广东省六校联盟2019-2020学年高三下学期第三次联考数学（文）试题（解析版）

2019-2020 学年广东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷 （文科） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：集合 ，而 ，所以 ，故选 C. 【考点】 集合的运算 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.若复数 满足 （ 为虚数单位），则 =（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：因为 ，所以 因此 考点：复数的模 3.已知向量 ，且 ，则 m=( ) A. −8 B. −6 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知向量的坐标求出 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． 【详解】∵ ，又 ， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得 m＝8． 故选 D． {1,2,3}A = { | ( 1)( 2) 0, }B x x x x Z= + − < ∈ A B∪ = {1} {1 2}， {01 2 3}，，， { 1 01 2 3}− ，，，， { }{ | 1 2, } 0,1B x x x Z= − < < ∈ = { }1,2,3A = { }0,1,2,3A B∪ = z ( )1 2z i i+ = i z 2 3 (1 ) 2z i i+ = 2 2 (1 ) 1 ,1 2 i i iz ii −= = = ++ 1 2.z i= + = ( ) ( )1, 3, 2a m b= = − ， ( )a b b+ ⊥  a b+  (1, ), (3, 2), (4, 2)a m b a b m= = − ∴ + = −   ( )a b b+ ⊥ 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当 AQI 指数值不大于 100 时称空气质量 为“优良”.如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据,图中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201, 则下列叙述不正确的是(　　) A. 这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B. 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C. 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D. 从 4 日到 9 日,空气质量越来越好 【答案】C 【解析】 由图可知, 不大于 100 天有 6 日到 11 日,共 6 天,所以 A 对,不选. 最小的一天为 10 日,所以 B 对, 不选.中位为是 ,C 错.从图中可以 4 日到 9 日 越来越小,D 对.所以选 C. 5.已知直线 l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是（　　） A. m＝﹣2 B. m＝1 C. m＝﹣2 或 m＝1 D. m＝2 或 m＝1 【答案】C 【解析】 【分析】 直线 l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0 平行的充要条件是“m＝﹣2”，进而可得答案． 【详解】∵直线 l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0， 若 l1∥l2，则 m（m+1）-2＝0，解得：m＝﹣2 或 m＝1 当 m＝1 时，l1 与 l2 重合，故“l1∥l2”⇔“m＝﹣2”， 故“l1∥l2”的必要不充分条件是“m＝-2 或 m＝1”， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了充要条件的定义，难度不大，属于容易题. 6.已知 ， ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 　　 A. 16 B. 9 C. 5 D. 4 AQI AQI 92 95 93.52 + = AQI 0a > 0b > 1 a 1 2 1 b 9a b+ ( )【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由等差中项的定义分析可得 1，进而分析可得 a+9b＝（a+9b）（ ）＝10 ， 由基本不等式的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，a＞0，b＞0，且 ， ， 成等差数列， 则 2 1； 则 a+9b＝（a+9b）（ ）＝10 10+2 16； 当且仅当 ，即 = 时取到等号， ∴a+9b 的最小值为 16； 故选 A． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，关键是分析得到 1． 7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍， 松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程， 1 1 a b + = 1 1 a b + 9b a a b + + 1 a 1 2 1 b 1 1 a b + = 1 2 × = 1 1 a b + 9b a a b + + ≥ 9b a a b × = 9b a a b = a 4,b= 4 3 1 1 a b + = n =分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：当 时， ， ，满足进行循环的条件， 当 时， ， 满足进行循环的条件， 当 时， ， 满足进行循环的条件， 当 时， ， 不满足进行循环的条件， 故输出的 n 值为 4， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 8.若将函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象关于 轴对称，则 的最 小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 ， 得 到 图 象 关 于 轴 对 称 ， 即 ， 解 得 ， 又 ，当 时， 的最小值为 ，故选 B. 9.在正四棱锥 中， , , 分别是 ， ， 的中点．动点 在线段 上运动时，下 列四个结论，不一定成立的为（ ） ① ；② ；③ 平面 ；④ 平面 . A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 1n = 15 2a = 4b = 2n = 45 4a = 8b = 3n = 135 8a = 16b = 4n = 405 16a = 32b= ( ) sin 2 cos2f x x x= + ( )0ϕ ϕ > y ϕ 4 π 8 π 3 8 π 5 8 π ( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x π= + = + ( )0ϕ ϕ > 2 sin(2 2 )4y x πϕ= + + y 2 ( )4 2 k k Z π πϕ π+ = + ∈ 1= 2 8k πϕ π + 0ϕ > 0k = ϕ 8 π S ABCD− E M N BC CD SC P MN EP ⊥ AC EP BD∥ EP∥ SBD EP ⊥ SAC根据线面平行与垂直的判定逐个判断即可. 【详解】作出如图的辅助线. 对①,再正四棱锥 中,因为 , , 面 , 面 ,且 ,故 面 .又因为 , , 分别是 , , 的中点,故面 面 , 故 面 ,因为 面 ,故 成立.故①成立. 对② 当且仅当 与 重合时, .故②不一定成立. 对③,由①有面 面 ,又 面 ,故 平面 .故③成立. 对④, 当且仅当 与 重合时, 才有 平面 .故④不一定成立. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线面线线平行与垂直的判定,属于中等题型. 10.已知函数 ，则 的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A , S ABCD− AC BD⊥ AC SO⊥ BD ⊂ SBD SO ⊂ SBD SO BD O∩ = AC ⊥ SBD E M N BC CD SC / /EMN SBD AC ⊥ EMN EP ⊂ EMN EP ⊥ AC P M EP BD∥ / /EMN SBD EP ⊂ EMN EP∥ SBD P M EP ⊥ SAC 1( ) ln 1f x x x = − − = ( )y f x【解析】 【分析】 利用特殊值，对函数图象进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于 ，排除 B 选项. 由于 ， ，函数单调递减，排除 C 选项. 由于 ，排除 D 选项.故选 A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图象，属于基础题. 11.设 为双曲线 的右焦点，过 且斜率为 的直线 与双曲线 的两条渐近 线分别交于 两点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. 或 2 D. 或 2 【答案】D 【解析】 【分析】 对 A,B 的位置分两种情况讨论，先求出 的坐标，再根据 得到 的方程，化简即得 双曲线 的离心率. 【详解】当点 在 轴上方， 在 轴下方时，如图， 1 2 2 01 1 12 ln 1 ln 22 2 2 f   = = >   − − − ( ) ( )2 2 2 2,2 3f e f ee e = =− − ( ) ( )2f e f e> ( )100 100 2 0101f e e = >− F 2 2 2 2: 1 0, 0( )x yC a ba b − = > > F a b l C ,A B | | 2 | |AF BF=  C 2 3 3 3 2 3 3 ,A B | | 2 | |AF BF=  , ,a b c C A x B x设 ，则 的右焦点且斜率为 的直线 ， 而渐近线的方程是 ， 由 得 ， 由 得 ， ， ， 可得 ， ， (c,0)F 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b − = > > a b : ( )al y x cb = − ay xb = ± ( )ay x cb by xa  = −  = 2 2 2 2 2,a c abcA a b a b    − −  ( )ay x cb by xa  = −  = − 2 ,a ab cB c  −   | | 2 | |AF BF=   2 2 2abc ab a b c ∴ =− 2 23a b= 2 2 1 3 b a ∴ =. 同理，当点 在 轴下方时，如图，计算得 . 综上所述，双曲线 的离心率为 2 或 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平. 12.已知求 的表面积为 ， 在球面上，且线段 的长为 ，记 的中点为 ，若 与 平面 的所成角为 ，则三棱锥 外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先确定 与平面 所成的角，得到 是等腰直角三角形，进而得出三棱锥 外接球的球 心 在射线 上，设 外接球半径为 ，由 ，得 ，解 得 ，即可求解． 2 2 2 2 1 21 1 33 3 c a b be a a a +∴ = = = + = + = A B、 x 2e = C 2 3 3 O 64π , ,A B C AB 4 2 AB D OD ABC 60° O ABC− 256 3 27 π 512 3 27 π 256 6 27 π 512 6 27 π OD ABC OAB∆ O ABC− E 1OO O ABC− R 2 2 2 1 1O B O E BE+ = 2 210 ( 6)R R+ − = R【详解】 设 所在截面圆的圆心为 ， 中点为 ，连接 ， ， ， 所以 ，同理 ， 所以 即为 与平面 所成的角，故 ； 因为 ， ， 所以 是等腰直角三角形， ，在 中， 由 ，得 ， 由勾股定理得： ， 因为 到 三点的距离相等， 所以三棱锥 外接球的球心 在射线 上， 设四面体 外接球半径为 ，在 中， ， 由勾股定理可得： ， 即 ，解得 ， 故所求球体积 ， 故选 D． 【点睛】本题考查球的有关计算、考查空间几何体的结构特征、考查逻辑推理、考查学生空间想象能力、 逻辑思维能力，是中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. ABC∆ 1O AB D OD 1OD OA OB= ⊥OD AB 1O D AB⊥ 1ODO∠ OD ABC 1 60ODO∠ = ° 4OA OB= = 4 2AB = OAB∆ 2 2OD =∴ 1Rt ODO∆ 1cos60 O D OD =° 1 2O D = 1 6OO = 1O , ,A B C O ABC− E 1OO OABC R 1Rt O BE∆ 2 2 1 1 110, , | 6 |O B OB OO BE R O E R= − = = = − 2 2 2 1 1O B O E BE+ = 2 210 ( 6)R R+ − = 4 6 3R = 3 34 4 4 6 512 6 3 3 3 27V Rπ π π = = =   13.曲线 在点 处的切线方程为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】 先对函数求导，得到 ，求出切线斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】因为 ， ， 因此 ，即曲线 在点 处切线斜率为 ， 因此，曲线 在点 处的切线方程为 ， 所以， 即为所求切线方程. 故答案为： 【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 14.设数列 满足 ，则通项公式 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 将 变形得到 ，然后逐项列举，累加可得到 ，又 ，代入即可得出结果. 【 详 解 】 由 题 意 可 得 ， 所 以 ， ， ，上式累加可得 ，又 ，所以 . 故答案为 . ln 2( ) x xf x x −= (1, 2)− 3 0x y− − = 2 1 ln( ) xf x x −′ = ln 2( ) x xf x x −= 2 2 1 2 (ln 2 ) 1 ln( )  − − −  − ′∴ = = x x x xxf x x x 2 1 ln1(1) 11 −′ = =f ln 2( ) x xf x x −= (1, 2)− (1) 1k f ′= = ln 2( ) x xf x x −= (1, 2)− 2 1y x+ = − 3 0x y− − = 3 0x y− − = { }na 1 1 13, ( 1)n na a a n n+= = + + na = 14 n − 1 1 ( 1)n na a n n+ = + + 1 1 1= 1+ − − +nna a n n 1 11− = −na a n 1 3a = 1 1 1 1= =( 1) 1+ − −+ +nna a n n n n 2 1 1=1 2 − −a a 3 2 1 1= 2 3 − −a a  1 1 1= 1−− −−n na a n n ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1−− = − + − + + −n n na a a a a a a a 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 = − + − + + − = −− n n n 1 3a = 14= −na n 14 n −【点睛】本题主要考查由递推公式，用累加法求通项公式. 15.如图， 上， 是 上的点，且 ， ， ，则 等于______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意设 ，则 ， ，先利用余弦定理求出 再利用正弦定理求 出 的值. 【详解】由题意设 ，则 ， ， 在 中由余弦定理可得 ， ， 中由正弦定理可得 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.设函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，由题意得到关于 a 的不等式组，求解得答案． 【详解】解：由 ，得 f′（x）＝x ， 在 ABC D BC AC CD= 2 3AC AD= 2AB AD= sin B 6 6 2AD x= 3AC CD x= = 4AB x= cos ,ADC∠ sin B 2AD x= 3AC CD x= = 4AB x= ADC 2 2 24 3 3 3cos 32 2 3 x x xADC x x + −∠ = = × × 2 3 6sin sin 1 3 3ADB ADC  ∴ ∠ = ∠ = − =    ∴ ADB△ 62sin 63sin 4 6 xAD ADBB AB x ⋅∠= = = 6 6 21( ) 9ln2f x x x= − [ ]1, 1a a− + ( ]1,2 ( ) 21 92f x x lnx= − 29 9x x x −− =∵ 在区间[a﹣1，a+2]上单调递减， 则 ，解得 1＜a≤2． ∴实数 a 的取值范围是（1，2]． 故答案为 ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 至 21 题为必考题， 每位考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.等比数列 中，已知 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 分别为等差数列 的第 3 项和第 5 项，试求数列 的通项公式及前 项和 ． 【答案】(1) . (2) . 【解析】 试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项 和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案． （2）由（1）可得等差数列 的第 3 项和第 5 项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列 的通 项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前 项和． 试题解析：（Ⅰ）设 的公比为 由已知得 ，解得 ，所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， ，则 ， 设 的公差为 ，则有 解得 从而 所以数列 的前 项和 考点：等差、等比数列的性质 ( ) 21 92f x x lnx= − 2 2 1 0 ( 1) 9 0 ( 1) 9 0 a a a −  − − ≤  + − ≤ ＞ ( ]1,2 { }na 1 42, 16a a= = { }na 3 5,a a { }nb { }nb n nS 2n na = 26 22nS n n= − { }nb { }nb n { }na q 316 2q= 2q = 3 8a = 5 32a = 3 8b = 5 32b = { }nb d 1 1 2 8{ 4 32 b d b d + = + = 1 16{ 12 b d = − = 16 12( 1) 12 28nb n n= − + − = − { }nb n 2( 16 12 28) 6 222n n nS n n − + −= = −18.等腰直角三角形 中， ， 为 的中点，正方形 与三角形 所在的平面 互相垂直． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求点 到平面 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）连 , 交 于 ,连 ,由中位线定理即可证明 平面 . （Ⅱ）根据 ,由等体积法即可求得点 到平面 的距离. 【详解】（Ⅰ）连 ,设 交 于 ,连 ,如下图所示: 因为 为 的中点, 为 的中点, 则 面 , 不在面 内， 所以 平面 （Ⅱ）因为等腰直角三角形 中, ABC 90BAC∠ = ° D AC 1 1BCC B ABC 1AB / / 1DBC 2AB = D 1ABC 6 3 1B C 1B C 1BC O OD 1AB∥ 1DBC 1 1D ABC C ABDV V− −= D 1ABC 1B C 1B C 1BC O OD O 1B C D AC 1/ /OD AB OD ⊂ 1BDC 1AB 1BDC 1AB∥ 1DBC ABC 90BAC∠ = °则 ,又因为 所以 平面 则 设点 到平面 的距离为 . 注意到 ， 由 ,代入可得： ， 解得 . 即点 到平面 的距离为 . 【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定,等体积法求点到平面距离的方法,属于中等题. 19.某校学生营养餐由 A 和 B 两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的 形式，随机抽取了 40 名学生对两家公司分别评分.根据收集的 80 份问卷的评分，得到 A 公司满意度评分的 频率分布直方图和 B 公司满意度评分的频数分布表： （Ⅰ）根据 A 公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数； （Ⅱ）从满意度高于 90 分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给 A 公司评分的概率； （Ⅲ）请从统计角度，对 A、B 两家公司做出评价． 【答案】（Ⅰ）中位数为 73.3；（Ⅱ）见解析. 【解析】 BA AC⊥ 1BA CC⊥ BA ⊥ 1ACC 1BA AC⊥ D 1ABC h 2 2 1 1 4 8 2 3AC AC CC= + = + = 1 1D ABC C ABDV V− −= 1 1 1 12 2 3 2 1 2 23 2 3 2h × × × × = × × × ×   6 3h = D 1ABC 6 3试题分析：（Ⅰ）设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x，根据面积为 可得结果；（Ⅱ）从这 6 份问卷 中随机取 2 份，所有可能的结果有 种，其中 2 份问卷都评价 公司的有以下 种，根据古典概型概率公 式可得结果；（Ⅱ）可从平均数及分散集中程度两方面进行分析. 试题解析：（Ⅰ）设 A 公司调查的 40 份问卷的中位数为 x 则有 解得： 所以， 估计该公司满意度得分的中位数为 73.3 （Ⅱ）满意度高于 90 分的问卷共有 6 份，其中 4 份评价 公司，设为 ，2 份评价 B 公司，设 为 . 从这 6 份问卷中随机取 2 份，所有可能的结果有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 有 15 种. 其中 2 份问卷都评价 公司的有以下 6 种： ， ， ， ， ， . 设两份问卷均是评价 A 公司为事件 C，则有 . （Ⅱ）由所给两个公司的调查满意度得分知： A 公司得分的中位数低于 B 公司得分的中位数，A 公司得分集中在 这组， 而 B 公司得分集中在 和 两个组，A 公司得分的平均数数低于 B 公司得分的平均数，A 公司 得分比较分散，而 B 公司得分相对集中，即 A 公司得分的方差高于 B 公司得分的方差. （注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分.） 20.已知椭圆 ： 的右焦点为 ，短轴长为 2，过定点 的直线 交椭圆 于不同的两点 、 （点 在点 ， 之间）. （1）求椭圆 的方程； （2）若 ，求实数 的取值范围； （3）若射线 交椭圆 于点 （ 为原点），求 面积的最大值. 【答案】(1) ;(2) ;(3) 1 2 15 A 6 0.015 100.025 100.03 70 0.5x× × × −（ ） 73.3x ≈ A 1 2 3 4, , ,a a a a 1 2,b b ( )1 2,a a ( )1 3,a a ( )1 4,a a ( )1 1,a b ( )1 2,a b ( )2 3,a a ( )2 4,a a ( )2 1,a b ( )2 2,a b ( )3 4,a a ( )3 1,a b ( )3 2,a b ( )4 1,a b ( )4 2,a b ( )1 2,b b A ( )1 2,a a ( )1 3,a a ( )1 4,a a ( )2 3,a a ( )2 4,a a ( )3 4,a a ( ) 6 2 15 5P C = = [ )70,80 [ )70,80 [ )80,90 C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1,0F ( )0,2P l C A B B A P C PB PAλ=  λ BO C M O ABM∆ 2 2 12 x y+ = 1 ,13 λ  ∈   2【解析】 【分析】 (1)根据椭圆的基本量之间的关系求解即可. (2)分直线斜率存在于不存在两种情况,当斜率存在时,联立方程利用韦达定理与 从 而找到韦达定理与 的不等式再求解即可. (3) 面积为 的两倍,故求得 面积最值即可. 【详解】(1)因为右焦点为 ,故 .又短轴长为 2,故 ,解得 故椭圆 的方程： (2)当直线 斜率不存在时, 直线 ,此时 ,故 ,此时 , 当直线 斜率存在时,设直线 , .联立直线与椭圆 有 ,此时 , . . 又 ,即 ,故 又 即 , 又因为 ,故 ,即 ,故 有基本不等式 故计算 得 ,又 ,故 的 , ( )2 1 2 1 2 1 2 2 1 2x x x x x x x x + = + + λ ABM∆ ABO∆ ABO∆ ( )1,0F 2 2 1a b− = 2 2, 1b b= = 2 2 2 1 a b  =  = C 2 2 12 x y+ = l : 0l x = (0,1), (0, 1)B A − (0, 1), (0, 3)PB PA= − = −  1 3PB PA=  1 3 λ = l : 2l y kx= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 12 2 x y y kx  + =  = + 2 2(1 2 ) 8 6 0k x kx+ + + = 1 2 2 8 1 2 kx x k + = − + 1 2 2 6 1 2x x k = + 2 2 2 2 364 4( ) 6 0 0 21 2 2 3k kk k∆ = − × > ⇒ − > ⇒ >+ PB PAλ=  2 1 2 12 ( 2) x x y y λ λ =  − = − 2 1 x x λ = ( ) 2 2 22 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 8 321 2 2 ,6 3(1 2 ) 1 2 k x x x x kk x x x x k k  − + + = ⇒ + + = + + 2 1 10 16 10 3 3(1 2 ) 3k λ λ+ = − 23(1 2 ) 12k+ > 2 10 16 23 3(1 2 )k − >+ 1 10(2, )3 λ λ+ ∈ 1 2λ λ+ > ( 1)λ ≠ 21 10 10 25 16 3 3 9 9 λ λ λλ+ < ⇒ − + < 4 5 4 1 33 3 3 3 λ λ− < − < ⇒ < < 2 1 1x x λ = < 1 13 λ< 2 4 2 4 2 4 2 244 42 ABM tS t t tt t ∆ = = ≤ =+ + ⋅ ABM∆ 2 PB PAλ=  ( )2 1 2 1 2 1 2 2 1 2x x x x x x x x + = + + λ ABM∆ ABO∆ ( ) 2lnpf x px xx = − − ( )f x p 2( ) eg x x = [1, ]e 0x ( ) ( )0 0f x g x> p 1p ≥ 0p 2 4 ,1 e e  +∞ −  2 2 2( ) px x pf x x − +′ = 2( ) 2h x px x p= − + ( )h x (0, )+∞ ( ) 0h x  ( ) 0h x  ( )g x p 2 2 2 2 2( ) p px x pf x p x x x − +′ = + − = 2( ) 2h x px x p= − + ( )f x (0, )+∞ ( )h x (0, )+∞ ( ) 0h x  ( ) 0h x  ( )2 1 2p x x+  ( ) 0h x  ( )2 1 2p x x+  ( ) 0h x  2 1 0x + > 2 2x x 1p + ( ) 0h x  2 2x x 1p + ( ) 0h x 因为在 内有 ，当且仅当 即 时取等号， 所以当 时， ， ，此时 在 单调递增， 当 时， ， ，此时 在 单调递减， 综上， 的取值范围为 或 . （2）因为 在 上是减函数， 所以 时， ； 时， ，即 ， ①当 时，由（1）知 在 上递减，所以 ，不合题意， ②当 时，由 ， 由（1）知当 时， 在 上单调递增， 所以 ，不合题意， ③当 时， ， ， 由题意可得，只需 时， ，即可， 由（1）知 在 上是增函数， ， 又 在 上是增函数，则 ， ， 而 ， ， 只需 ，解得 ， 综上 的取值范围是 . 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查学 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第-题计 分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] (0, )+∞ 22 2 2 20 1111 x xx x xx < = =++ +  1x x = 1x = 1p ≥ ( ) 0h x  ( ) 0f x′  ( )f x (0, )+∞ 0p ( ) 0h x  ( ) 0f x′  ( )f x (0, )+∞ p 1p ≥ 0p 2( ) eg x x = [1, ]e x e= min( ) 2g x = 1x = max( ) 2g x e= ( ) [2,2 ]g x e∈ 0p ( )f x [1, ]e max( ) (1) 0 2f x f= = < 0 1p< < 1[1, ] 0x e x x ∈ ⇒ −  1p = ( )f x [1, ]e 1 1 1 1( ) 2ln 2ln 2ln 2 2f x p x x x x e e ex x e e  = − − − − − − = − −    2 4e e 1p > − p 2 4 ,1 e e  +∞ − 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．再以原点为极点，以 正半轴为 极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆 的方程为 ． （1）求圆 的直角坐标方程； （2）设圆 与直线 交于点 、 ，若点 的坐标为 ，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析:（1）由 可将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线 的 参数方程代入圆 C 方程，再根据参数几何意义得 ，最后根据韦达定理求 的 值． 试题解析：（1） ； （2）直线 的参数方程代入圆 C 方程得 ． 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、可负、可为 0) 若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝ . (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. [选修 4-5：不等式选讲] 23.若 ，且满足 . (1)求 abc 的最大值； (2)求 的最小值. xoy l 21 2 24 2 x t y t  = −  = − t x xoy C 4sinρ θ= C C l A B M ( )1 4， MA MB+ 2 2( 2) 4x y+ − = 3 2 2 2 2= , sinx y yρ ρ θ+ = C l MA MB+ 1 2t t= + MA MB+ 2 24sin 4x y yρ θ= ⇒ + = l 2 3 2 1 0t t− + = ⇒ MA MB+ 1 2 3 2t t= + = 0 0 cos sin x x t y y t α α = +  = + 1 2 2 t t+ 1 2 2 t t+ a b c R∈ ＋， ， 2a b c+ + = 1 1 1 a b c + +【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用三个正数的算术平均不小于它们的几何平均即可得出结果； （2）由 ，所以 ，再利用柯西不等式即可得出结果. 【详解】（1）因为 ，所以 ，故 . 当且仅当 时等号成立，所以 abc 的最大值为 . （2）因为 ，且 ，所以根据柯西不等式，可得 . 所以 . 【点睛】本题主要考查基本不等式和柯西不等式的应用，属于基础题. 8 27 9 2 2a b c+ + = 1 1 1 1 1 1 1( )2 a b ca b c a b c  + + = + + + +   a b c R∈ ＋， ， 32 3a b c abc= + +  8 27abc 2 3a b c= = = 8 27 a b c R∈ ＋， ， 2a b c+ + = 1 1 1 1 1 1 1( )2 a b ca b c a b c  + + = + + + +   2 2 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2   = + + ⋅ + +     a b c a b c 21 1 1 1 9( )2 2a b ca b c ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ = 1 1 1 9 2a b c + + ≥