2020届高一数学下学期测试题（山东淄博五中）

1 淄博五中高 59 级高一疫情延学期间第一次线上测试 数学学科试题 （满分： 150 分 考试时长： 120 分钟） 命题人：孙爱梅 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数 z 满足 z（2﹣i）=1+i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数的虚部为（ ） A．ퟑ ퟓ B．− ퟑ ퟓ C．ퟑ ퟓ 퐢 D．− ퟑ ퟓi 2．在 中， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 3．给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直 角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 4．已知一个正三棱锥的高为 3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观 图，其中 O′B′=O′C′=1，则此三棱锥的体积为（ ） A．√ퟑ B．ퟑ√ퟑ C．√ퟑ ퟒ D．ퟑ√ퟑ ퟒ ABC△ 22()1a b c bc −− = A 30  60  120 150 2 5．已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是 ퟑ√ퟓ풄풎，则这个正四棱柱的表面积为（ ） A．90cm2 B．ퟑퟔ√ퟓ풄풎ퟐ C．72cm2 D．54cm2 6．如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 是侧 面CDD1C1上的动点，且B1F∥面A1BE，则 F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ） A．a B．풂 ퟐ C．√ퟐ풂 D．√ퟐ풂 ퟐ 7．从集合{0，1，2，3}中随机地取一个数 a，从集合{3，4，6}中随机地取一个数 b， 则向量풎→ = (풃，풂)与向量풏→ = (ퟏ， − ퟐ)垂直的概率为（ ） A． ퟏ ퟏퟐ B．ퟏ ퟑ C．ퟏ ퟒ D．ퟏ ퟔ 8．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=1，푩푫 → = ퟑ푫푪 → ，ퟐ푪푬 → = 푪푨 → + 푪푫 → ，则 푨푫 → ⋅ 푩푬 → =（ ） A．− ퟕ ퟖ B．− ퟑퟏ ퟑퟐ C． ퟏ ퟏퟔ D． ퟕ ퟏퟔ 3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．一个人连续射击 2 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ） A．事件两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件 10．“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的 运动情况，某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程（单位：十公 里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A．月跑步里程逐月增加 B．月跑步里程最大值出现在 9 月 C．月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D．1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳 4 11．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重 情况如图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如图（2）所示．对比健 身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变 B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了 4 人 C．他们健身后，这 20 位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg） D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了 10kg 12．设点 M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A．若퐀퐌 → = ퟏ ퟐ 퐀퐁 → + ퟏ ퟐ 퐀퐂 → ，则点 M 是边 BC 的中点 B．若퐀퐌 → = ퟐ퐀퐁 → − 퐀퐂 → ，则点 M 在边 BC 的延长线上 C．若퐀퐌 → = −퐁퐌 → − 퐂퐌 → ，则点 M 是△ABC 的重心 D．若퐀퐌 → = 퐱퐀퐁 → + 퐲퐀퐂 → ，且 x+y= ퟏ ퟐ ，则△MBC 的面积是△ABC 面积的ퟏ ퟐ 5 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知复数 z= ퟏ+퐚퐢 퐢 （a∈R）的实部为√ퟑ，则|z|=__________． 14．已知向量퐚→ = (ퟑ，ퟐ)，퐛 → = (−ퟐ，ퟏ)，퐜→ = (ퟒ，ퟑ)，若(훌퐚→ + 퐛 → ) ∥ 퐜→，则实数 λ=__________ 15．某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如表： 医生人数 0 1 2 3 4 5 人及其以上 概率 0.18 0.25 0.36 0.1 0.1 0.01 则派出至多 2 名医生的概率__________． 16．设 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边．已知ퟐ퐚−√ퟑ퐛 퐜퐨퐬퐁 = √ퟑ퐜 퐜퐨퐬퐂 ，则 C=__________，퐚ퟐ+퐜ퟐ−퐛ퟐ 퐚퐜 的取值范围为__________． 6 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 17．（10 分）在①퐜퐨퐬퐀 = ퟑ ퟓ ，퐜퐨퐬퐂 = ퟐ√ퟓ ퟓ ，②csinC=sinA+bsinB，B=60°，③c=2， 퐜퐨퐬퐀 = ퟏ ퟖ 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=3， ，求△ABC 的面积 S． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 7 18．（12 分）某高校在 2019 的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在[165，185]， 随机抽取 200 名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成 5 组，第 1 组成 绩为[160，165），第 2 组成绩为[165，170），第 3 组成绩为[170，175），第 4 组成绩为[175，180），第 5 组成绩为[180，185），样本频率分布直方图如图： （1）估计全体考生成绩的中位数； （2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第 3，4，5 组中用 分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生 进行外语交流面试，求这 2 名学生均来自同一组的概率． 8 19．（12 分）已知向量퐚→ = (퐜퐨퐬 ퟑ퐱 ퟐ ，퐬퐢퐧 ퟑ퐱 ퟐ )，퐛 → = (−퐜퐨퐬 퐱 ퟐ ，퐬퐢퐧 퐱 ퟐ)， 且퐱 ∈ [훑， ퟑ훑 ퟐ ]． （1）求퐚→ ⋅ 퐛 → 及|퐚→ + 퐛 → |； （2）求函数퐟(퐱) = 퐚→ ⋅ 퐛 → + |퐚→ + 퐛 → |的最小值，并求使函数取得最小值时 x 的值． 9 20．（12 分）某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛，这两名学生最近 5 次的物理竞赛模拟成绩如表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 学生甲的成绩（分） 80 85 71 92 87 学生乙的成绩（分） 90 76 75 92 82 （1）根据成绩的稳定性，现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛，你认 为选谁比较合适？ （2）若物理竞赛分为初赛和复赛，在初赛中有如下两种答题方案： 方案 1：每人从 5 道备选题中任意抽出 1 道，若答对，则可参加复赛，否则被淘 汰． 方案 2：每人从 5 道备选题中任意抽出 3 道，若至少答对其中 2 道，则可参加复 赛，否则被淘汰． 若学生乙只会 5 道备选题中的 3 道，则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能 性更大？ 10 21．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为 菱形，且∠ABC=60°，E 为 CD 的中点． （1）求证：平面 PAB⊥平面 PAE； （2）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF∥平面 PAE？说明理由． 11 22．（12 分）如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为菱形，边长为 2，且∠A1AB=60°，AC=BC，D 是 AB 的中点． （1）求证：BC1∥平面 A1DC； （2）若平面 ABB1A1⊥平面 ABC，A1C 与平面 ABC 所成的角为 45°，求四棱锥 A1﹣BCC1B1 的体积．