2020届闽粤赣高三下学期三省十二校联考数学（文）试题（解析版）

闽粤赣 2020 届高三下学期三省十二校联考数学文科试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由 中不等式变形得， ，解得 ，即 ， ，故选 C. 2.已知（3﹣i）z＝4i（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面上所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简（3﹣i）z＝4i，得 ═ ，再利用几何意义求解. 【详解】由题意可得， ═ ， 对应的点（ ）在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查复数的运算及几何意义，属于基础题. 3.已知 m＝log40 4，n＝40.4，p＝0.40.5，则（ ） A. m＜n＜p B. m＜p＜n C. p＜n＜m D. n＜p＜m 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 比较. . { }2 2 0A x R x x= ∈ − − < { }1,0,1B − A B = { }1,0,1− { }1,0− { }0,1 { }0 A ( )( )2 1 0x x− + < 1 2x− < < ( )1,2A = − { } { }1,0,1 , 0,1B A B = − ∴ ∩ = ( )4 34 3 10 += =− i iiz i 4 6 5 5 i− + ( )4 34 3 10 += =− i iiz i 4 6 5 5 i− + 4 6 5 5 − ， 0.4 0.5 4 0.4 0 4 1 0 0.4 1m log n p= = =＜ ， ＞ ，＜ ＜【详解】因为 ， 所以 m＜p＜n． 故选：B． 【点睛】本题主要考查实数比较大小，注意对数，指数性质的应用，属于基础题. 4.某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号，编号分别为 001，002 ，…，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号为（　　） A. 522 B. 324 C. 535 D. 578 【答案】D 【解析】 【分析】 根据随机抽样的定义进行判断即可． 【详解】第 行第 列开始的数为 （不合适）， ， （不合适）， ， ， ， （不 合适）， （不合适）， ， （重复不合适）， 则满足条件的 6 个编号为 ， ， ， ， ， 则第 6 个编号为 本题正确选项： 【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键． 5.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 0.4 0.5 4 0.4 0 4 1 0 0.4 1m log n p= = =＜ ， ＞ ，＜ ＜ 6 6 808 436 789 535 577 348 994 837 522 535 578 436 535 577 348 522 578 578 D ln( ) xf x x =【答案】A 【解析】 【分析】 取特殊值排除选项得到答案. 【详解】取 ，排除 C 取 ，排除 BD 故答案选 A 【点睛】本题考查了函数的图像，通过特殊值排除可以简化计算. 6.阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近 法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的对称轴，焦点在 轴上 ，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知条件列出方程组，求出 a，b，即可得到椭圆方程． 【详解】由题意可得： ，解得 a＝4，b＝3， 因为椭圆的焦点坐标在 y 轴上，所以椭圆方程为： ． 故选 A． ln 22, (2) 02x f= = > 1ln1 1 2, ( ) 012 2 2 x f= = < C y C 7 4 12π C 2 2 19 16 x y+ = 2 2 13 4 x y+ = 2 2 118 32 x y+ = 2 2 14 36 x y+ = 2 2 2 12 7 4 ab c a a b c π π=  =  = + 2 2 116 9 y x+ =【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 7.已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意可得： ， 则： . 本题选择 C 选项. 8.如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量的加减运算求解即可 【详解】据题意， ． 故选 B． 【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题 9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 在正视图上的对应点为 ，点 在俯视 4 3cos( ) sin6 5a a π− + = 7sin( )6a π+ 1 2 3 2 4 5 − 1 2 − 3 3 4 3cos sin cos sin 3sin6 2 2 6 5 π πα α α α α   − + = + = + =       7 4sin sin6 6 5 π πα α   + = − + = −       ABC∆ D BC E AD A AC = 4 3 AD BE+  5 3 AD BE+  4 1 3 2AD BE+  5 1 3 2AD BE+  2 5 3 3AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE= − = + = + + = + + = +             P P 、 、A B C图上的对应点为 ，则 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图知该几何体是直四棱锥，找出异面直线 PA 与 BC 所成的角，再计算所成角的余弦值． 【详解】由三视图知，该几何体是直四棱锥 P﹣ABCD，且 PD⊥平面 ABCD，如图所示； 取 CD 的中点 M，连接 AM、PM，则 AM∥BC，∴∠PAM 或其补角是异面直线 PA 与 BC 所成的角， △PAM 中，PA＝2 ，AM＝PM ， ∴cos∠PAM ，又异面直线所成角为锐角 即 PA 与 BC 所成角的余弦值为 ． 故选 B． 【点睛】本题考查了异面直线所成的角计算问题，可以根据定义法找角再求值，也可以用空间向量法计算， 是基础题． 、 、A B C PA BC 5 5 10 5 2 2 5 2 2 5= 2 10 55 = = 10 510.已知 是双曲线 上的三个点， 经过原点 ， 经过右焦点 ，若 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，连接 ，构造矩形 ；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理 求得 的关系，进而求出离心率． 【详解】 设左焦点为 ， ，连接 则 ， ， ， 因为 ，且 经过原点 所以四边形 为矩形 在 Rt△ 中， ，代入 , ,A B C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > AB O AC F BF AC⊥ 2 AF CF= 5 3 17 3 17 2 9 4 ', 'AF CF 'FAF B a c、 'F AF m= ', 'AF CF 2FC m= ' 2AF a m= + ' 2 2CF a m= + ' 2FF c= BF AC⊥ AB O 'FAF B 'AF C 2 2 2' + 'AF AC F C= ( ) ( ) ( )2 2 22 + 3 = 2 2a m m a m+ +化简得 所以在 Rt△ 中， ，代入 化简得 ，即 所以选 B 【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题． 11.已知奇函数 对任意 都有 ，现将 图象向右平移 个单位长度得到 图象，则下列判断错误的是( ) A. 函数 在区间 上单调递增 B. 图象关于直线 对称 C. 函数 在区间 上单调递减 D. 图象关于点 对称 【答案】C 【解析】 【分析】 利用辅助角公式化简函数为 ，根据奇函数的性质和周期性可求得 解析式， 根据三角函数平移变换得到 解析式，利用代入检验的方式，对应正弦函数图象可确定结果. 【详解】 由 得： ， ，解得： . 2 3 am = 'AF F 2 2 2' + 'AF AF F F= ( )2 2 22 22 23 3 a aa c   + + =       2 2 17 9 c a = 17 3e = ( ) ( ) ( )3sin cos , 02f x x x πω ϕ ω ϕ ϕ ω = + − + < >   x∈R ( ) 02x f xf π + + =   ( )f x 3 π ( )g x ( )g x ,12 2 π π     ( )g x 7 12x π= ( )g x ,6 3 π π −   ( )g x ,03 π     ( ) 2sin 6 πω ϕ = + −  f x x ( )f x ( )g x ( ) ( ) ( )3sin cos 2sin 6f x x x x πω ϕ ω ϕ ω ϕ = + − + = + −   ( ) 02x f xf π + + =   ( ) ( ) 2f x f x f x ππ  + = − + =   2π πω∴ = 2ω =又 为奇函数， ，解得： ， ， ， ， . 对于 ，当 时， ， 在 上单调递增， 正确； 对于 ，当 时， ， 关于直线 对称， 正确； 对于 ，当 时， ， 在 上不单调， 错误； 对于 ，当 时， ，且 ， 关于点 对称， 正确. 故选： . 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性的求解问题，涉及到辅助角公式化简三角函数、根据三角 函数性质求解函数解析式、三角函数的平移变换等知识；关键是能够熟练掌握代入检验的方式，通过整体 对应的方式，对照正弦函数图象得到结果. 12.已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 是偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 首先构造函数 ，根据导数判断函数是单调递增函数， 将不等式转化为 即 ，利用单调性解不等式. 【详解】设 ， 在 上单调递增. 即 ， ( )f x ( ) 6 k k Z πϕ π∴ − = ∈ ( ) 6k k Z πϕ π= + ∈ 2 πϕ = +且 2(0) 2f e= ( ) 2 xf x e< ( ,2)−∞ ( ,0)−∞ (0, )+∞ (2, )+∞ ( ) ( ) x f xg x e = ( ) 2x f x e < ( ) ( )2g x g< ( )( ) x f xg x e = ( ) ( )( ) 0x f x f xx e ′ −′ = >g∴ ( )g x∴ R  ( ) 22 2f e= ( )( ) 2 2x x f xf x e e < ⇔ < ( ) (2)g x g F C (1, )( 0)A m m > C 2FA = F 1( 2)2k k≤ ≤ l C ,P Q C APQ【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)利用抛物线性质:到焦点距离等于到准线距离,代入即得答案. (2)设直线方程和焦点坐标，联立方程，利用韦达定理得到两根关系，把所求面积分为左右两部分相加，用 k 表示出来，最后求出函数的最值得到答案． 【详解】解：（1）点 A 到准线距离为： ，到焦点距离 ，所以 ， ， （2）将 代入抛物线， ， 设直线 ，设 ，联立方程： 恒成立 连接 AF，则 当 时， 有最小值为 当 时， 有最大值为 所以答案为 【点睛】本题考查了抛物线的性质，弦长公式及面积的最值，利用图形把面积分为左右两部分可以简化运 算，整体难度较大，注重学生的计算能力． 21.已知函数 ， （Ⅰ）若函数 在 处的切线方程为 ，求 ， 的值； （Ⅱ）若 ， 求函数 的零点的个数. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）见解析. 2 4y x= 5,8 5   12 p + 2FA = 1 22 p + = 2p = 2 4y x= (1, )( 0)A m m > 2m = : ( 1)l y k x= − 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 4 ( 1) y x y k x  =  = − ⇒ 2 2( 1) 4k x x− = ⇒ 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 2 2 4(2 4) 4 0k k∆ = + − ≥ 2 1 2 2 1 2 2 4 1 kx x k x x  ++ =  = 2 1 2 1 1 12 ( 1) 2 (1 )2 2APQ AFP AFQS S S x x x x∆ ∆ ∆= + = × × − + × × − = − 2 APQS ∆ = 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 (2 4) 4 1( ) ( ) 4 4 (2 ) 4( 2)2 kx x x x x x kk k +− = + − = − = + − ≤ ≤ 2k = APQS∆ 5 1 2k = APQS∆ 8 5 5,8 5   2( ) ( 2) ( 2)xf x a x e b x= − + − ( )f x (0, (0))f 5 2 0x y− − = a b 1a = b R∈ ( )f x 1a b= = −【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出 的导数，由 ， ，可解得 ；（Ⅱ）先确定函数 至少一个零点 ，在分五种情况讨论: ， ， ， , ,分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数的最值与极值，结合函数图象可得各种情 况下函数 的零点的个数. 试题解析：（Ⅰ） 的导数为 ， ， ，解得 （Ⅱ） ，易得 有一个零点为 令 ， （1）若 ，则 ，无零点，所以函数 只有一个零点； （2）若 ，则 ①若 ，则 所以 单调递增，而 ， ， 所以 有一个零点，所以 有两个零点； ②若 ，由 ，知 ， ，所以 在 单调递减， 在 单调递增；所以函数 的最小值为 （ⅰ）当 即 时， ，所以 无零点 ， 所以 函数只有一个零点 （ⅱ）当 时，即 ，所以 有一个零点，所以函数 有两个零点 （ⅲ）当 时，即 时， ，所以 有两个零点，所以函数 有三个 零点 综上，当 或 时，函数 只有一个零点；当 或 时，函数 有两个零点 ；当 时，函数 有三个零点 ( )f x ( )0 4 5f a b′ = − − = ( )0 2 4 2f a b= − + = − 1a b= = − ( )f x 2x = 0b > 0b = 3 0e b− < < 3b e= − 3b e< − ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( )1 2 2xf x a x e b x′ = − + − ( )0 4 5f a b′ = − − = ( )0 2 4 2f a b= − + = − 1a b= = − ( ) ( ) ( )2 2xf x x e b x = − + −  ( )f x 2x = ( ) ( )2xg x e b x= + − 0b = ( ) 0xg x e= > ( )f x 0b ≠ ( ) xg x e x e b′ ′= = + 0b > ( ) 0g x′ > ( )g x 11 1 2 0bg e bb − − = − − ( )g x ( )f x 0b < ( ) 0xg x e b=′ + = xe b= − ( )lnx b= − ( )g x ( )( ,ln b −∞ −  ( )( )ln ,b− +∞ ( )g x ( ) ( )( ) ( )min ln ln 3g x g b b b = − = − −  ( )ln 3 0b− − < 3 0e b− < < ( ) ( )( ) ( )min ln ln 3 0g x g b b b = − = − − >  ( )g x ( )f x ( )ln 3 0b− − = 3b e= − ( )g x ( )f x ( )ln 3 0b− − > 3b e< − ( )min 0g x < ( )g x ( )f x 0b = 3 0e b− < < ( )f x 0b > 3b e= − ( )f x 3b e> − ( )f x（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分） 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数) (1)若 ，求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程； (2)设点 ，曲线 C 与直线 交于 A、B 两点，求 的最小值 【答案】(1) ， ；（2）14 【解析】 【分析】 （1）根据 直接利用转换关系可得曲线 C 的直角坐标方程，将 代入结合 可得直线 的极坐标；（2）将直线方程代入曲线 中，利用一元二次方程根和系数 的关系以及参数的几何意义即可求出结果． 【详解】(1)曲线 C: ，将 .代入得 即曲线 C 直角坐标方程为 . 直线 l: ，(t 为参数)，所以 ， 故直线 l 的极坐标方程为 . (2)联立直线 l 与曲线 C 的方程得 即 设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 因为 当 时取等号，所以 的最小值为 14. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数 的 6cosρ θ= 2 cos 1 sin x t y t α α = +  = − + 2 πα = ( )2 1P ，- l 2 2PA PB+ ( )2 2 9=3x y− + cos 2ρ θ = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 πα = cos , sinx yρ θ ρ θ= = l C 2 6 cosρ ρ θ= cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 6 0x y x+ − = ( )2 23 9x y− + = 2 1 x y t =  = − + 2x = cos 2ρ θ = 2 2( cos sin ) ( sin 1) 9t tα α α+ + − = 2 2 (cos sin ) 7 0t t α α− + − = 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t tα α+ = + = − 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t α α α+ = + = + − = + + = + ≥ sin 2 1α = − 2 2PA PB+关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 （1）当 时，解不等式 ； （2）设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 或 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果. （2）利用等价转化的思想，可得不等式 在 恒成立，然后解出解集，根据集合 间的包含关系，可得结果. 【详解】（1）当 时， 原不等式可化为 . ①当 时， 则 ，所以 ； ②当 时， 则 ，所以 ； ⑧当 时， 则 ，所以 . 综上所述： 当 时，不等式的解集为 或 . （2）由 ， 则 ， . 1( ) | | ( )3f x x a a= − ∈R 2a = 1 ( ) 13x f x− + ≥ 1 ( )3x f x x− + ≤ M 1 1,3 2 M  ⊆   a { | 0x x ≤ 1}x ≥ 1 4,2 3  −   | 3 1| | | 3x x a x− + − ≤ 1 1,3 2      2a = | 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥ 1 3x ≤ 3 3 01 2 xx x− + + − ⇒ ≤≥ 0x ≤ 1 23 x< < 3 2 11 3x x x− + ≥ ⇒ ≥− 1 2x≤ < 2x ≥ 3 3 21 32x x x+ ≥ ⇒ ≥− − 2x ≥ 2a = { | 0x x ≤ 1}x ≥ 1| | ( )3x f x x− + ≤ | 3 1| | | 3x x a x− + − ≤由题可知： 在 恒成立， 所以 ，即 ， 即 ， 所以 故所求实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时 掌握等价转化的思想，属中档题. | 3 1| | | 3x x a x− + − ≤ 1 1,3 2      3 1 | | 3x x a x− + − ≤ | | 1x a− ≤ 1 1a x a− ≤ ≤ + 11 1 43 1 2 31 2 a a a  − ≤ ⇒ − ≤ ≤  + ≥ a 1 4,2 3  −  