2020 年春高一第二学月考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． 的值是
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形 中，下列结论中错误的是
A． B． C． D．
3．已知角 的终边经过点 ，则
A． B． C．-2 D．
4．已知 a,b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则
A．a∥b,且 a 与 b 方向相同 B．a,b 是共线向量
sin34 sin 26 cos34 cos26−
1
2
3
2
1
2
− 3
2
−
ABCD
AB DC= AD AB AC+ = AB AD BD− = 0AD CB+ =
α ( 1,2)P − sinα =
5
5
− 2 5
5
1
2
−C．a=-b D．a,b 无论什么关系均可
5．已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
6．已知向量 ，则 与 的夹角是
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则
A． B． C． D．
8．已知 是两个非零向量，且 ，则下列说法正确的是
A． B． C． 与 共线反向 D．存在正实数 ，使
9．函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
10．在 中， ， ， 为 的外接圆的圆心，则
A． B． C． D．
tan 3α = 2 22sin 4sin cos 9cosα α α α+ −
3 1
3
1
30
21
10
(1, 3), ( 2,2 3)a b= = − a b
6
π
4
π
3
π
2
π
4cos 2 5
π α + = − ,2
πα π ∈ =− )2sin( απ
24
25
12
25
12
25
− 24
25
−
,a b a b a b+ = +
0a b+ = a b= a b λ a b= λ
[ ]sin 2y x x π π= −在 ，
ABC∆ 3AB =
3C
π= O ABC∆ CO =
3 2 3 3 611．设函数 ,若 且 ,则 的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，若存在 ，使得 ，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知向量 与 的夹角为 ，且 ，若 ，且 则实数
的值为__________．
14．不等式 的解集为 ____________________．
15．在 中，内角 所对的边分别为 ．若 ， ，且
的面积等于 ，则 ________．
16．设函数 若函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是
__________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知向量 ，向量 分别为与向量 同向的单位向量.
（Ⅰ）求向量 与 的夹角 ；
（Ⅱ）求向量 的坐标.
2( ) 2 1f x x x= − − 1,m n> > ( ) ( )f m f n= mn
( )3,3 2 2+ (3,3 2 2+ ( )1,3 ( ]1,3
2( ) logf x x= ( ) 2g x x a= + 1 2
1, ,22x x ∈
( ) ( )1 2f x g x= a
[ 5,0]− ( , 5] [0, )−∞ − +∞ ( 5,0)− ( , 5) (0, )−∞ − ∪ +∞
AB AC 120° 3 2AB AC= = ， AP AB ACλ= + AP BC⊥ λ
3sin 2x ≥
2 2
2 , 2( )
3 2 , 2,
x a xf x
x ax a x
− 0 2
πα β< − <
5cos 5
α =
2 2 5sin 1 cos 5
α α= − = 2 3 10cos( ) 1 sin ( ) 10
α β α β− = − − =
cos cos[ ( )]β α α β= − −
cos cos( ) sin sin( )α α β α α β= − + −
5 3 10 2 5 10 2
5 10 5 10 2
= × + × =
0, 2
πβ ∈ 4
πβ =19．（Ⅰ）
令 ， ，解得函数 图象的对称轴方程： ，
（Ⅱ）向右平移 个单位得：
横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变得：
的值域为：
20．解：（1）
= ，
∴f(x)min=-1+1+k=-3，解得 k = -3．
( ) sin 2 cos 2 2sin cos3 6f x x x x x
π π = + + + +
sin 2 cos cos2 sin cos2 cos sin 2 sin 2sin cos3 3 6 6x x x x x x
π π π π= + + − +
1 3 3 1sin 2 cos2 cos2 sin 2 sin 2 3 cos2 sin 22 2 2 2x x x x x x x= + + − + = +
2sin 2 3x
π = +
2 3 2x k
π ππ+ = + k Z∈ ( )f x
2 12
kx
π π= + k Z∈
12
π 2sin 2 2sin 212 3 6y x x
π π π = − + = +
( ) 2sin 2 6
xy g x
π = = +
,23x
π π ∈
7,2 6 3 6
x π π π ∴ + ∈
1sin ,12 6 2
x π ∴ + ∈ −
[ ]2sin 1,22 6
x π ∴ + ∈ −
( )g x∴ [ ]1,2−
( ) 3 1 1 cos2xf x sin2x cos2x 2 k2 2 2
+= − + × +
3 1 πsin2x cos2x 1 k sin 2x 1 k2 2 6
+ + + = + + + （2）∵ ．
∴ ，即 .
∵ ，∴ ．
∵ 若 ，则 ，
若 ，则 ，
显然 ，且 ，∴ ．
∴ = ，
∴
= × + × = ．
21．解：（1） ， ，
， ， .
，
( ) πf x sin 2x 26
= + −
( )0 0
π 7f x sin 2x 26 5
= + − = − 0
π 3sin 2x 6 5
+ =
0
πx 0 4
∈ ， 0
π π 2π2x 6 6 3
+ ∈ ，
0
π π π2x 6 6 2
+ ∈ ， 0
π 1sin 2x ,16 2
+ ∈
0
π π 2π2x 6 2 3
+ ∈ ， 0
π 3sin 2x ,16 2
+ ∈
3 1 ,15 2
∈
3 3 ,15 2
∉
0
π π π2x 6 6 2
+ ∈ ，
2
0 0
π πcos 2x 1 sin 2x6 6
+ = − +
4
5
0 0
π πcos2x cos 2x 6 6
= + − = 0 0
π π π πcos 2x cos sin 2x sin6 6 6 6
+ + +
4
5
3
2
3
5
1
2
4 3 3
10
+
5cos cos( ) cos 5ADB ADC ADCπ∠ = − ∠ = − ∠ = ( )0,ADB π∠ ∈
2 5sin 5ADB∴ ∠ =
3cos 5BAD∠ = (0, )BAD π∠ ∈ 4sin 5BAD∴ ∠ =
sin sin[ ( )] sin( )B BAD ADB BAD ADBπ∴ = − ∠ + ∠ = ∠ + ∠
（2）在 中，由正弦定理得： ，即 ， .
在 中，由余弦定理得 ，
22．解：（1）∠BOC 为 θ，可得 BC=OCsinθ= sinθ，OB=OCcosθ= cosθ，
由题意可得 + sinθ+ sinθ= ，
化为 sinθ+cosθ= ，0＜θ＜ ，两边平方可得 2sinθcosθ= ＞0，
即 sin2θ= ，cos2θ=± =± ；
（2）在直角三角形 OBC 中，BC= sinθ，
即有 AD= sinθ，
OA=ADtan = sinθ，
由 AB=OB-OA= cosθ- sinθ，
则 OA•AB= sinθcosθ- sin2θ
4 5 3 2 5 2 5sin cos cos sin 5 5 5 5 5BAD ADB BAD ADB= ∠ ∠ + ∠ ∠ = × + × =
ABD△ sin sin
AD BD
B BAD
= ∠
2
42 5
55
AD =
5AD∴ =
ADC 2 2 2 52 cos 5 1 2 5 1 85AC AD DC AD DC ADC= + − ⋅ ⋅ ∠ = + + × × × =
2 2AC∴ =
5 5
5 5 5
( )5 30 5
5
+
30
5 3
π 1
5
1
5
11 25
− 2 6
5
5
5
6
π 15
3
5 15
3
5 3
3
5
3= sin2θ- （1-cos2θ）
= （ sin2θ+ cos2θ）- ，
= sin（2θ+ ）- ，
当 2θ+ = ，即 θ= 时，OA•AB 取得最大值 ．
5 3
6
5
6
5
3
3
2
1
2
5
6
5
3 6
π 5
6
6
π
2
π
6
π 5
6
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