣an，
∴an+1+an＝2n①，an+an﹣1＝2（n﹣1）（n≥2）②，
①﹣②得：an+1﹣an﹣1＝2 （n≥2），又∵a1＝1，
∴数列{an}的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，
∴当 n 为奇数时，an＝n，当 n 为偶数时，则 n﹣1 为奇数，∴an＝2（n﹣1）﹣an﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝n﹣1
，
∴数列{an}的通项公式 ，
故答案为： ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17．从某高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 160cm
和 184cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组[160，164），第 2 组[164，168
），…，第 6 组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；
（2）在这 50 名男生身高不低于 176cm 的人中任意抽取 2 人，则恰有一人身高在[180，
184]内的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图得[160，168）频率为 0.48，[168，172）的频率为 0.32
，由此能求出中位数．
（2）在这 50 名男生身高不低于 176cm 的人中任意抽取 2 人，[176，180）中的学生人数
为 4 人，[180，184）中的学生人数为 2 人，由此能求出基本事件总数 n＝ ＝15，恰有
一人身高在[180，184]内包含的基本事件个数 m＝ ＝8，由此能求出恰有一人身高
在[180，184]内的概率．
解：（1）由频率分布直方图得[160，168）频率为：
（0.05+0.07）×4＝0.48，
[168，172）的频率为：0.08×4＝0.32，
∴中位数为：168+ ×4＝168.25．
（2）在这 50 名男生身高不低于 176cm 的人中任意抽取 2 人，[176，180）中的学生人数为 0.02×4×50＝4 人，
[180，184）中的学生人数为 0.01×4×50＝2 人，
∴在这 50 名男生身高不低于 176cm 的人中任意抽取 2 人，
基本事件总数 n＝ ＝15，
恰有一人身高在[180，184]内包含的基本事件个数 m＝ ＝8，
∴恰有一人身高在[180，184]内的概率 p＝ ．
18．已知函数 ．
（1）当 x∈[0，π]时，求函数的值域；
（2）△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且 ，求 AB 边上的高
h 的最大值．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和
值域，得出结论．
（2）由题意利用余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式求得 ab 的最大值，可得 AB
边上的高 h 的最大值．
解：（1）∵函数 f（x）＝ sinx+ ﹣ ＝ sinx+ ﹣ ＝sin（x+ ）
，
当 x∈[0，π]时，x+ ∈[ ， ]，sin（x+ ）∈[﹣ ，1]．
（2）△ABC 中， ＝sin（C+ ），∴C＝ ．
由余弦定理可得 c2＝3＝a2+b2﹣2ab•cosC＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当 a＝b 时，取等号，
即 ab 的最大值为 3．
再根据 S△ABC＝ • •h＝ ab•sin ，故当 ab 取得最大值 3 时，h 取得最大值为 ．
19．如图 1，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点．
将△ABE 沿 AE 折起后如图 2，使二面角 B﹣AE﹣C 成直二面角，设 F 是 CD 的中点，P
是棱 BC 的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面 PEF⊥平面 AECD；
（3）判断 DE 能否垂直于平面 ABC，并说明理由．【分析】（1）证明 AE⊥BD，只需证明 AE⊥平面 BDM，利用△ABE 与△ADE 是等边
三角形，即可证明；
（2）证明平面 PEF⊥平面 AECD，只需证明 PN⊥平面 AECD，只需证明 BM⊥平面
AECD 即可；
（3）DE 与平面 ABC 不垂直．假设 DE⊥平面 ABC，则 DE⊥AB，从而可证明 DE⊥平
面 ABE，可得 DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．
【解答】（1）证明：设 AE 中点为 M，连接 BM，
∵在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E 是 BC 的中点，∴△ABE
与△ADE 都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM＝M，BM、DM⊂平面 BDM，
∴AE⊥平面 BDM．
∵BD⊂平面 BDM，∴AE⊥BD．
（2）证明：连接 CM 交 EF 于点 N，∵ME∥FC，ME＝FC，∴四边形 MECF 是平行四
边形，∴N 是线段 CM 的中点．
∵P 是 BC 的中点，∴PN∥BM．
∵BM⊥平面 AECD，∴PN⊥平面 AECD．
又∵PN⊂平面 PEF，
∴平面 PEF⊥平面 AECD．
（3）解：DE 与平面 ABC 不垂直．
证明：假设 DE⊥平面 ABC，则 DE⊥AB，∵BM⊥平面 AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM＝B，AB、BM⊂平面 ABE，∴DE⊥平面 ABE．
∵AE⊂平面 ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED＝60°矛盾．
∴DE 与平面 ABC 不垂直．20．设椭圆 ，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率 ，右准线
为 l，M，N 是 l 上的两个动点，
（Ⅰ）若 ，求 a，b 的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时， 与 共线．
【 分 析 】 （ Ⅰ ） 设 ， 根 据 题 意 由 得
， 由 ， 得 ，
，由此可以求出 a，b 的值．
（Ⅱ）|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2．当且仅当
或 时，|MN|取最小值 ，由能够推导出 与
共线．
解：由 a2﹣b2＝c2 与 ，得 a2＝2b2， ，l 的方
程为
设
则由 得 ①
（Ⅰ）由 ，得 ②
③
由①、②、③三式，消去 y1，y2，并求得 a2＝4
故
（Ⅱ）证明：|MN|2＝（y1﹣y2）2＝y12+y22﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2＝﹣4y1y2＝6a2
当且仅当 或 时，|MN|取最小值
此 时 ，
故 与 共线．
21．设函数 f（x）＝1﹣x﹣xlnx，g（x）＝（1+e﹣2）ex．
（1）求函数 f（x）最大值；
（2）求证：f（x）＜g（x）恒成立．
【分析】（1）先求导函数，通过导数判断单调区间，进而求最值，
（2）有（1）知函数 f（x）的最大值，通过单调性求不等式另一边的最小值，进而求证．
解：（1）f'（x）＝﹣1﹣lnx﹣2＝﹣2﹣lnx，（x＞0），
令 f'（x）＝0，解之得 x＝e﹣2，
当 x∈（0，e﹣2），f'（x）＞0，函数单调递增；
当 x∈（e﹣2，+∞），f'（x）＜0，函数单调递减；
∴x＝e﹣2 时，f（x）取最大值 f（e﹣2）＝1﹣e﹣2﹣e﹣2lne﹣2＝1+e﹣2，
（2）有（1）知 f（x）≤1+e﹣2，
而且函数（1+e﹣2）ex 在（0，+∞）上单调递增，
∴（1+e﹣2）ex＞（1+e﹣2）e0＝1+e﹣2，
∴f（x）＜g（x）恒成立．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则
按所做的第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线 l 的参数方程： （t 为参数）和圆 C 的极坐标方程：ρ＝2sinθ．
（1）将直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点 M（1，3），直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|MA|+|MB|的值．
【分析】（1）把直线参数方程中的参数 t 消去，可得直线的普通方程；把 ρ＝2sinθ 两边
同乘以 ρ，得 ρ2＝2ρsinθ，代入 ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ，可得圆 C 的直角坐标方程；
（2）化直线方程为参数方程的标准形式，代入圆的方程，化为关于 t 的一元二次方程，
再由此时 t 的几何意义即根与系数的关系求解|MA|+|MB|的值．
解：（1）把直线 l 的参数方程 （t 为参数）消去参数 t，得直线 l 的普通方程为
y＝2x+1；
将 ρ＝2sinθ 两边同乘以 ρ，得 ρ2＝2ρsinθ，将 ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ 代入，
得 x2+（y﹣1）2＝1，
∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2＝1；
（2）经检验点 M（1，3）在直线 l 上，
化直线方程为 ，代入圆 C 的直角坐标方程 x2+（y﹣1）2＝1，
得 ，即 ．
设 t1，t2 是方程 的两根，
则 ．
∵t1t2＝4＞0，∴t1 与 t2 同号，
由 t 的几何意义得|MA|+|MB|＝ ．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x+a|+|x﹣b|，（其中 a＞0，b＞0）．
（1）求函数 f（x）的最小值 M．
（2）若 2c＞M，求证： ．
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值 M；
（2）利用分析法，只需证明 ，两边平方后结合 2c＞a+b，a＞0 即可得证．
解：（1）f（x）＝|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|＝|a+b|＝a+b，当且仅当（x+a）（
x﹣b）≤0 时取等号，
∴f（x）的最小值 M＝a+b；
（2）证明：依题意，2c＞a+b＞0，
要证 ，即证 ，即证 a2﹣2ac+c2＜c2﹣ab，
即证 a2﹣2ac+ab＜0，即证 a（a﹣2c+b）＜0，
又 2c＞a+b，a＞0 可知，a（a﹣2c+b）＜0 成立，故原不等式成立．
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