2020年4月高考数学（理）大数据精选模拟卷03（新课标Ⅰ卷）（解析版）

1 2020 年 4 月高考数学大数据精选模拟卷 03 理科数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．设集合 ， ，则 的子集的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】∵ ， ，∴A∩B= ， 画出图形如下图，由图可知，A∩B 的元素有 2 个，则 A∩B 的子集有 22=4 个．故选：A． 2．已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【 解 析 】 ， 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 三 象 限 ， 2 2( , ) 14 yA x y x   = + =    1( , ) 4 x B x y y    = =      A B 2 2( , ) 14 yA x y x   = + =    1( , ) 4 x B x y y    = =      2 2 14( , ) 1 4 x yx x y y   + =        =       2 a iz i += − i a 12, 2  −   1 ,22  −   ( ), 2−∞ − 1 ,2  +∞   ( )(2 ) 2 1 2z 2 (2 )(2 ) 5 5 a i a i i a a ii i i + + + − += = = +− − +2 ，解得 ，∴实数 a 的取值范围是 .故选：C. 3．已知 β＜α ，若 cos（α﹣β） ，sin（α+β） ，则 sin2β＝ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 β＜α ，所以 ，所以 ， ， 又因为 cos（α﹣β） ，sin（α+β） ，所以 ， 则 sin2β .故选：D. 4．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国 5 个传统节日 春节、元宵节、清明节、端午节、中 秋节 中随机选取 3 个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】首先编号：春节为 ，中秋节为 ，元宵节为 ，清明节为 ，端午节为 . 从中任选 个节目的选法有： 共 种选法. 其中春节和中秋节都被选中的选法有 共 种选法， 根据古典概型概率计算公式可知，春节和中秋节都被选中的概率是 .故选：A. 5．等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则 A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 2 1 0 2 0 a a − c ( )1 1 1 3 33 3 1log log 10 log 10 log 3 1110b − −= = = > a c b< < S 45 36 25 16 1, 0k S= = 8k ≤ 0 1 1S = + = 1 2 3k = + = 8k ≤ 1 3 4S = + = 3 2 5k = + = 8k ≤ 4 5 9S = + = 5 2 7k = + = 8k ≤ 9 7 16S = + = 7 2 9k = + = 8k ≤ 16S = 3 2 , 2( ) ( 1) , 2 xf x x x x  ≥=   − > F F O 2 2 21 4x y b+ = M C N 2FN FM=  C 3 0x y± = 3 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = 1F 2FN FM=  M FN O 1FF 1//OM F N 12 =OM F N 1 90FNF∠ = ° 1NF b= 2FN a b= + ( ) ( )2 222 2a b b c+ + = ( ) ( )2 2 2 22 4a b b a b+ + = + 2b a= ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2y x= ± '( )f x R ( )f x x '( ) ( ) 1f x f x> +7 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式 可化为： ， 令 ， ， 又 ， 恒成立，故 在 R 上单调递增。 又 ， 等价于 ， 由 在 R 上单调递增可得： ， 所以不等式 的解集为： . 故选：A. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．今有 6 个人组成的旅游团，包括 4 个大人，2 个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不 同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘 3 人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的 乘车方式有__________种（用数字作答）． 【答案】348 【解析】根据题意，分 2 种情况讨论： ①若 6 人乘坐 2 辆缆车，需要将 6 人分成 2 组，有 种分组方法，在三辆不同的缆车中任选 2 辆，安排 2 个组，有 种情况， (1) 1f = 1( ) 1 2 xf x e −+ < ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( )1,e 1,1e      ( ) 11 2 xf x e −+ < ( ) 1 2 0x f x e e + − < ( ) ( ) 1 2 x f xg x e e += − ∴ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 1 ' 1' x x xx f x e f x e f x f xg x ee  − + − − = = ( ) ( )' 1f x f x> + ∴ ( )' 0g x > ( ) ( ) 1 2 x f xg x e e += − ( ) ( ) 1 1 1 21 0fg e e += − = ∴ ( ) 1 2 0x f x e e + − < ( ) ( )1g x g< ( ) ( ) 1 2 x f xg x e e += − 1x < ( ) 11 2 xf x e −+ < ( ),1−∞ 3 6 1 102 C = 2 3 6A =8 则此时有 种乘车方式； ②若 6 人乘坐 2 辆缆车，需要先将 4 名大人分为 2、1、1 的三组，有 种分组方法， 将分好的三组对应三辆缆车，有 种情况， 若 2 名小孩作两辆缆车，需要在三辆不同的缆车中任选 2 辆，安排 2 名小孩，有 种情况， 若 2 名小孩作一辆缆车，有 2 种情况， 则此时有 种情况， 则一共有 种不同的安排方法； 故答案为：348. 14．设 ， ， ， ，O 为坐标原点，若 A、B、C 三点共线， 则 的最小值是__________． 【答案】8 【解析】 ， ， 因为 A、B、C 三点共线，所以 ，所以 ，即 ， ， 当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 8. 15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是__________． 10 6 60× = 2 4 6C = 3 3 6A = 2 3 6A = ( )6 6 6 2 288× × + = 60 288 348+ = (1, 2)OA = − ( , 1)OB a= − ( ,0)OC b= − 0, 0a b> > 1 2 a b + ( 1,1)AB OB OA a= − = −   ( 1,2)AC OC OA b= − = − −   / /AB AC  2( 1) 1 0a b− + + = 2 1a b+ = 1 2 1 2 2 4( )(2 ) 4 4 2 82 b a b aa ba b a b a b a b + = + + = + + ≥ + × = 1 1,4 2a b= = 1 2 a b +9 【答案】 【解析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示 长方体对角线长为 ，所以三棱锥外接球半径 为 ， 故所求外接球的表面积 . 故答案为： . 16．已知直线 分别与直线 、曲线 交于点 、 ，则线段 长度的最小值为 __________．（其中常数 ，是自然对数的底数） 【答案】 【解析】由直线 分别与直线 、曲线 交于点 A、B， 得 ，由 ，易得 恒成立， 即曲线 在直线 的上方， 设 ，则 ，设 ，则 ， 则 ， ， ， 当 时， ，当 时， ， 故函数 在 为减函数，在 为增函数，即 . 故答案为: . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 6π 2 2 22 1 1 6+ + = r 6 2 24 6S rπ π= = 6π y b= 2y x= − 2 xy e e= ⋅ A B AB 2.71828e = ⋅⋅⋅ 4 ln 2+ y b= 2y x= − 2 xy e e= ⋅ 0b > xe x> 2 2xe e x⋅ > − 2 xy e e= ⋅ 2y x= − 12 xe e b⋅ = 1 ln 2 bx e = 2 2x b− = 2 2x b= + 2 1( ) 2 ln ln 3 ln 22 bAB h b x x b b be = = − = + − = − + + 1 1( ) 1 bh b b b −′ = − = ( )0b > 0 1b< < ( ) 0h b′ < 1b > ( ) 0h b′ > ( )y h b= (0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 4 ln 2h b h= = + 4 ln 2+10 17．（本小题满分 12 分） 已知 的内角 的对边分别为 ，若向量 ， ，且 . （1）求角 的值； （2）已知 的外接圆半径为 ，求 周长的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1） 由 ，得 . 由正弦定理，得 ， 即 . 在 中，由 ，得 . 又 ，所以 . （2） 由题意得， 得 ， 由余弦定理得 ， 即 ， 整理得 ，当且仅当 时，取等号，所以 的最大值为 4， 又 ，所以 ，所以 ， 所以 的周长的取值范围为 . 18．（本小题满分 12 分） ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( 2 ,cos )m b c B= − ( ,cos )n a A= − //m n  A ABC∆ 2 3 3 ABC∆ 3 π (4,6] //m n  ( 2 )cos cos 0b c A a B− + = sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B− + = 2sin cos sin( ) sinC A A B C= + = ABC sin 0C > 1cos 2A = (0, )A π∈ 3A π= 4 3 32 sin 23 2a R A= = × = 2 2 2 22 cos ( ) 3a b c bc A b c bc= + − = + − 2 23 ( ) 4 3 2 b cbc b c + = + −    2( ) 16b c+  2b c= = b c+ 2b c a+ > = 2 4b c< +  4 6a b c< + +  ABC (4,6]11 高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展.据统 计，在 2018 年这 一年内从 市到 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 万人次.为了 解乘客出行的满意度，现从中 随机抽取 人次作为样本，得到下表(单位:人次): 老年人 中年人 青年人 满意度 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10 分(满意) 12 1 20 2 20 1 5 分(一般) 2 3 6 2 4 9 0 分(不满意) 1 0 6 3 4 4 （1）在样本中任取 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率; （2）在 2018 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次，记其中老年人出行的人次 为 .以频率作为概率，求 的分布列和数学期望; （3）如果甲将要从 市出发到 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明 理由. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望 ；（3）建议甲乘坐高铁从 市到 市，见解析. 【解析】（1）设事件：“在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人”为 ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 ， ， ， 所以在样本中任取 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 ． （2）由题意， 的所有可能取值为： 因为在 2018 年从 市到 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 人次， 此人为老年人概率是 ， 所以 ， ， ， A B 50 100 1 A B 2 X X A B 29 50 2 5 A B 1 M 19 39 42 1 19 39 29( ) 100 50P M += = X 01 2.，， A B 1 15 1 75 5 = 0 2 2 1 16( 0) C (1 )5 25P X = = × − = 1 2 1 1 8( 1) C (1 )5 5 25P X = = × × − = 2 2 2 1 1( 2) C ( )5 25P X = = × =12 所以随机变量 的分布列为： 故 ． （3）答案不唯一，言之有理即可． 如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为： 乘坐飞机的人满意度均值为： 因为 ，所以建议甲乘坐高铁从 市到 市． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在梯形 中， ， ， ，四边形 为矩形， 平面 平面 ， . (1)证明： 平面 ； (2)设点 在线段 上运动，平面 与平面 所成锐二面角为 ，求 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）证明：在梯形 中，因为 ， ， X 0 1 2 16 25 8 25 1 25 16 8 1 2( ) 0 1 225 25 25 5E X = × + × + × = 52 10 12 5 11 0 116 52 12 11 15 × + × + × =+ + 4 10 14 5 7 0 22 4 14 7 5 × + × + × =+ + 116 22 15 5 > A B ABCD AB CD∥ 1AD DC BC= = = 60ABC∠ = ° ACFE ACFE ⊥ ABCD 1CF = BC ⊥ ACFE M EF MAB FCB θ cosθ 7 1cos ,7 2 θ  ∈    ABCD / /AB CD 1= = =AD DC CB 60ABC∠ = °13 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 因为 平面 ，所以 平面 . （2）由（1）可建立分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴的如图所示的空间直角坐标系， 令 ，则 ， ， ， . ∴ ， .设 为平面 的一个法向量， 由 得 ，取 ，则 ， ∵ 是平面 的一个法向量， ， ∵ ，∴当 时， 有最小值 ，当 时， 有最大值 ． ∴ . 20．（本小题满分 12 分） 2AB = 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC °= + − =  2 2 2AB AC BC= + BC AC⊥ ACFE ⊥ ABCD ACFE ∩ ABCD AC= BC ⊂ ABCD BC ⊥ ACFE CA CB CF x y z ( )0 3FM λ λ= ≤ ≤ ( )0,0,0C ( )3,0,0A ( )0,1,0B ( ),0,1M λ ( )3,1,0AB = − ( ), 1,1BM λ= − ( )1 , ,n x y z= MAB 1 1 · 0 · 0 n AB n BM  = =     3 0 0 x y x y zλ − + = − + = 1x = ( )1 1, 3, 3n λ= − ( )2 1,0,0n = FCB 1 2 1 2 cos n n n n θ ⋅ ∴ = = ⋅     ( )2 1 1 3 3 1λ+ + − × ( )2 1 3 4λ = − + 0 3λ≤ ≤ 0λ = cosθ 7 7 3λ = cosθ 1 2 7 1cos ,7 2 θ  ∈   14 已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的右焦点 作互相垂直的两条直线 、 ，其中直线 交椭圆于 两点，直线 交直线 于 点，求证：直线 平分线段 . 【答案】(1) (2)见证明. 【解析】（1）由 得 ，所以 ， 由点 在椭圆上得 解得 ， ， 所求椭圆方程为 . （2）解法 1：当直线 的斜率不存在时，直线 平分线段 成立 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ， 联立方程得 ，消去 得 因为 过焦点，所以 恒成立，设 ， ， 则 ， ， ， 所以 的中点坐标为 ， 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 31, 2      F 1l 2l 1l ,P Q 2l 4x = M OM PQ 2 2 14 3 x y+ = 1 2 ce a = = 2a c= 2 23b c= 31, 2      2 2 9 1 4 14 3c c + = 12 25 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ OM PQ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ ( )1y k x= − ( ) 2 2 1 14 3 y k x x y  = − + = y ( )2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ ∆ > 0 ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 1 2 2 8 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k −= + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 61 1 2 4 3 ky y k x k x k x x k + = − + − = + − = − + PQ 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + + 15 直线 方程为 ， ，可得 ， 所以直线 方程为 ， 满足直线 方程，即 平分线段 ， 综上所述，直线 平分线段 . （2）解法 2：因为直线 与 有交点，所以直线 的斜率不能为 0， 可设直线 方程为 ， 联立方程得 ，消去 得 ， 因为 过焦点，所以 恒成立， 设 ， ， ， ， ，所以 的中点坐标为 ， 直线 方程为 ， ，由题可得 ，所以直线 方程为 ， 满足直线 方程，即 平分线段 ， 综上所述，直线 平分线段 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 为自然对数的底数） （1）若 ，判断 极值点个数； 2l ( )1 1y xk = − − ( )4, MM y 34,M k  −   OM 3 4y xk = − 2 2 2 4 3,4 3 4 3 k k k k  − + +  OM OM PQ OM PQ 2l 4x = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ 1x my= + 2 2 1 14 3 x my x y = + + = x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = 5 ( ) 2 5f x− ≤ − ≤ ∆ > 0 ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 6 3 4 my y m + = − + 1 2 2 9 3 4y y m = − + ( )1 2 1 2 2 82 3 4x x m y y m + = + + = + PQ 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m  − + +  2l ( )1y m x= − − ( )4, MM y ( )4, 3M m− OM 3 4 my x= − 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m  − + +  OM OM PQ OM PQ ( ) 21 2 xf x e x ax b= − − + e 1a ≥ ( )f x16 （2）若 在 上恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）当 时， 有 个极值点；当 时， 没有极值点；（2） . 【解析】（1） ， ， ， ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 可得函数 在 上单调递减，在 单调递增， ， 当 时， ，且 ，取 ，使得 ， ，即 的图象与 轴有两个交点，此时 极值点个数为 2； 当 时， ，此时 极值点个数为 0； （ 2 ） 在 ， 上 恒 成 立 在 ， 上 恒 成 立 在 ， 上恒成立．令 ， ①当 时， ， ， ②当 时， ， 综上得， . 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目 计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ( ) ( )f x f x′≥ [ ]1,1x∈ − +a b 1a > ( )f x 2 1a = ( )f x 1 2a b+  ( ) 21 2 xf x e x ax b= − − + ( ) xf x e x a∴ ′ = − − x∈R ( ) 1xf x e′′ = − ( ) 1 0xf x e′′ = − > (0, )x∈ +∞ ( ) 1 0xf x e′′ = − < ( , 0)x ∈ −∞ ( )f x′ ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( ) (0) 1minf x f a′ = ′ = − 1a > 1 0a− < ( ) 0af a e−′ − = > 0b > ( )b ln b a> + ( ) ( ) ( ) 0bf b e b a b a b a∴ ′ = − + > + − + = ( )f x′ x ( )f x 1a = ( ) 0f x′  ( )f x ( ) ( )f x f x′ [ 1x∈ − 1] 21 2 x xe x ax b e x a⇔ − − + − − [ 1x∈ − 1] 21 2a b x ax x⇔ + + − [ 1x∈ − 1] 21( ) , [ 1,1]2h x x ax x x= + − ∈ − 1 0a−  3 1( ) ( 1) 2 2maxh x h a= − = −  1 2a b∴ +  1 0a− < ( ) ( ) 1 11 2 2maxh x h a= = − > 1 2a b+  xOy O x 1C sin 4ρ θ = 2C 2 2 cos 4 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 3C17 . （1）求 与 的直角坐标方程； （2）若 与 的交于 点， 与 交于 、 两点，求 的面积. 【答案】（1） ： ； ： （2） 【解析】（1）∵曲线 的极坐标方程为 ， ∴根据题意，曲线 的普通方程为 . ∵曲线 的极坐标方程为 ， ∴曲线 的普通方程为 ，即 ； （2）∵曲线 的极坐标方程为 ，∴曲线 的普通方程为 ， 联立 与 ，得 ，解得 ， ∴点 的坐标 ，点 到 的距离 . 设 ， 将 代入 ，得 ， 则 ， ， ， ∴ . 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 . ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 1C 2C 2C 1C P 2C 3C A B PAB∆ 1C 4y = 2C ( ) ( )2 21 2 4x y− + − = 3 7 2 1C sin 4ρ θ = 1C 4y = 2C 2 2 cos 4 sin 1 0ρ ρ θ ρ θ− − + = 2C 2 2 2 4 1 0x y x y+ − − + = ( ) ( )2 21 2 4x y− + − = 3C ( ) 4 R πθ ρ= ∈ 3C y x= 1C ( ) ( )2 22 4 : 1 1 4 y C x y = − + − = 2 2 1 0x x− + = 1x = P ( )1,4 P 3C 1 4 3 2 22 d −= = ( )1 1,A ρ θ ( ),B ρ θ2 2 4 πθ = 2C 2 3 2 1 0ρ ρ− + = 1 2 3 2ρ ρ+ = 1 2 1ρ ρ = ( )2 1 2 1 2 1 24 14AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = + − = 1 1 3 2 3 7142 2 2 2PABS AB d∆ = = × × = ( ) 2 2f x x x m= + + −18 （1）当 时，解不等式 ； （2）若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1） ， 于是当 时，原不等式等价于 ，解得 ； 当 时，原不等式等价于 ，解得 ； 当 时，原不等式等价于 ，无解； 综上，原不等式的解集为 . （2）由题意，存在实数 ，使得不等式 成立，则只需 ， 又 ，当 时取等号. 所以 ，解得 . 1m = ( ) 3f x x≤ + x ( ) 3f x m x≤ + − m 1 3,2 2      5 1m− ≤ ≤ ( ) 2 2 1 3f x x x x= + + − ≤ + 1x ≥ 3 3x x≤ + 31 2x≤ ≤ 2 1x− < < 4 3x x− + ≤ + 1 12 x≤ ≤ 2x −≤ 3 3x x− ≤ + 1 3,2 2      x 2 3x x m+ + − ≤ ( ) min2 3x x m+ + − ≤ 2 2 2x x m x x m m+ + − ≥ + − + = + ( )( )2 0x x m+ − ≤ 2 3m + ≤ 5 1m− ≤ ≤