华中师大一附中2017 级高三下学期文科数学独立作业 3
考试时间： 2020 年 3 月 3 １日 满分 :150 分 时限： 120 分钟
班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 分数 ________
一 、 选 择 题 (本 大题 共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题 给 出 的 四 个选 项 中 ， 只 有一个 是 符 合题 目 要 求
的 .)
1. ( )Z M 表示集合 M 中整数元素的个数，设集合 { }1 8A x x= − < < ， { }5 2 17B x x= < < ，则 ( )Z A B =∩
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知复数 z 满足 (1 2i) 4 3iz+ = + ，则 z 的共轭复数是
A.2 i− B.2 i+ C.1 2i+ D.1 2i−
3.已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 ( )0,+∞ 上单调递增，则
A. ( ) ( ) ( )0.6
33 log 13 2f f f− < − < B. ( ) ( ) ( )0.6
33 2 log 13f f f− < < −
C. ( ) ( ) ( )0.6
32 log 13 3f f f< − < − D. ( ) ( ) ( )0.6
32 3 log 13f f f< − <
4.宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描
写： “(翁 )乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱
不湿 .”如果铜钱是直径为 5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为 2cm ，则卖
油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是
A. 2
5 B. 4
25
C.
25
π D. 16
25π
5.命题 :p ,x y∈R ， 2 2 2x y+ < ，命题 :q ,x y∈R ， | | | | 2x y+ < ，则 p
是 q 的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.必要充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知数列 { }na 中， 1 1a = ， 1n na a n+ = + ，若利用如图所示的程序框图计
算该数列的第 2020 项，则判断框内的条件是
A. ?2018≤n B. ?2019≤n
C. ?2020≤n D. ?2021≤n
7.函数 2sin( ) 2xf x x xx= + − 的大致图象为
8.若函数 ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + (其中 0A > ， π
2ϕ < )图象的一个对称中心为 π ,03
，其相邻一条对称轴方程
为 7π
12x = ，该对称轴处所对应的函数值为 1− ，为了得到 ( ) cos2g x x= 的图象，则只要将 ( )f x 的图象
A.向右平移 π
6
个单位长度 B.向左平移 π
12
个单位长度
否
是
输输 S
S=S+n
n=n+1
n=1,S=1
结束
开始
微信公公众号《免费下载站》C.向左平移 π
6
个单位长度 D.向右平移 π
12
个单位长度
9.已知 AB 是圆 ( )2 2: 1 1C x y− + = 的直径，点 P 为直线 1 0x y− + = 上任意一点，则 PA PB⋅
的最小值是
A.1 B.0 C. 2 D. 2 1−
10.圆锥 SD (其中 S 为顶点， D 为底面圆心 )的侧面积与底面积的比是 2 :1 ，则圆锥 SD 与它外接球 (即顶点在球
面上且底面圆周也在球面上 )的体积比为
A.9 : 32 B.8 : 27 C.9 : 22 D.9 : 28
11.已知直线 ( )0y kx k= ≠ 与双曲线 ( )
2 2
2 2 1 0, 0x y a b
a b
− = > > 交于 A ， B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双
曲线的右焦点 F ，若 ABF△ 的面积为 24a ，则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C.2 D. 5
12.若对于任意的 1 20 x x a< < < ，都有 2 1 1 2
1 2
ln ln 1x x x x
x x
− >−
，则 a 的最大值为
A.2e B.e C. 1
2 D.1
二 .填 空 题 (本 大题 共 4 小题 ， 每题 5 分 ， 共 20 分 .)
13.某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48 的学号用系统抽样方法抽
取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽到的最小学号为 ____________.
14.在 ABC△ 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 2 7b = ， 3c = ， 2B C= ，则 cos 2C 的值为
____________.
15.正四棱锥 S ABCD− 底面边长为 2 ，高为 1， E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保
持 0PE AC⋅ =
，则动点 P 的轨迹的周长为 ____________.
16. 定 义 在 ( )0,+∞ 上 的 函 数 ( )f x 满 足 ( ) 0f x > ， ( ) ( )f x f x′ 为 的 导 函 数 ， 且
( ) ( ) ( )2 3f x xf x f x′< < 对 ( )0,x ∈ +∞ 恒成立，则 ( )
( )
2
3
f
f
的取值范围是 ____________.
三 .解 答题 (本大题共 6 小题 ， 共 70 分 ， 解答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证明 过 程 或 演 算 步 骤 .)
17.(本小题 12 分 )在公差为 d 的等差数列 { }na 中， 2 2
1 2 1 2a a a a+ = + .
(1)求 d 的取值范围；
(2)已知 1d = − ，试问：是否存在等差数列 { }nb ，使得数列 2
1
n na b
+
的前 n 项和为
1
n
n +
？若存在，
求 { }nb 的通项公式；若不存在，请说明理由 .
18.(本小题 12 分 )如图，多面体 ABCDEF 中， ABCD 是菱形，
60ABC∠ = ° ， FA ⊥ 平面 ABCD ， / /ED FA ，且
2 2AB FA ED= = = .
(1)求证：平面 FAC ⊥ 平面 EFC ；
(2)求多面体 ABCDEF 的体积 .
微信公公众号《免费下载站》19.(本小题 12 分 )某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 (单位： 3m )和使用了节水龙头 50 天的日
用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用
水量 [ )0,0.1 [ )0.1,0.2 [ )0.2,0.3 [ )0.3,0.4 [ )0.4,0.5 [ )0.5,0.6 [ )0.6,0.7
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表
日用
水量 [ )0,0.1 [ )0.1,0.2 [ )0.2,0.3 [ )0.3,0.4 [ )0.4,0.5 [ )0.5,0.6
频数 1 5 13 10 16 5
(1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量
数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于
30.35m 的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少
水？ (一年按 365天计算，同一组中的数据以这组数据
所在区间中点的值作代表 .)
20.(本小题 12 分 )已知椭圆 ( )
2 2
2 2: 1 0x yC a b
a b
+ = > > ，点 ( )1,e 和 22, 2
都在椭圆 C 上，其中 e为椭圆 C 的
离心率 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若过原点的直线 1 :l y kx= 与椭圆 C 交于 A， B 两点，且在直线 2 2: 2 0l kx y k− + − = 上存在点 P ，使
得 PAB△ 是以 P 为直角顶点的直角三角形，求实数 k 的取值范围 .
微信公公众号《免费下载站》21.(本小题 12 分 )已知函数 ( ) ( )21ln 2f x x x ax a= + + ∈R ， ( ) 23e 2
xg x x x= + − .
(1)讨论 ( )f x 的单调性；
(2)定义：对于函数 ( )f x ，若存在 0x ，使 ( )0 0f x x= 成立，则称 0x 为函数 ( )f x 的不动点 .如果函数
( ) ( ) ( )F x f x g x= − 存在不动点，求实数 a的取值范围 .
请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所做 的 第一题 记 分 .
22.(本小题 10 分 )选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 cos
sin
x
y
α
α
=
=
(α 为参数 ).以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2cosρ θ= .
(1)求 1C ， 2C 交点的直角坐标；
(2)设点 A的极坐标为 4, π
3
，点 B 是曲线 2C 上的点，求 AOB△ 面积的最大值 .
23.(本小题 10 分 )选修 4-5： 不 等 式选 讲
已知函数 ( ) 1 2 1f x x x= + + − .
(1)解不等式 ( ) 2f x x≤ + ；
(2)若 ( ) 3 2 3 1g x x m x= − + − ，对 1x∀ ∈R ， 2x∃ ∈R ，使 ( ) ( )1 2f x g x= 成立，求实数 m 的取值范围 .
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