上海2020年4月高考数学大数据精选模拟卷（解析版）

1 2020 年 4 月高考数学大数据精选模拟卷 02 数 学（上海卷） 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．每 个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1.已知集合 ， ，则 __ ． 【答案】 【解析】因为 ，所以 或 故 ，故答案为： ． 2.若“对任意的 ”是真命题，则实数 的最小值为__ ． 【答案】 【解析】若“ ”是真命题，则 大于或等于函数 在 的最大值 因为函数 在 上为增函数，所以，函数 在 上的最大值为 1， 所以， ，即实数 的最小值为 .故答案为: . 3. 若椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 __ ． 【答案】 【解析】椭圆的焦点坐标为 ，抛物线的焦点坐标为 ， 所以有 ，解得 ，故答案为 . 2 2 1( 0)2 x y pp p + = > 2 2 ( 0)y px p= > ( ) ( ),0 , ,0p p− ,02 p     2 pp = 4p = 2{ | 2 }A x y x x= = − { | 2 , }xB y y x R= = ∈ ( )RC A B∩ = [ )2,+∞ 2{ | 2 0} { | 0 2}A x x x x x= − ≥ = ≤ ≤ 2{ | 2 0} { | 0UC A x x x x x= − < = < 2}x > ( ) { | 2}UC A B x x∩ = ≥ [2, )+∞ 0, ,tan4x x m π ∈ ≤   m 1 0, ,tan4x x m π ∀ ∈ ≤   m tany x= 0, 4 π     tany x= 0, 4 π     tany x= 0, 4 π     1m ≥ m 1 1 p = 4 42 4. 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为 和 ，则该圆锥母线与底面所成角为__ ．（用反三角 表示） 【答案】 【解析】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，所以有 解得 ，设圆锥母线与 底面所成角为 ，则 ；故该圆锥母线与底面所成角为 。故答案为 5.若 复 数 （ 为 虚 数 单 位 ） 是 方 程 （ 均 为 实 数 ） 的 一 个 根 ， 则 __ ． 【答案】 【解析】因为复数 （ 为虚数单位）是实系数方程 的一个根， 所以另一根为 ，由韦达定理可知 所以 .故答案为： 6. 若函数 的反函数为 ，则不等式 的解集为__ ． 【答案】 【解析】∵ ，∴有 ，则 ，必有 ，∴ ，解 得 ．故答案为： ． 7.已知直线 与单位圆 交于 、 两点，设 、 的倾斜角是 、 ，则 __ ． 9π 15π 3arcsin 5 r l h 2 9 15 r rl π π π  =  = 3 5 r l =  = θ 3sin 5 r l θ = = 3arcsin 5 3arcsin 5 1z i= + i 2 0x cx d+ + = ,c d | |c di+ = 2 2 1z i= + i 2 0x cx d+ + = 1 i− 1 1 , (1 )(1 ) 2, 2c i i d i i c d− = + + − = + − ⇒ = − = | | 2 2 2 1 1 2 2+ = − + = + =c di i 2 2 ( ) ( )11+ 0f x x x= > ( )1f x− ( )1 2f x− > 31, 2      1( ) 1f x x = + 1 1( ) ( 1)1f x xx − = >− 1 21x >− 1 0x − > 2( 1) 1x − < 31 2x< < 31, 2      3 2 0x y+ − = 2 2 1x y+ = A B OA OB α β cos cosα β+ =3 【答案】 【解析】设 ，根据三角函数的定义得： ；由 ，消去 得 ，则 ；即 。故答案为： 8. 函数 （ ），又 ， ，且 的最小值等于 ， 则正数 的值为__ ． 【答案】 【解析】由 ； ∵ ， 且 的最小值等于 ，则 。故答案为 9. 2020 年初，某地区确诊有 、 、 、 四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有 到过疫区， 肯定 是受 感染的，对于 ，因为难以断定他是受 还是受 感染的，于是假定他受 和受 感染的概率都 是 ，同样也假定 受 、 和 感染的概率都是 ，在这种假定之下，若 、 、 三人中恰有两 人直接受 感染的概率是__ ． 【答案】 x y A B O 6 5 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y cos cosα β+ = 1 2x x= + 2 2 3 2 0 1 x y x y + − =  + = y 210 12 3 0x x− + = 1 2 6 5x x+ = 6cos cos 5 α β+ = 6 5 sin 0 cos ( ) 3 1 0 0 1 1 x x f x ω ω = x∈R ( ) 2f α = − ( ) 0f β = | |α β− 3 4 π ω 2 3 sin 0 cos ( ) 3 1 0 sin 3cos 2sin( )30 1 1 x x f x x x x ω ω πω ω ω= = − = − ( ) 2f α = − ( ) 0f β = | |α β− 3 4 π 1 2 3 2 4 4 3 π π ωω = ⇒ = 2 3 A B C D A B A C A B A B 1 2 D A B C 1 3 B C D A 1 24 【解析】因为直接受 感染的人至少是 ，而 二人也有可能是由 感染的，所以 ,设 、 、 三 人 直 接 受 感 染 的 为 事 件 、 、 ， 则 、 、 是 相 互 独 立 的 ， 并 且 ; 表 明 除 了 外 ， 、 二 人 中 恰 有 一 人 直 接 受 感 染 的 ， 所 以 ;故答案为 10. 圆的内接正六边形 的边长为 1，若 为弓形 内任意一点（如图所示的阴影部分，含 边界），则 的取值范围是__ ． 【答案】 【解析】如图，以直线 为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，则 ， ， ， ， ．设 ， 则 ， ，∴ ， 令 ， 易 知 直 线 就 是 直 线 ， 平 移 直 线 ， 当 与 重 合 时 ， ，当直线 与阴影部分的弧相切时 ， ，∴ ， ∴ ， 即 所 求 取 值 范 围 是 ． 故 答 案 为 ： ． A B ,C D A ( ) 1p B = B C D A B C D B C D 1 1( ) , ( )2 3p C p D= = B C D A 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )2 3 2 3 2P CD CD P C P D P C P D+ = + = × − + − × = 1 2 1 2 3 4 5 6A A A A A A P 3 4A A 1 3 6A A A P⋅  3+2 33 2       , 6 3A A x 6 3A A y 6 ( 1,0)A − 1 1 3( , )2 2A − − 3 (1,0)A 4 1 3( , )2 2A 5 1 3( , )2 2A − ( , )P x y 6 ( 1, )A P x y= + 1 3 3 3( , )2 2A A = 1 3 6 3 3 3 3( 1) ( 3 )2 2 2 2A A A P x y x y⋅ = + + = + +  3z x y= + : 3 0l x y+ = 2 5A A l l 3 4A A min 3 2z = l 2 2 1 ( 3) 1 z = + 2z = max 2z = 1 3 6 3 3 3 3 322 2 2 2 2A A A P× + ≤ ⋅ ≤ × +  2 3 3[3, ]3 + 2 3 3[3, ]3 +5 11. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 若 函 数 与 有 个公共点，分别为 ，则 __ ． 【答案】 【解析】因为 ，故可得 关于 对称，且 又因为 ，故 也关于 对 称，且 ；由题可知，当 与 有 个公共点时，则其中一个一定是 点， 剩余 个公共点成对出现，可分为 组，每一组都是关于 点对称. 故可得 ， ，则 .故答案为： . 12. 数 列 满 足 ， 且 ， . 若 ，则实数 __ ． 【答案】 【解析】数列 满足 ，且 ， . 令 ，得： ，解得 .令 ，得： ，解得 . R ( )f x ( ) ( ) 2f x f x+ − = ( ) 3 2 2 1 sin 1 x x x x xg x + + + += + ( )y f x= n ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nx y x y x y⋅⋅⋅ ( ) 1 n i i i x y = + =∑ n ( ) ( ) 2f x f x+ − = ( )f x ( )0,1 ( )0 1f = ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 1 sin 1 sin 21 1 x x x x x x x xg x g x x x − + − + − + + + ++ − = + =+ + ( )g x ( )0,1 ( )0 1g = ( )f x ( )g x n ( )0,1 1n − 1 2 n − ( )0,1 1 2 0nx x x+ + + = 1 2 12 12n ny y y n −+ + + = × + = ( ) 1 n i i i x y = + =∑ n n { }na ( )* 1 2 1 2 1 1,n n n n n n n na a a a a a a a n N+ + + + += + + ≠ ∈ 1 1a = 2 2a = ( ) ( )sin 0,0na A n cω ϕ ω ϕ π= + + > < < A = 2 3 3 { }na ( )* 1 2 1 2 1 1,n n n n n n n na a a a a a a a n N+ + + + += + + ≠ ∈ 1 1a = 2 2a = 1n = 3 32 1 2a a= + + 3 3a = 2n = 4 46 2 3a a= + + 4 1a =6 令 ，得： ，解得 .……，可得 ， ， ， . ∵ ，∴ ，解得 . ∴ ， ∴ ， ， . 化为： ， ， . ∴ ， . 即 ① ② 由 ①+②得： ，即 ； ①﹣②得： ，即 ；联立解得： ， ， ∴ ，∴ .故答案为： . 二、 选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 13. “ ”是“ ”的 （ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 ,而 ；所以“ ”是“ ” 的必要不充分条件；应填 C 14. 已知曲线 的参数方程为 ，其中参数 ，则曲线 （ ） A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于原点对称 D. 没有对称性 【答案】C 3n = 5 53 1 3a a= + + 5 2a = 3n na a+ = 1 1a = 2 2a = 3 3a = ( ) ( )sin 0,0na A n cω ϕ ω ϕ π= + + > < < 2 3 π ω = 2 3 πω = ( )2sin 03na A n c π ϕ ϕ π = + + < 1 1 lim lim n n n n n nn n a b a b a a − + →∞ →∞ + +> a 1a > 1a < − 1 1a− < < 1a > 1 0a− < < 1a < − 0 1a< < , Ra b∈ a b> 1 1 lim lim n n n n n nn n a b a b a a − + →∞ →∞ + +> 1lim[( ( ) ] lim[ ( ) ]n n n n b baa a a→∞ →∞ + > + 1 11 1lim ,lim 1 n n n n n nn n a b a b a a aa a a a − + →∞ →∞ + += = ⇒ > ⇒ < − 0 1a< < 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1B 1B M 1 1A DC x 1 1l MA MC MD= + + ( )l f x=8 D． 【答案】C 【解析】由题意可知：点 在 的边上沿逆时针方向运动，设正方体 的棱长 为 ， 取 线 段 的 中 点 为 ， 则 当 动 点 运 动 到 点 时 ， ，同理，当动点 运动到线段 或 的中点时，计算得 .符合 C 选项的图像特征. 故选 C. 三、解答题（本大题 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要 的步骤． 17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 如图，三棱柱 中， 是底面边长为 的正三棱锥. （Ⅰ）求证： ； M 1B AC∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B A N M N 11 1 2 6 2 32 = + + = + < + = = =N A B Cl NA NC ND l l l M AC 1CB 11 1 2 6 2 32 = + + = + < + = = =A B Cl MA MC MD l l l 1 1 1ABC A B C− 1A BCB− 2 1AC CC⊥9 （Ⅱ）若异面直线 与 所成的角为 ，求三棱锥 的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）如图，取 的中点 ，连接 交 于点 ，则点 为 的重心，连接 ， 设 交 于点 ．依题意点 在底面的投影为 的重心 ，即 平面 ，所以 ．因为 是正三角形，所以 ， 平面 则 平面 ，又 平面 ，则 ，由 所以 ． （Ⅱ）取 中点为 ，连接 ，则 是 的中位线，所以 ;故 是异面 直线 与 所成的角为 ；又 为正三角形。即 为正 三形。由此得正三棱锥 是棱长为 的正四面体，所以 ， ， 因为 ， ， 得 ； 所以 ． 1AB 1BC 3 π 1B ACC− 2 2 3 1BB E CE 1BC O O 1BCB△ AO 1BC 1B C F A 1BCB△ O AO ⊥ 1 1BCC B 1AO BB⊥ 1BCB△ 1CE BB⊥ , ,AO CE O AO CE∩ = ⊂ AEC 1BB ⊥ AEC AC ⊂≠ AEC 1BB AC⊥ 1 / /BB 1CC 1CC AC⊥ AC P PF PF 1ACB∆ PF //= 1 1 2 AB PFC∠ 1AB 1BC 3 π 1 1 1 ,2 2PC AC AB PF PFC= = = ∴∆ 1ACB∆ 1A BCB− 2 2 2 3 3 3CO CE= = 2AC = 2 2 2 6 3AO AC CO= − = 1 2BC CC= = 1 120BCC∠ = ° 1 1 1 1 1 3sin 2 2 32 2 2BCCS BC CC BCC= ⋅ ⋅ ∠ = × × × =△ 1 1 1 2 6 2 233 3 3B ACC A BCCV V− −= = × × =10 18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 已知 内接于单位圆，且 ， 求角 求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 ， ， 的外接圆为单位圆， 其半径 由正弦定理可得 ， 由余弦定理可得 ，代入数据可得 ，当且仅当 时，“ ”成立 ， 的面积 ， 面积的最大值为： 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。 对于在某个区间 上有意义的函数 ，如果存在一次函数 使得对于任意的 ，有 恒成立，则函数 是函数 在区间 上的弱渐近函 数． （1）若函数 是函数 在区间 上的弱渐近函数，求实数 的取值范围； （2）证明：函数 是函数 在区间 上的弱渐近函数． ABC∆ ( )( )1 tan 1 tan 2A B+ + = ( )1 C ( )2 ABC∆ 3 4C π= 2 1 2 − ( ) ( )( )1 1 tan 1 tan 2A B+ + = tan tan 1 tan tanA B A B∴ + = − ⋅ ( ) tan tantan tan 11 tan tan A BC A B A B +∴ = − + = − = −− ( ) 3C 0, 4C ππ∈ ∴ = ( )2 ABC ∴ 1R = 2 2c RsinC= = 2 2 2 2c a b abcosC= + − 2 22 2a b ab= + + ( )2 2 2 2ab ab ab≥ + = + a b= = 2 2 2 ab∴ ≤ + ABC∴ 1 1 2 2 1 2 2 22 2 S absinC −= ≤ ⋅ = + BA C∴ 2 1 2 − [a + ∞， ） f x（ ） g x kx b= +（ ） [x a∈ + ∞， ） | | 1f x g x− ≤（ ） （ ） g x（ ） f x（ ） [a + ∞， ） 3g x x=（ ） ( ) 3 mf x x x = + [4 + ∞， ） m 2g x x=（ ） 2( ) 2 1f x x= − [2 + ∞， ）11 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）函数 是函数 在区间 上的弱渐近函数， 可得 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 可得 ，即 ； （2）证明： ， 由 时，由 ，即 ，可得 ， 由 在 递增，可得 在 递增， 即有 ，则 ， 即为 在区间 上恒成立， 故函数 是函数 在区间 上的弱渐近函数． 20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分． 已知双曲线 ： 的焦距为 ，直线 （ ）与 交于两 个不同的点 、 ，且 时直线 与 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线 的方程； （2）若坐标原点 在以线段 为直径的圆的内部，求实数 的取值范围； （3）设 、 分别是 的左、右两顶点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于点 ，求证：线段 在 轴上的射影长为定值. 4 4m− ≤ ≤ 3g x x=（ ） ( ) 3 mf x x x = + [4 + ∞， ） 3 3 1mx xx + − ≤ [4 + ∞， ） m x≤ [4 + ∞， ） 4m ≤ 4 4m− ≤ ≤ 2| ( ) ( ) | | 2 1 2 |f x g x x x− = − − 2x ≥ 2 2 1 1 0x x− − = >（ ） 2 1x x> − 2 2 2| ( ) ( ) | 2( 1) 1 f x g x x x x x − = − − = + − 2, 1y x y x= = − 2x ≥ 2 1y x x= + − 2x ≥ 2 1 2 3x x+ − ≥ + 2 2 2 2(2 3) 1 2 31x x < = − < ++ − | | 1f x g x− > 4 : 4 0l x my− − = m R∈ Γ D E 0m = l Γ Γ O DE m A B Γ BD BD P AD Q PQ x12 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析 【解析】（1）当 直线 与 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的 性质得， ，又焦距为 ，则 ， 解得 ， ， 则所求双曲线 的方程为 . （2）设 ， ，由 ，得 ， 则 ， ，且 ， 又坐标原点 在以线段 为直径的圆内，则 ，即 ， 即 ，即 ， 则 ， 即 ，则 或 ， 即实数 的取值范围 . （3）线段 在 轴上的射影长是 . 设 ，由（1）得点 ， 又点 是线段 的中点，则点 ， 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，又 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 2 2 13 x y− = ( , 3,) ( 3, )−∞ − +∞ 0m = : 4l x = C 2 2 2 1tan 30 3 b a = = 4 2 2 4a b+ = 3a = 1b = Γ 2 2 13 x y− = 1 1( , )D x y 2 2( , )E x y 2 2 13 4 0 x y x my  − =  − − = 2 2( 3) 8 13 0m y my− + + = 1 2 2 8 3 my y m + = − 1 2 2 13 3y y m = − 2 2 264 52( 3) 12( 13) 0m m m∆ = − − = + > O DE 0OD OE⋅ ( )2 1 1,m m− + > 2,m > m 2.m > { }na ,d 1,d > 1 1,a = − ( )1 ,2n n nS n d −= − +14 由题意,得 对 均成立,即 ①当 时, ②当 时, 因为 所以 与 矛盾, 所以这样的等差数列不存在. （3）设数列 的公比为 则 因为 的每一项均为正整数,且 所以在 中,“ ”为最小项.同理, 中,“ ”为最小项. 由 为“ 数列”,只需 即 又因为 不是“ 数列”,且 为最小 项,所以 即 , 由数列 的每一项均为正整数,可得 所以 或 ①当 时, 则 令 则 又 所以 为递增数列,即 所以 所以对于任意的 都有 即数列 为“ 数列”. ②当 时, 则 因为 所以数列 不是“ 数列”. ( ) 21 1 2 2 n nn d n n −− + < − *n N∈ ( )1 .n d n− < 1n = ;d R∈ 1n > ,1 nd n < − 11 1,1 1 n n n = + >− − 1,d ≤ 1d > { }na ,q 1 1 ,n na a q −= { }na ( )1 1 1 0,n n n n na a a q a a q− − = − = − > > { }1n na a −− 2 1a a− 1 1 1 2 2n na a −  −   2 1 1 1 2 2a a− { }na K 2 1 1,a a− > ( )1 1 1,a q − > 1 2 na    K 2 1 1 1 2 2a a− 2 1 1 1 1,2 2a a− ≤ ( )1 1 2a q − ≤ { }na ( )1 1 2,a q − = 1 1, 3a q= = 1 2, 2.a q= = 1 1, 3a q= = 13 ,n na −= 3 ,1 n nb n = + ( )* 1 ,n n nc b b n N+= − ∈ ( )( ) 13 3 2 13 ,2 1 1 2 n n n n nc n n n n + += − = ⋅+ + + + ( )( ) ( )( )1 2 3 2 13 32 3 1 2 n nn n n n n n + + +⋅ − ⋅+ + + + ( )( ) 23 4 8 6 0,2 1 3 n n n n n n + += ⋅ >+ + + { }nc 1 2 1,n n nc c c c− −> > > ⋅⋅⋅ > 2 1 3 33 1,2 2b b− = − = > *,n N∈ 1 1,n nb b+ − > { }nb K 1 2, 2a q= = 2 ,n na = 12 .1 n nb n + = + 2 1 2 1,3b b− = ≤ { }nb K15 综上:当 时,数列 为“ 数列”,当 时, 数列 不是“ 数列”.1 1, 3a q= = { }nb K 1 2, 2a q= = 2 ,n na = { }nb K