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宿豫中学高一第二学期开学摸底测试
数 学
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是正确的,请在答题卡上用 2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑.
1. 采用简单随机抽样 方法,从含有 6 个个体的总体中抽取 1 个容量为 2 的样本,则某个个体
被抽到的概率为( )
A. B. C. D.
2.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人,为
了解不同年级学生的眼睛近视情况,现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本,
则高三年级应抽取的学生人数为( )
A. 25 B. 35 C.30 D.40
3. 过点 且垂直于直线 的直线方程为( )
A. B.
C. D.
4.在 中,如果 ,那么 等于( )
A. B. C. D.
5.已知圆 的圆心坐标为(-2,3),D,E 分别为( )
A. 4,-6 B. -4,-6 C. -4,6 D. 4,6
6. 圆 的圆心到直线 的距离为 ,则 的值为( )
A. 或 B. 或 3 C. 1 或 D. 1 或 3
7. 若三角形 的面积为 ,且 为钝角, 的取值范围是( )
A. B. C. D.
的
1
2
1
3
1
5
1
6
( )1,3− 2 3 0x y− + =
2 7 0x y− + = 2 1 0x y+ − =
2 5 0x y− − = 2 5 0x y+ − =
ΔABC : : 2:3: 4a b c = cos B
11
16
5
16
11
16
− 7
11
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + =
( )2 21 1x y− + = 0x y a− + = 2 a
1− 3− 1− 3−
ABC )(4
3 222 bca −+ C∠
a
c
),2[ +∞ ),2( +∞ )2,0( ),3[ +∞2
8.若方程 有两个不同的实数根,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.每小题给出的四个选
项中,有多项符合题目要求.全部选对的 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9.设两直线 , 与 轴构成三角形,则 可能取值是( )
A.-1 B. 1 C. 2 D. -2
10. 在△ABC 中,下列判断中正确的是________.(填相应命题的序号即可)
A. a=7,b=14,A=30°,有两解;B. a=30,b=25,A=150°,有一解;
C. a=6,b=9,A=45°,有两解;D. b=9,c=10,B=60°,有两解.
11.在同一直角坐标系中,直线 与圆 的位置不可能是( )
A. B. C. D.
12.下列命题中其中正确的命题是:( )
A.任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率;
B.不经过原点的直线都可以用方程 表示;
C.若两直线 和 平行, 则它们之间的距离为 ;
D.若直线 : 与直线 : 的交点位于第一象限,则直线 的倾斜角
的取值范围是 .
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.
13. 已知一组数据 1,3,2,5,4,那么这组数据的方差为______.
14. 点 到直线 的距离的最大值为________.
15. 在 中 , 角 所 对 的 边 分 别 为 , 已 知
,则 ________.
16.在平面直角坐标系 中,已知圆 ,直线 . 若圆 上
的
2)(-1 2 +=+ xax a
)22,22( +− )22,22( +−−− ]1,22( − )2-2,1[−
( )2 2 0m x y m+ − − + = 0x y+ = x m
2y ax a= + 2 2 2( )x a y a+ + =
1x y
a b
+ =
2 6 0x y+ − = 2 1 0x my− − = 5
l 3y kx= − 1l 2 3 6 0x y+ − = l α
,6 2
π π
(5,2) ( )1 (2 1) 5m x m y m− + − = −
ABC∆ CBA ,, cba ,,
2,20)cos(sinsinsin ===−+ caCCAB , =C
xOy 4: 22 =+ yxO )4(: += xkyl O3
存在点 ,使得以点 为圆心、1 为半径的圆与直线 有公共点,则实数 的取值范
围是___________.
三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区区域内作答,解答时应写
出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)设三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=13,
(1)若 b=24,求 的值;
(2)若三角形 ABC 的面积为 30,求 b,c 的值
18. (本小题满分 12 分)在 中, 的平分线所在直线 的方程为 ,若点
, .
(1)求点 关于直线 的对称点 的坐标;
(2)求 边上的高所在的直线方程.
19.(本小题满分 12 分)
某学校为了解学生的学习、生活等情况,决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况
如下表:
年 级
性 别 高一年级 高二年级 高三年级
男 520 y 400
女 x 610 600
(1) 若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人,其中高二年级 22 人,高三年级 20 人,再从这
n 个人中随机抽取出 1 人,此人为高三年级的概率为 ,求 x、y 的值.
(2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本,从这 5 人中任取 2 人,
求至少有 1 人是男生的概率.
20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 ,
圆 C:
(1)求过点 P 且与圆 C 相切于原点的圆的标准方程。
(2)过点 P 的直线 L 与圆 C 依次相交于 A,B 两点,
①若 ,求直线 L 的方程
②当三角形 ABC 面积最大时,求直线 L 的方程
21. (本小题满分 12 分)某地有一企业 2007 年建厂并开始投资生产,年份代号为 7,2008
年年份代号为 8,依次类推.经连续统计 9 年的收入情况如下表(经数据分析可用线性回归模型
P P l k
5cos 13B =
sin A
ABC∆ C∠ l 2y x=
( )4,2A − ( )3,1B
A l D
AC
10
33
(0,6)P
2 2 10 10 0x y x y+ + + =
AO PB⊥4
拟合 与 的关系):
年份代号( ) 7 8 9 10 11 12 13 14 15
当年收入( 千万元) 13 14 18 20 21 22 24 28 29
(1)求 关于 的线性回归方程 ;
(2)试预测 2020 年该企业的收入.
(参考公式: , )
22.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,且圆 与 轴交于 , 两点,
设直线 的方程为 .
(1)当直线 与圆 相切时,求直线 的方程;
(2)已知直线 与圆 相交于 , 两点.
(ⅰ)若 ,求实数 的取值范围;
(ⅱ)直线 与直线 相交于点 ,直线 ,直线 ,直线 的斜率分别为 , ,
, 是否存在常数 ,使得 恒成立?若存在,求出 的值;若不存在,说明理
由.
参考答案
1. B 2.B 3. B 4.A 5. A 6. C 7. B 8. C
9. AB 10. BD 11.ABD 12. AD
13.2 14. 15.
16
17.解:(1)由 得 ……2 分
y x
x
y
y x ˆˆ ˆy bx a= +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑
1
2 2
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆa y bx= −
xOy C 2 2( 4) 1x y− + = C x M N
l ( 0)y kx k= >
l C l
l C A B
2 17
17AB ≤ k
AM BN P AM BN OP 1k 2k
3k a 1 2 3k k ak+ = a
2 13
6
π
]7
73,7
73[−
5cos 13B = 13
12cos1sin 2 =−= BB5
由正弦定理 ,得 ……5 分
(2)由三角形面积公式 ,得 ……7 分
由余弦定理 ,得 ……10 分
18. 解:(1)设点 关于 的对称点 ,则
.∴ . ……6 分
(2)∵ 点在直线 上,
∴直线 的方程为 ,即
因为 在直线 上
所以 ,所以 ;
∴ ,即 边上的高所在直线斜率为
所以 边上 高所在的直线方程的方程为 ,即 …12 分
19. ⑴依题意得: ,解得 . ……2 分
所以高一年级被抽取的人数为 66−22−20 = 24.
所以 ,解得 , . ……5 分
⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本,
设抽取男生的人数为 m,则 ,解得 ,
所以应抽取男生 2 人,女生 3 人,分别记作 、 ; 、 、 . ……7 分
方法一:记“从中任取 2 人,至少有 1 人是男生”为事件 A.
从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).
其中至少有 1 人为男生的基本事件有 7 个:
(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3).
所以从中从中任取 2 人,至少有 1 人是男生的概率为 . ……11 分
方法二:记“从中任取 2 人,至少有 1 人是男生”为事件 A,则 表示“从中任取 2 人,
全是女生”,全是女生的基本事件有 3 个:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).
的
B
b
A
a
sinsin
=
2
1sinsin ==
b
BaA
Bacs sin2
1= 5=c
Baccab cos2222 −+= 12=b
A l ( ),D m n
2 1
44 2
22 422 2
n
mm
nn m
− = − = + ⇒ = −+ − = ×
( )4, 2D −
D BC 1 2 33 4DBk
+= = −−
BC 1 3( 3)y x− = − − 3 10 0x y+ − =
C 2y x=
3 10 0 2
2 4
x y x
y x y
+ − = =⇒ = =
( )2,4C
1
3ACk = AC 3−
AC 1 3( 3)y x− = − − 3 10 0x y+ − =
20 10
33n
= 66n =
20 24 22
1000 520 610x y
= =+ + 680x = 490y =
400
5 600 400
m = + 2m =
1A 2A 1B 2B 3B
7
10
A6
所以 .
答:至少有 1 人是男生的概率 . ……12 分
21. 【解析】(1)由已知数据得: , . ……2 分
,…4 分
, ……6 分
, ,
.故所求回归方程为: . ……8 分
(2) 年的年份代号为 ,由(1)知,当 时, ,……10 分
故预测 年该企业的收入为 千万元. ……12 分
22. 解:(1)解:由题意, ,∴圆心 到直线 的距离 ,……1 分
∵直线 与圆 相切,∴ ,∴ ,∴直线 .……3 分
(2)解:由题意得: ,∴ ,
由(1)可知: ,∴ ,∴ . ……6 分
(3)证明: ,与圆 联立,得:
,
∴ , ,∴ ,
3 7( ) 1 ( ) 1 10 10P A P A= − = − =
7
10
11x = 21y =
( )( )9
1
i i
i
x x y y
=
− −∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 8 3 7 2 3 1 1 0 0 1 1 2 3 3 7 4 8= − × − + − × − + − × − + − × − + × + × + × + × + × 120=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )9
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 60i
i
x x
=
− = − + − + − + − + + + + + =∑
120 2ˆ
60b∴ = = 21 2 1 1ˆ 1a∴ = − × = −
∴ ˆ 2 1y x= − ˆ 2 1y x= −
2020 20 20x = 2 20 1 39ˆy = × − =
2020 39
0k > C l 2
4
1
kd
k
=
+
l C 2
4 1
1
kd
k
= =
+
15
15k = 15: 15l y x=
2 2 170 2 1 17AB d< = − ≤ 4 17 117 d≤ <
2
4
1
kd
k
=
+ 2
4 17 4 117 1
k
k
≤ <
+
1 15
4 15k≤ <
( )1: 3AMl y k x= − C ( )2 2: 4 1x y− + =
( ) ( ) ( )2 2
1 13 1 3 5 0x k x k − + − + =
3Mx =
2
1
2
1
3 5
1A
kx k
+= +
2
1 1
2 2
1 1
3 5 2,1 1
k kA k k
+
+ + 7
同理可得: , ……8 分
∵ ,
∴ ,即 , ∵ ,
∴ , 设 ,
∴ ,∴ ,
∴ ,即 , ……10 分
∴ ,∴ ,
∴存在常数 ,使得 恒成立. ……12 分
2
2 2
2 2
2 2
5 3 2,1 1
k kB k k
+ −
+ +
OA OBk k=
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
1 1
3 5 5 3
1 1
k k
k k
k k
k k
−
+ +=+ +
+ +
( )( )1 2 1 21 3 5 0k k k k+ + = 1 2 1k k ≠ −
2 1
3
5k k= − ( )0 0,P x y
( )
( )0 1 0
0 2 0
3
5
y k x
y k x
= − = −
1 2
0
1 2
1 2
0
1 2
3 5
2
k kx k k
k ky k k
− = − − = −
1 2 1 2
1 2 1 2
3 5 2,k k k kP k k k k
− −
− −
1315 ,4 4
kP
1
3 1
3
14
15 5
4
k
k k= = 1 2 1 3
2 25k k k k+ = =
2a = 1 2 32k k k+ =