2020届高三数学第一次模拟试题（宁夏银川唐徕回民中学）

1 2020 届宁夏银川唐徕回民中学高三数学第一次模拟试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、已知 ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 2、已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A、 B、 C、 D、 3、若等比数列 的各项均为正数， ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 4、一次数学竞赛，共有六道选择题，规定每道题答对得 5 分，不答得 1 分，答错扣 1 分，一个由若干名学生组 成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为 （ ） A、当小组总得分是偶数时，小组人数一定为奇数 B、当小组总得分是奇数时，小组人数一定为偶数 C、小组总得分一定为偶数，和小组人数无关 D、小组总得分一定为奇数，和小组人数无关 5、双曲线 的一个焦点为 ，若 成等比数列，则该双曲线的离心率 （ ） A、 B、 C、 D、 6、某商场一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是 （ ） A、2 至 3 月份的收入的变化率与 11 到 12 月份收入变化率相同 B、支出的最高值与支出的最低值的比是 C、第三季度的平均收入为 50 万元 D、利润最高的月份是 2 月份 7、设函数 ，则使 成立的 的取值范围是 （ ） A、 B、 C、 D、 8、设函数 的部分图像如图所示，则函数 的单调递增区间为 （ ） A、 B、 C、 D、 { }2 0 , cos ,1 xA x B y y x x Ax − = < = = ∈ +  A B = ( ]cos2,1 [ ]cos2,1 ( ]1,2− ( ]1,cos2− Z ( ) 11 1Z i i − = + i Z = 2 2 2 2 i− 2 2 2 2 i+ 1 i− 1 i+ { }na 2 2 3 1 73,4a a a a= = 5a = 3 4 3 8 12 24 ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > ( ),0F c , ,a b c e = 1 3 2 + 1 5 2 + 5 1 2 − 2 1− 6:1 ( ) 2x xf x e e x−= + + ( ) ( )2 1f x f x> + x ( ),1−∞ ( )1,+∞ 1 ,13  −   ( )1, 1,3  −∞ − +∞   ( ) ( )( )2sin 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < ( )f x ( ),6 3k k k Z π ππ π − + ∈   ( ),3 3k k k Z π ππ π − + ∈   ( ),3 6k k k Z π ππ π − + ∈   ( ),6 6k k k Z π ππ π − + ∈  2 9、据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级有男、子、伯、侯、公五个等级，若给有巨大贡献的两人进行 封爵，则两个人不被封同一等级的爵位的概率是 （ ） A、 B、 C、 D、 10、对于棱长为 1 的正方体 ，有如下结论，其中错误的结论是 （ ） A、以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体 B、过点 作平面 的垂线，垂足为 ，则 三点共线 C、过正方体中心的截面图形不可能是正六边形 D、三棱锥 与正方体的体积之比为 11、已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在抛物线 上，且 ，直线 交 于点 ，垂足为 ，若 的面积为 ，则点 到 的距离为 （ ） A、 B、 C、 D、 12 、 已 知 函 数 ， 其 中 ， 若 的 四 个 零 点 从 小 到 大 依 次 为 ，则 的值是 （ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、已知向量 ，且 ，则实数 。 14、从二项式 的展开式各项中随机选两项，选得两项均是有理项的概率是 。 15、在长方体 中， ，点 在棱 上移动，则直线 与 所成角 的大小是 ，若 ，则 。 16、已知下列四个命题：①等差数列一定是单调数列；②等差数列的前 项和构成的数列一定不是单调数列； ③已知等比数列 的公比为 ，若 ，则数列 是单调递增数列； ④记等差数列的前 项和为 ，若 ，则数列 的最大值一定在 处取到。 其中错误的有 。（填写所有错误的命题的序号） 三、解答题（共 70 分） 17、（12 分）在 中，角 的对边分别是 ，已知 。 ⑴求 的值； ⑵求 的值 1 5 2 5 4 5 3 5 1 1 1 1ABCD A B C D− A 1A BD H 1, ,A H C 1 1A B CD− 1:3 2: 2C y px= F l ,M N C 3 0MF NF+ =   MN l , 'P NN l⊥ 'N 'MN P∆ 24 3 F l 6 8 10 12 ( ) ( ) ( ) ( ) lg 0 3 lg 6 3 6 x a xf x x a x  − < ≤=  − − < { }na n nS 2 2 10, 0k kS S +> < { }nS n k= ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2, 5, 2a b B A= = = cos A c3 18 、（ 12 分 ） 如 图 ， 平 面 平 面 ， 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 为线段 的中点，点 满足 。 ⑴求证：直线 平面 ； ⑵求证：平面 平面 ； ⑶若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值。 19、（12 分）为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回民中学一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计 分规则如下： 每分钟跳绳个数 以上 得分 16 17 18 19 20 年级组为了了解学生的体质，随机抽取了 100 名学生，统计了他们的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图。 ⑴现从这 100 名学生中，任意抽取 2 人，求两人得分之和小于 35 分的概率（结果用最简分数表示）； ⑵若该校高二年级 2000 名学生，所有学生的一分钟跳绳个数 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）。利用所得到的正态 分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳 264 个以上的人数（四舍五入到整数）； ②若在全年级所有学生中随机抽取 3 人，记每分钟跳绳在 179 个以上的人数为 ，求 的分布列和数学期 望与方差。 （若随机变量 服从正态分布 ，则 ， 。） 20、（12 分）已知函数 为 的导函数。 ⑴求曲线 在点 处的切线方程； ⑵证明： 在区间 上存在唯一零点； PAD ⊥ ,ABCD PA PD= ABCD 45 ,ABC AB AC∠ = ° = = 2,M AD N 2PN ND=  / /PB MNC MNC ⊥ PAD PAB ⊥ PCD BP PCD [ )145,155 [ )155,165 [ )165,175 [ )175,185 185 X ( )2,N µ σ 2 225,σ µ≈ Y Y X ( )2,N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( ) ( )2 2 0.9544, 3 3 0.9974P X P Xµ σ µ σ µ σ µ σ− < ≤ + = − < ≤ + = ( ) ( )2sin cos , 'f x x x x x f x= − − ( )f x ( )y f x= ( )( )0, 0A f ( )'f x ( )0,π4 ⑶设 ，若 ，均存在 ，使得 ，求实数 的 取值范围。 21、（12 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 为 椭圆 上一点，且 垂直于 轴，连接 并延长，交椭圆于另一点 ，且 。 ⑴若 的坐标为 ，求椭圆 的方程及 的值； ⑵若 ，求椭圆 的离心率的取值范围； 请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目的题号涂黑。 22、（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，倾斜角为 ， 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 。 ⑴求直线 的参数方程及曲线 的直角坐标方程； ⑵设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值。 23、（10 分）选修 4－5：不等式选讲：已知函数 。 ⑴解不等式 ； ⑵ 设 函 数 的 最 小 值 为 ， 正 实 数 满 足 ( ) ( )2 2h x x x a a R= − + ∈ [ ]1 0,x π∀ ∈ [ ]2 1,2x∃ ∈ ( ) ( )1 2f x h x> a xOy ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2, ,F F P C 2PF x 1PF Q 1PQ FQλ=  P ( )2,3 C λ 4 5λ≤ ≤ C xOy l ( )1,0P 6 π x C 4cos 3 πρ θ = +   l C l C ,A B PA PB+ ( ) 2 1 1f x x x= − − + ( ) 4f x ≤ ( ) 3 1y f x x= + + m ,a b4 ，求证： 。 3 ma b+ = 3 4 1log 2a b  + ≥  