高三数学试卷（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟
．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别用列举法表示 A、B 两个集合，再计算 即可.
【详解】由题得， ，
则 .
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题.
2.复数
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析： .
考点：复数的除法
3.若直线 经过抛物线 的焦点，则 （ ）
{ }2{ |5 0}, | 3 2 0A x N x B x x x= ∈ − = − + = AB =
{0,3,4} {0,3,4,5} {3,4} {3,4,5}
AB
{ }{0,1,2,3,4,5}, 1,2A B= =
{0,3,4,5}AB =
3 2
1
i
i
− =+
1 5
2 2 i+ 1 5
2 2 i− 1 5
2 2 i− + 1 5
2 2 i− −
( )( )
( )( )
2
2
3 2 13 2 3 3 2 2 1 5 1 5
1 1 1 1 2 2 2
i ii i i i i ii i i i
− −− − − + −= = = = −+ + − −
2 4 0x y m+ + = 22y x= m =
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计算抛物线的交点为 ，代入计算得到答案.
【详解】 可化为 ，焦点坐标为 ，故 .
故选： .
【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.
4.如图所示的是某篮球运动员最近 5 场比赛所得分数的茎叶图，则该组数据的方差是（ ）
A. 20 B. 10 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据茎叶图得到数据 26，28，29，30，32，求出均值，再利用公式求出方差即可.
【详解】由茎叶图可知，5 场比赛得分的均值为 29，
故其方差为：
.
故选：D.
【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的方差的问题，属于简单题.
5.已知函数 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
1
2
1
2
− 2−
10, 8
22y x= 2 1
2x y= 10, 8
1
2m = −
B
2 2 2 2 21[(26 29) (28 29) (29 29) (30 29) (32 29) ] 45
− + − + − + − + − =
2
2 , 0,( )
1, 0,
x x xf x
x x
−= + =
2 2
1log log 1 03
< =
c a b∴ < > 2F ,P Q 90OPQ °∠ = O
OPQ∆
3
a
2 5
2 10 10
2
由双曲线的渐近线关于 x 轴对称可知， 的内切圆圆心 M 在 x 轴上，过点 M 分别作 于 N，
于 T，结合条件 可知四边形 MTPN 为正方形，在 中求出 ，又由题意得
出 的 长 ， 进 而 求 得 的 长 度. 在 中 ， 求 出 ， 也 即 是 的 值 ， 再 根 据
求出离心率的值.
【详解】如图，设 的内切圆圆心为 M，则 M 在 x 轴上，
过点 M 分别作 于 N， 于 T，
由 得四边形 MTPN 为正方形，
由焦点到渐近线的距离为 b，得 ，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
故 .
故选：B.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，其中利用渐近线关于 x 对称，将内切圆的圆心固定在 x 轴上，在
直角三角形中用边长之比表示 是关键.属于较难题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
13.已知向量 ，则 ________．
OPQ△ MN OP⊥
MT PQ⊥ 2F P OP⊥ 2Rt OPF OP
PN ON Rt OMN tan NOM∠ b
a
21 ( )be a
= +
OPQ△
MN OP⊥ MT PQ⊥
2F P OP⊥
2F P b=
2OF c= OP a=
1
3NP MN a= = 2
3
aNO =
1
13tan 2 2
3
aMNb NOMa NO a
= ∠ = = =
2 21 51 ( ) 1 ( )2 2
be a
= + = + =
b
a
(1,2), ( 1,2)a b= = − |3 |a b− =
【答案】
【解析】
分析】
先算出 的坐标，再用求模的公式计算即可.
【详解】由 可得 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了向量的模的坐标运算，属于基础题.
14.已知实数 满约束条件 ，则 的最大值为___________.
【答案】8
【解析】
分析】
画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.
【详解】根据约束条件 ，画出可行域，图中阴影部分为可行域.
又目标函数 表示直线 在 轴上的截距，
由图可知当 经过点 时截距最大，故 的最大值为 8.
故答案为： .
【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
15.在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
【
【
4 2
3a b−
(1,2), ( 1,2)a b= = − 3 (4,4)a b− =
3 4 2a b− =
4 2
,x y
2 0,
2 5 0,
1,
x y
x y
y
− +
+ −
3z x y= − +
2 0,
2 5 0,
1,
x y
x y
y
− +
+ −
3 , 3
zz x y= − + 3 0x y z− + = y
3 0x y z− + = (1,3)P z
8
1 1 1 1ABCD A B C D− 13, 4AD AA AB= = = 1A B AC
________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 可将直线 平移到 ，与 相交，则 异面直线 与 所成角.在
中，利用余弦定理即可求值.
【详解】如图，连接 ， ，则 ，
所以 为异面直线 与 所成角，
由题意可得 ， ，
则
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了平移法求异面直线所成角，属于基础题.
16.已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
为
2 2
5
1 / /A B CD 1A B CD AC 1ACD∠ 1A B AC 1ACD△
1CD 1AD 1 / /A B CD
1ACD∠ 1A B AC
1 5AC AD= =
1 1 4 2A B CD= =
2 2 2
1 1
1
1
cos 2
AC CD ADACD AC CD
+ −∠ = ⋅
25 32 25
2 5 4 2
+ −=
× ×
2 2
5
=
2 2
5
( ) 1xf x e ax= + − 0, ( ) 0x f x a
[ 1, )− +∞
求导得到 ，讨论 和 两种情况，计算 时，函数 在 上单调
递减，故 ，不符合，排除，得到答案。
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 .
当 ，即 时， ，则 在 上单调递增，从而 ，故 符
合题意；
当 ，即 时，因为 在 上单调递增，且 ，所以存在唯一
的 ，使得 .
令 ，得 ，则 在 上单调递减，从而 ，故 不符合题意.综
上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
三、解答题：本大题共 6 小题，共⑦0 分．解答应写岀必要的文字说明、证明过程或演算步骤
．17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.在 中，角 所对的边分别是 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理到 ，得到答案.
（2）计算 ，再利用余弦定理计算得到答案
【详解】（1）由 ，可得
,
.
( ) xf x e a′ = + 1 0a + 1 0a + < 1 0a + < ( )f x [ )00, x
( ) (0) 0f x f =
( ) 1xf x e ax= + − ( ) xf x e a′ = + 0x ( ) 1f x a′ +
1 0a + 1a ≥ − ( ) 0f x′
( )f x [0, )+∞ ( ) (0) 0f x f = 1a ≥ −
1 0a + < 1a < − ( ) xf x e a′ = + [0, )+∞ (0) 1 0f a′ = + <
0 (0, )x ∈ +∞ ( )0 0f x′ =
( ) 0f x′ < 00 x x 2cos 5sinB B= 2 5tan 5B =
2cos 5sin 0B B= > 2 2sin cos 1B B+ = 5cos 3B =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 55 9 2 5 3 43b = + − × × × = 2b =
P ABCD− PA ⊥ , 3, 4,ABCD AB AD AP E= = = PD
AE PC⊥
M BC 1BM = M PCD
3 2
2
AE PC⊥ AE ⊥ PCD AE CD⊥ AE PD⊥ AE CD⊥
CD ⊥ PAD ABCD AD CD⊥ PA ⊥ ABCD
PA CD⊥ AE PD⊥ APD△ AE
M PCD P CDMV V− −= M PCD
PA ⊥ ABCD PA CD∴ ⊥
ABCD AD CD∴ ⊥
PA AD A∩ =
CD\ ^ PAD AE CD⊥
4AD AP= = E PD
AE PD∴ ⊥ CD PD D=
平面 ，
则 ；
（2）
，
，
设点 M 到平面 PCD 的距离为 h，
，
，
.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理，线线垂直的证明问题，利用等体积法求点到平面的
距离问题，属于中档题.
19.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了 100 名高中生，根据问卷调查
，得到以下数据：
作文成绩优秀 作文成绩一般 总计
课外阅读量较大 35 20 55
课外阅读量一般 15 30 45
总计 50 50 100
（1）根据列联表，能否有 99.5%的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；
（2）若用分层抽样的方式从课外阅读量一般的高中生中选取了 6 名高中生，再从这 6 名高中生中随机选取
2 名进行面谈，求面谈的高中生中至少有 1 名作文成绩优秀的概率．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
AE∴ ⊥ PCD
AE PC⊥
PD CD⊥
1 6 22PCDS PD CD∴ = ⋅ =
1 63P CDM MCDV S PA− = ⋅ =△
M PCD P CDMV V− −=
1 6 2 63 h∴ ⋅ =
3 2
2h∴ =
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有 的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；
（2）
【解析】
【分析】
（1）计算观测值 K2，与 7.879 比较大小，即可得结论；
（2）根据分层抽样，分别计算出 6 人中成绩一般的人数和成绩优秀的人数，再将所有的结果一一列举出来
，用古典概型的公式进行计算.
【详解】解：（1）
有 的把握认为课外阅读量的大小与作文成绩优秀有关；
（2）由题意可知选取的 6 名高中生中作文成绩一般的人数是
，记为 ， ， ， ，
作文成绩优秀的人数是 ，记为 E，F，
从所选的 6 名高中生中随机选取 2 名的情况有：
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ，共 15 种，
其中符合条件的情况有 ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 9 种，
故所求的概率为 .
【点睛】本题考查了独立性检验问题，分层抽样，列举法求古典概型.属于中档题.
0k
0 099.5
3
5
2
2 100 (35 30 20 15) 100 9.091 7.87950 50 55 45 11K
× × − ×= = ≈ >× × ×
∴ 0 099.5
306 415 30
× =+ a b c d
156 215 30
× =+
( , )a b ( , )a c ( , )a d ( , )a E ( , )a F ( , )b c
( , )b d ( , )b E ( , )b F ( , )c d ( , )c E ( , )c F
( , )d E ( , )d F ( , )E F
( , )a E ( , )a F ( , )b E ( , )b F
( , )c E ( , )c F ( , )d E ( , )d F ( , )E F
9 3
15 5P = =
20.椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆 上两动点 使得四边形 为
平行四边形，且平行四边形 的周长和最大面积分别为 8 和 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 的另一交点为 ，当点 在以线段 为直径的圆上时，求直线 的方程.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
（1）根据题意计算得到 ， ，得到椭圆方程.
（2）设 ，联立方程得到 ，根据
，计算得到答案.
【详解】（1）由平行四边形 的周长为 8，可知 ，即 .
由平行四边形的最大面积为 ，可知 ，又 ，解得 .
所以椭圆方程为 .
（2）注意到直线 的斜率不为 0，且过定点 .
设 ，
由 消 得 ，所以 ，
因为 ，
所以
.
2 2
2 2: 1( 1)x yE a ba b
+ = > > 1 2,F F E ,P Q 1 2PFQF
1 2PFQF 2 3
E
2PF E M 1F PM 2PF
2 2
14 3
x y+ = 3 7 3 0x y+ − = 3 7 3 0x y− − =
2a = 3, 1b c= =
( ) ( )
2 1 1 2 2: 1, , , ,PFl x my P x y M x y= +
1 2 2
1 2 2
6 ,3 4
9 .3 4
my y m
y y m
+ = − +
= − +
1 1 0F P F M⋅ =
1 2PFQF 4 8a = 2a =
2 3 3bc = 1a b> > 3, 1b c= =
2 2
14 3
x y+ =
2PF 2 (1,0)F
( ) ( )
2 1 1 2 2: 1, , , ,PFl x my P x y M x y= +
2 2
1,
3 4 12,
x my
x y
= +
+ =
x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =
1 2 2
1 2 2
6 ,3 4
9 .3 4
my y m
y y m
+ = − +
= − +
( ) ( )1 1 1 1 2 22, , 2,F P my y F M my y= + = +
( )( ) ( ) ( )2
1 1 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4F P F M my my y y m y y m y y⋅ = + + + = + + + +
( )2 2 2
2 2 2
9 1 12 7 943 4 3 4 3 4
m m m
m m m
+ −= − − + =+ + +
因为点 在以线段 为直径的圆上，所以 ，即 ，
所以直线 的方程 或 .
【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为 是解题的
关键.
21.已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值．
【答案】（1） ；
（2）1
【解析】
【分析】
（1）求出切线斜率 ，切点坐标 ，即可求得切线方程；
（2）分离参数得 对 恒成立，构造新的函数 ，对 求导，得
，再构造函数 .再求 ，分析 的单调性，利用零点存在定理
发现 在区间 上存在一个零点 ，由 得 .同时可得 时， 单调
递增， 时， 单调递减，则 ，则 .又因为 ，m 为正整数
，所以 的最小值是 1.
【详解】解：（1） ，
切线的斜率为 ，
1F PM 1 1 0F P F M⋅ = 7
3m = ±
2PF 3 7 3 0x y+ − = 3 7 3 0x y− − =
1 1 0F P F M⋅ =
( ) lnf x x x x= +
( )y f x= x e=
( )f x mx m> − (0,1)x∈ m
3y x e= −
( )f e′ ( , ( ))e f e
ln
1
x x xm x
+> − (0,1)x∈ ln( ) 1
x x xg x x
+= − ( )g x
2
ln 2( ) ( 1)
′ − −= −
x xg x x ( ) ln 2h x x x= − − ( )h x′ ( )h x
( )h x (0,1) 0x 0( ) 0h x = 0 0ln 2x x= − 00 x x< < ( )g x
0 1x x< < ( )g x max 0 0( ) ( )g x g x x= = 0m x> 0 (0,1)x ∈
m
( ) ln 2f x x′ = +
∴ ( ) 3f e′ =
又 ，
所求切线的方程为 ；
（2）当 时， 整理可得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
， ，
在区间 上存在一个零点 ，
此时 ，即 ，
当 时， ，即 ，函数 单调递增，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
有极大值，即最大值为
，
则 ，
，
正整数 的最小值是 1.
【点睛】本题考查了利用导函数求切线方程，利用导函数解决不等式恒成立，构造函数求函数的最值的问
题，属于难度较大的题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系 中，曲线 的标准方程为 .以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立
( ) 2f e e=
∴ 3y x e= −
0 1x< < ( )f x mx m> − ln
1
x x xm x
+> −
ln( ) 1
x x xg x x
+= − 2
ln 2( ) ( 1)
′ − −= −
x xg x x
( ) ln 2h x x x= − − 1( ) 1h x x
′ = −
( ) 0h x′ = 1x =
0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
(1) 1 0h = −
( )h x∴ (0,1) 0x
0 0 0( ) ln 2 0h x x x= − − = 0 0ln 2x x= −
∴ 00 x x< < ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x
0 1x x< < ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x
( )g x∴
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
ln ( 2)( ) 1 1
x x x x x xg x xx x
+ − += = =− −
0m x>
0 (0,1)x ∈
∴ m
xOy C
2
2 14
x y+ = O x
极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的直角坐标方程；
（2）若点 在曲线 上，点 在直线 上，求 的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用极坐标公式计算得到答案
（2）设 ， ，根据三角函数的有界性得到答案.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 所以直线 的直角坐标方程为 .
（2）由题意可设 ，
则点 到直线 的距离 .
因为 ，所以 ，
因为 ，故 的最小值为 .
【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.
[选修 4-5：不等式选讲]
23.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 的最大值为 ，且 ，求 的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
l 2 sin 3 54
πρ θ + =
l
P C Q l | |PQ
3 5 0x y+ − = 10
(2cos ,sin )P α α | 5 sin( ) 3 5 |
2
d
α ϕ+ −=
2 sin 3 54
πρ θ + = sin cos 3 5 0ρ θ ρ θ+ − =
cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= l 3 5 0x y+ − =
(2cos ,sin )P α α
P l | 2cos sin 3 5 | | 5sin( ) 3 5 |
2 2
d
α α α ϕ+ − + −= =
1 sin( ) 1α ϕ− + 10 2 10d
| |PQ d | |PQ 10
( ) | 1| | 4 2 |f x x x= + − −
1( ) ( 1)3f x x −
( )f x m 2 ( 0, 0)a b m a b+ = > > 2 1
a b
+
[1,4] 3
（1）化简得到 ，分类解不等式得到答案.
（2） 的最大值 ， ，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）
因为 ，故 或 或
解得 或 ，故不等式 的解集为 .
（2）画出函数图像，根据图像可知 的最大值 .
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是 3.
【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.
5, 1,
( ) 3 3, 1 2,
5, 2.
x x
f x x x
x x
− < −
= − −
− + >
( )f x (2) 3m f= = 2 3( 0, 0)a b a b+ = > >
5, 1,
( ) 1 4 2 3 3, 1 2,
5, 2.
x x
f x x x x x
x x
− < −
= + − − = − −
− + >
1( ) ( 1)3f x x −
1,
15 ( 1)3
x
x x
< − − ≥ −
1 2,
13 3 ( 1)3
x
x x
− − −
2,
15 ( 1),3
x
x x
>− + ≥ −
1 2x 2 4x<
1( ) ( 1)3f x x − [1,4]
( )f x (2) 3m f= =
2 3( 0, 0)a b a b+ = > > 2 1 1 2 1 1 2 2 1(2 ) 5 (2 2 5) 33 3 3
a ba ba b a b b a
+ = + + = + + × × + =
1a b= = 2 1
a b
+
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