华中师大一附中 2017 级高三下学期理科数学独立作业 3
考试时间：2020 年 3 月 3１日 满分:150 分 时限：120 分钟
班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 分数 ________
一 、 选 择 题 ： 本题 共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题 给 出 的 四 个选 项 中 ， 只 有一项 符 合题 目 要 求 。
1．已知集合 { }0A x x= > ， { }| 2 xB y y= = ，则 AB =∁ ( )
A． { 0}x x < B． { 0 1}x x< < C． { 1 2}x x≤ ≤ D． { 0 1}x x≤ ≤
2.某科研团队共有63 名加盟成员，为了解每位成员对某项目的完成程度，将各成员按1 至 63 的编号用系统
抽样方法抽取 9 人进行调查，若抽到的最小编号为6，则抽到的最大编号为 ( )
A.48 B.50 C.62 D.63
3.如图所示，半径为1 的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机扔到正方形 MNPQ 内，用 A 表示
事件“豆子落在圆 O 内”， B 表示事件“豆子落在扇形 OEF(阴影部分)内”，则 P( B| A)= ( )
A.
4
π B.
4
1 C.
16
π D.
8
1
4. 2019 年 10 月 30 日，在杭州学军中学举行的第36 届全国中学生物理竞赛决赛中，某校物理竞赛团队有
5 位参赛同学获得金牌，并全部入选国家集训队。赛后，五位同学问教练他们中谁是第一名，教练说：你们
猜一猜。A 说：是B，B 说：是D，C 说：是 A，D 说：B 说错了，E 说：不是我。教练说：你们中只有一人说
对了，第一名是 ( )
A.B B.C C.D D.E
5. 已知双曲线 )0,0(1: 2
2
2
2
>>=− bab
y
a
xC 的实轴长为4，左焦点 F 到 C 的一条渐近线的距离为3，则C
的方程为 ( )
A. 132
22
=− yx B. 143
22
=− yx C. 194
22
=− yx D. 1916
22
=− yx
6. 函数 xexxxf 2
1cos2)( −= 在
− 2
3,2
3 的图像大致为 ( )
7. 已知函数 )0(cos3sin3)( >−= ωωω xxxf 的最小正周期为 π ，把 )(xf 的图像向右平移
)0( πϕϕ > B. 1 1 1
2 3 5x y z= = C. 1 1 1
3 2 5y x z> > D. 1 1 1
5 2 3z x y> >
9.已知抛物线 yxE 8: 2 = 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与 E 交于两点 A、 B 两点，与 x 轴交于点 C，若 A 为线
段 CF 的中点，则 =AB ( )
A.9 B.12 C.18 D.72
10．在长方体 1111 DCBAABCD − 中， PAABCAB ,3,6 1 === 是 11CA 与 11DB 的交点， M、 N 分别
是下底面 ABCD 、上底面 1111 DCBA 上的动点，且 2=MN ，给出下列结论：①直线 MN 与底面 ABCD 所
成的角为60°；②异面直线 PA与 MN所成角的最大值为90°；③异面直线 PA与 MN所成角的最小值为15°；
④存在点 M 对任意点 N 都有 NDMA 11 ⊥ ；则正确结论的序号为 ( )
A. ② B.①②③ C.①③ D.①③④
11.已知锐角 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 ( )2c a a b= + ，则
2cos
cos( )
A
C A−
的取值范围是
( )
A． 2 , 12
B． 1 3,2 2
C． 2 ,2
3
2
D． 1 ,12
12.设实数 0>λ ，若对任意的 ),0( +∞∈x ，不等式 0ln ≥− λ
λ xe x 恒成立，则 λ 的最小值为 ( )
A.
e
1 B.
e2
1 C.
e
2 D.
3
e
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .请 将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，
书写不清，模棱两可均不得分 .
13.若复数 2020)1
1( i
iz −
+= ，则 =z ____________.
14.已知向量 a )2,2(−= ，向量 b的模为1，且 |a- 2b|=2，则 a与 b的夹角为____________.
15.艾萨 克·牛顿 (1643 年 1 月 4 日----1727 年 3 月 31 日) 英 国 皇 家学 会会 长, 英 国 著 名物理学家,同时在数
学上 也 有 许多杰 出 贡献 , 牛顿 用“ 作 切线”的方法 求 函数 )(xf 的 零 点时给出一个数列 { }nx ，满足
微信公公众号《免费下载站》)(
)(
1
n
n
nn xf
xfxx ′−=+
( 注 ： )(xf 的 导 函数 记 为 )(xf ′ )，我们把 该 数列 称 为 牛顿 数列。若函数
)0()( 2 >++= acbxaxxf 有两个 零 点 1,2,数列 { }nx 为 牛顿 数列,
1
2ln −
−=
n
n
n x
xa ,已知 2,21 >= nxa ,
则 { }na 的 通 项 公 式为 =na ____________.
16. 三棱锥 P-ABC 中，点 P 到 A， B， C 三 点的距离 均 为 8， PA⊥ PB， PA⊥ PC，过点 P 作 PO⊥ 平面 ABC，
垂 足为 O， 连接 AO， 此 时
3
6cos =∠PAO ，则 三棱锥 P-ABC 外接球 的体 积 为____________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17 至 21 题为必做题，
每个试题考生必须作答，第 22、 23 题为选做题，考生根据要求作答。
17．( 本 小 题 满分12 分)
已知数列 { }na 是 首相 为 1， 公比 为
2
1 的等 比 数列， nn aaaS +⋅⋅⋅++= 21
(1)若 nS ， 9
8
， 1na − 成等 差 数列， 求 n 的值；
(2) 证明 ： n N ∗∀ ∈ ，有 3 12
1
1 2 2 3 1
2 22 11 2
n
n
n n
a aa
S S S S S S
+
+
+
+ +⋅⋅⋅+ < −
18．( 本 小 题 满分12 分)
如图，在 四棱锥 P- ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD， AD//BC，
22
1
2
1,90 =====∠ PBADBCABABC ο ,E 为 PB 的中点， F 是
PC 上的点。
(1)若 EF//平面 PAD， 证明 ： EF⊥ 平面 PAB；
(2) 求二 面角 B- PD- C 的 余弦 值。
微信公公众号《免费下载站》19．( 本 小 题 满分12 分)
为了了解某年 龄 段人 群 的 午休睡眠质 量，随机抽取了
1000 名 该 年 龄 段的人 作 为 被 调查 者 ，统 计 了他们 午休睡
眠 时间，得到如图所示 频率 分 布 直方图。
(1) 求这 1000 名 被 调查 者 的 午休 平 均睡眠 时间 x (同
一 组 中数 据 用 该组区 间中点 作代 表)；
(2) 由 直方图可 以认 为 被 调查 者 的 午休睡眠 时间 y 服
从 正 态 分 布 ),( 2σµN ， 其 中 2,σµ 分别取 被 调查 者 的
平 均午休睡眠 时间 x 和 方 差 2s ， 那么这 1000 名 被 调查
者 中 午休睡眠 时间 低 于 43.91 分钟( 含 43.91)的人数 估计 有 多少？
(3)如 果 用 这 1000 名 被 调查 者 的 午休睡眠情况估计 某 市该 年 龄 段所有人的 午休睡眠情况 ， 现从 全 市 所有 该
年 龄 段人中随机抽取 2 人( 午休睡眠 时间不 高 于 43.91 分钟) 和 3 人( 午休睡眠 时间不 低 于 73.09 分钟)进行 访
谈 后， 再从 抽取的 这 5 人中 推荐 3 人 作 为 代 表进行 总 结 性发言 ，设 推荐 出的 代 表 者午休睡眠 时间 均 不 高 于
43.91 分钟的人数为 X ， 求 X 的分 布 列 和 数学期 望 。
附 ：① 2s ＝ 212.75, 212.75 ＝ 14.59；②若 y～ N( μ , σ 2 ),则( i ) P(µ－ σ ＜ y≤ µ+σ )＝ 0.6827； (ii)P(µ－ 2σ
＜ y≤ µ+2σ )＝ 0.9545； (iii)P(µ－ 3σ ＜ y≤ µ+3σ )＝ 0.9973 .
20．( 本 小 题 满分12 分)
微信公公众号《免费下载站》21．( 本 小 题 满分12 分)
已知函数 22ln)( axxxxf −+=
(1) 讨 论函数 )(xf 的单调 性 ；
(2) 当 1=a 时， 判断 并说 明 函数 xxfxg cos3)()( −= 的 零 点个数，若函数 )(xg 的所有 零 点 均 在 区 间
[ ]mn, ),( ZnZm ∈∈ 内， 求 mn − 的最小值。
选考题：请在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。
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