闽粤赣 2020 届高三下学期三省十二校联考数学文科试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由 中不等式变形得， ，解得 ，即 ，
，故选 C.
2.已知（3﹣i）z＝4i（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简（3﹣i）z＝4i，得 ═ ，再利用几何意义求解.
【详解】由题意可得， ═ ，
对应的点（ ）在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，属于基础题.
3.已知 m＝log40 4，n＝40.4，p＝0.40.5，则（ ）
A. m＜n＜p B. m＜p＜n C. p＜n＜m D. n＜p＜m
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 比较.
.
{ }2 2 0A x R x x= ∈ − − < { }1,0,1B − A B =
{ }1,0,1− { }1,0− { }0,1 { }0
A ( )( )2 1 0x x− + < 1 2x− < < ( )1,2A = −
{ } { }1,0,1 , 0,1B A B = − ∴ ∩ =
( )4 34
3 10
+= =−
i iiz i
4 6
5 5 i− +
( )4 34
3 10
+= =−
i iiz i
4 6
5 5 i− +
4 6
5 5
− ，
0.4 0.5
4 0.4 0 4 1 0 0.4 1m log n p= = =＜ ， ＞ ，＜ ＜【详解】因为 ，
所以 m＜p＜n．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实数比较大小，注意对数，指数性质的应用，属于基础题.
4.某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002
，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行：
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号为（ ）
A. 522 B. 324 C. 535 D. 578
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机抽样的定义进行判断即可．
【详解】第 行第 列开始的数为 （不合适）， ， （不合适）， ， ， ， （不
合适）， （不合适）， ， （重复不合适），
则满足条件的 6 个编号为 ， ， ， ， ，
则第 6 个编号为
本题正确选项：
【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．
5.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
0.4 0.5
4 0.4 0 4 1 0 0.4 1m log n p= = =＜ ， ＞ ，＜ ＜
6 6 808 436 789 535 577 348 994
837 522 535 578
436 535 577 348 522 578
578
D
ln( ) xf x x
=【答案】A
【解析】
【分析】
取特殊值排除选项得到答案.
【详解】取 ，排除 C
取 ，排除 BD
故答案选 A
【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算.
6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近
法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴，焦点在 轴上
，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程．
【详解】由题意可得： ，解得 a＝4，b＝3，
因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： ．
故选 A．
ln 22, (2) 02x f= = >
1ln1 1 2, ( ) 012 2
2
x f= = <
C y
C 7
4
12π C
2 2
19 16
x y+ =
2 2
13 4
x y+ =
2 2
118 32
x y+ =
2 2
14 36
x y+ =
2 2 2
12
7
4
ab
c
a
a b c
π π=
=
= +
2 2
116 9
y x+ =【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
7.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得：
，
则： .
本题选择 C 选项.
8.如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算求解即可
【详解】据题意， ．
故选 B．
【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题
9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 在正视图上的对应点为 ，点 在俯视
4 3cos( ) sin6 5a a
π− + = 7sin( )6a
π+
1
2
3
2
4
5
− 1
2
−
3 3 4 3cos sin cos sin 3sin6 2 2 6 5
π πα α α α α − + = + = + =
7 4sin sin6 6 5
π πα α + = − + = −
ABC∆ D BC E AD A AC =
4
3 AD BE+ 5
3 AD BE+
4 1
3 2AD BE+ 5 1
3 2AD BE+
2 5
3 3AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE= − = + = + + = + + = +
P P 、 、A B C图上的对应点为 ，则 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线 PA 与 BC 所成的角，再计算所成角的余弦值．
【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥 P﹣ABCD，且 PD⊥平面 ABCD，如图所示；
取 CD 的中点 M，连接 AM、PM，则 AM∥BC，∴∠PAM 或其补角是异面直线 PA 与 BC 所成的角，
△PAM 中，PA＝2 ，AM＝PM ，
∴cos∠PAM ，又异面直线所成角为锐角
即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 ．
故选 B．
【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算，
是基础题．
、 、A B C PA BC
5
5
10
5
2
2
5
2
2 5=
2 10
55
= =
10
510.已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过右焦点 ，若
且 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，连接 ，构造矩形 ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理
求得 的关系，进而求出离心率．
【详解】
设左焦点为 ， ，连接
则 ， ， ，
因为 ，且 经过原点
所以四边形 为矩形
在 Rt△ 中， ，代入
, ,A B C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > AB O AC F
BF AC⊥ 2 AF CF=
5
3
17
3
17
2
9
4
', 'AF CF 'FAF B
a c、
'F AF m= ', 'AF CF
2FC m= ' 2AF a m= + ' 2 2CF a m= + ' 2FF c=
BF AC⊥ AB O
'FAF B
'AF C 2 2 2' + 'AF AC F C=
( ) ( ) ( )2 2 22 + 3 = 2 2a m m a m+ +化简得
所以在 Rt△ 中， ，代入
化简得 ，即
所以选 B
【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．
11.已知奇函数 对任意 都有
，现将 图象向右平移 个单位长度得到 图象，则下列判断错误的是( )
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 图象关于直线 对称
C. 函数 在区间 上单调递减
D. 图象关于点 对称
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数为 ，根据奇函数的性质和周期性可求得 解析式，
根据三角函数平移变换得到 解析式，利用代入检验的方式，对应正弦函数图象可确定结果.
【详解】
由 得： ， ，解得： .
2
3
am =
'AF F 2 2 2' + 'AF AF F F=
( )2 2
22 22 23 3
a aa c + + =
2
2
17
9
c
a
= 17
3e =
( ) ( ) ( )3sin cos , 02f x x x
πω ϕ ω ϕ ϕ ω = + − + < > x∈R
( ) 02x f xf
π + + =
( )f x 3
π ( )g x
( )g x ,12 2
π π
( )g x 7
12x
π=
( )g x ,6 3
π π −
( )g x ,03
π
( ) 2sin 6
πω ϕ = + − f x x ( )f x
( )g x
( ) ( ) ( )3sin cos 2sin 6f x x x x
πω ϕ ω ϕ ω ϕ = + − + = + −
( ) 02x f xf
π + + =
( ) ( )
2f x f x f x
ππ + = − + =
2π πω∴ = 2ω =又 为奇函数， ，解得： ，
， ， ，
.
对于 ，当 时， ， 在 上单调递增， 正确；
对于 ，当 时， ， 关于直线 对称， 正确；
对于 ，当 时， ， 在 上不单调， 错误；
对于 ，当 时， ，且 ， 关于点 对称， 正确.
故选： .
【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数、根据三角
函数性质求解函数解析式、三角函数的平移变换等知识；关键是能够熟练掌握代入检验的方式，通过整体
对应的方式，对照正弦函数图象得到结果.
12.已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 是偶函数，
，则不等式 的解集为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先构造函数 ，根据导数判断函数是单调递增函数， 将不等式转化为 即
，利用单调性解不等式.
【详解】设 ， 在 上单调递增.
即 ，
( )f x ( )
6 k k Z
πϕ π∴ − = ∈ ( )
6k k Z
πϕ π= + ∈
2
πϕ = +且
2(0) 2f e= ( ) 2 xf x e<
( ,2)−∞ ( ,0)−∞ (0, )+∞ (2, )+∞
( ) ( )
x
f xg x e
= ( )
2x
f x
e
<
( ) ( )2g x g<
( )( ) x
f xg x e
= ( ) ( )( ) 0x
f x f xx e
′ −′ = >g∴ ( )g x∴ R
( ) 22 2f e=
( )( ) 2 2x
x
f xf x e e
< ⇔ < ( ) (2)g x g F C (1, )( 0)A m m > C 2FA =
F 1( 2)2k k≤ ≤ l C ,P Q
C
APQ【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用抛物线性质:到焦点距离等于到准线距离,代入即得答案.
(2)设直线方程和焦点坐标，联立方程，利用韦达定理得到两根关系，把所求面积分为左右两部分相加，用
k 表示出来，最后求出函数的最值得到答案．
【详解】解：（1）点 A 到准线距离为： ，到焦点距离 ，所以 ， ，
（2）将 代入抛物线， ，
设直线 ，设 ，联立方程：
恒成立
连接 AF，则
当 时， 有最小值为
当 时， 有最大值为
所以答案为
【点睛】本题考查了抛物线的性质，弦长公式及面积的最值，利用图形把面积分为左右两部分可以简化运
算，整体难度较大，注重学生的计算能力．
21.已知函数 ，
（Ⅰ）若函数 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值；
（Ⅱ）若 ， 求函数 的零点的个数.
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）见解析.
2 4y x= 5,8 5
12
p + 2FA = 1 22
p + = 2p = 2 4y x=
(1, )( 0)A m m > 2m =
: ( 1)l y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
⇒ 2 2( 1) 4k x x− = ⇒ 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
2 2 4(2 4) 4 0k k∆ = + − ≥
2
1 2 2
1 2
2 4
1
kx x k
x x
++ =
=
2 1 2 1
1 12 ( 1) 2 (1 )2 2APQ AFP AFQS S S x x x x∆ ∆ ∆= + = × × − + × × − = −
2
APQS ∆ = 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 4 2
(2 4) 4 1( ) ( ) 4 4 (2 ) 4( 2)2
kx x x x x x kk k
+− = + − = − = + − ≤ ≤
2k = APQS∆ 5
1
2k = APQS∆ 8 5
5,8 5
2( ) ( 2) ( 2)xf x a x e b x= − + −
( )f x (0, (0))f 5 2 0x y− − = a b
1a = b R∈ ( )f x
1a b= = −【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出 的导数，由 ， ，可解得
；（Ⅱ）先确定函数 至少一个零点 ，在分五种情况讨论: ， ， ，
, ,分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数的最值与极值，结合函数图象可得各种情
况下函数 的零点的个数.
试题解析：（Ⅰ） 的导数为 ， ，
，解得
（Ⅱ） ，易得 有一个零点为
令 ，
（1）若 ，则 ，无零点，所以函数 只有一个零点；
（2）若 ，则
①若 ，则 所以 单调递增，而 ， ，
所以 有一个零点，所以 有两个零点；
②若 ，由 ，知 ， ，所以 在 单调递减，
在 单调递增；所以函数 的最小值为
（ⅰ）当 即 时， ，所以 无零点
，
所以 函数只有一个零点
（ⅱ）当 时，即 ，所以 有一个零点，所以函数 有两个零点
（ⅲ）当 时，即 时， ，所以 有两个零点，所以函数 有三个
零点
综上，当 或 时，函数 只有一个零点；当 或 时，函数 有两个零点
；当 时，函数 有三个零点
( )f x ( )0 4 5f a b′ = − − = ( )0 2 4 2f a b= − + = − 1a b= = −
( )f x 2x = 0b > 0b = 3 0e b− < < 3b e= −
3b e< −
( )f x
( )f x ( ) ( ) ( )1 2 2xf x a x e b x′ = − + − ( )0 4 5f a b′ = − − =
( )0 2 4 2f a b= − + = − 1a b= = −
( ) ( ) ( )2 2xf x x e b x = − + − ( )f x 2x =
( ) ( )2xg x e b x= + −
0b = ( ) 0xg x e= > ( )f x
0b ≠ ( ) xg x e x e b′ ′= = +
0b > ( ) 0g x′ > ( )g x
11 1 2 0bg e bb
− − = − −
( )g x ( )f x
0b < ( ) 0xg x e b=′ + = xe b= − ( )lnx b= − ( )g x ( )( ,ln b −∞ −
( )( )ln ,b− +∞ ( )g x ( ) ( )( ) ( )min ln ln 3g x g b b b = − = − −
( )ln 3 0b− − < 3 0e b− < < ( ) ( )( ) ( )min ln ln 3 0g x g b b b = − = − − > ( )g x
( )f x
( )ln 3 0b− − = 3b e= − ( )g x ( )f x
( )ln 3 0b− − > 3b e< − ( )min 0g x < ( )g x ( )f x
0b = 3 0e b− < < ( )f x 0b > 3b e= − ( )f x
3b e> − ( )f x（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分）
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角
坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)
(1)若 ，求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程；
(2)设点 ，曲线 C 与直线 交于 A、B 两点，求 的最小值
【答案】(1) ， ；（2）14
【解析】
【分析】
（1）根据 直接利用转换关系可得曲线 C 的直角坐标方程，将 代入结合
可得直线 的极坐标；（2）将直线方程代入曲线 中，利用一元二次方程根和系数
的关系以及参数的几何意义即可求出结果．
【详解】(1)曲线 C: ，将 .代入得
即曲线 C 直角坐标方程为 .
直线 l: ，(t 为参数)，所以 ，
故直线 l 的极坐标方程为 .
(2)联立直线 l 与曲线 C 的方程得
即
设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则
因为
当 时取等号，所以 的最小值为 14.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数
的
6cosρ θ=
2 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= +
= − +
2
πα =
( )2 1P ，- l 2 2PA PB+
( )2 2 9=3x y− + cos 2ρ θ =
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2
πα =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = l C
2 6 cosρ ρ θ= cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 6 0x y x+ − =
( )2 23 9x y− + =
2
1
x
y t
=
= − + 2x =
cos 2ρ θ =
2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t tα α α+ + − =
2 2 (cos sin ) 7 0t t α α− + − =
1 2 1 22(cos sin ), 7t t t tα α+ = + = −
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t α α α+ = + = + − = + + = + ≥
sin 2 1α = − 2 2PA PB+关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
选修 4-5：不等式选讲
23.已知函数
（1）当 时，解不等式 ；
（2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.
（2）利用等价转化的思想，可得不等式 在 恒成立，然后解出解集，根据集合
间的包含关系，可得结果.
【详解】（1）当 时，
原不等式可化为 .
①当 时，
则 ，所以 ；
②当 时，
则 ，所以 ；
⑧当 时，
则 ，所以 .
综上所述：
当 时，不等式的解集为 或 .
（2）由 ，
则 ，
.
1( ) | | ( )3f x x a a= − ∈R
2a = 1 ( ) 13x f x− + ≥
1 ( )3x f x x− + ≤ M 1 1,3 2 M ⊆ a
{ | 0x x ≤ 1}x ≥ 1 4,2 3
−
| 3 1| | | 3x x a x− + − ≤ 1 1,3 2
2a =
| 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥
1
3x ≤
3 3 01 2 xx x− + + − ⇒ ≤≥ 0x ≤
1 23 x< <
3 2 11 3x x x− + ≥ ⇒ ≥− 1 2x≤ <
2x ≥
3 3 21 32x x x+ ≥ ⇒ ≥− − 2x ≥
2a = { | 0x x ≤ 1}x ≥
1| | ( )3x f x x− + ≤
| 3 1| | | 3x x a x− + − ≤由题可知：
在 恒成立，
所以 ，即 ，
即 ，
所以
故所求实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时
掌握等价转化的思想，属中档题.
| 3 1| | | 3x x a x− + − ≤ 1 1,3 2
3 1 | | 3x x a x− + − ≤ | | 1x a− ≤
1 1a x a− ≤ ≤ +
11 1 43
1 2 31 2
a
a
a
− ≤ ⇒ − ≤ ≤
+ ≥
a 1 4,2 3
−
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