四川省棠湖中学2019-2020高一数学下学期第二次月考试题（Word版附答案）

2020 年春四川省棠湖中学高一第二学月考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1． A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．下列说法正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 不是共线向量 4．已知角 α 终边上一点 M 的坐标为 ，则 A． B． C． D． 5．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． cos80 cos200 sin100 sin340+ =    1 2 2 1 2 − 3 2 sin195° = 2 6 4 − 6 2 4 − 2 4 3− 3 2 4 − a b>  a b>  a b=  a b=  a b=  a b   a b≠  ,a b  (1, 3) sin 2α = 1 2 − 1 2 3 2 − 3 2 ABC AD BC E AD EB = 3 1 4 4AB AC−  1 3 4 4AB AC−  3 1 4 4 +AB AC  1 3 4 4 +AB AC 6．若平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则向量 的模为 A． B． C． D． 7．已知 ，则 的值是 A． B． C． D． 8．已知两个非零单位向量 的夹角为 ，则下列结论不正确的是 A．不存在 ，使 B． C． ， D． 在 方向上的投影为 9．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的大小是 A． B． C． D． 10．已知函数 ，则 的最大值为 A．3 B．1 C． D． 11．已知奇函数 满足 ，则 的取值可能是 A．4 B．6 C．8 D．12 12．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，则 的面积为 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 的周长等于 ，则其外接圆直径等于__________． 1 2,e e  θ θ 1 2• 2e e =  2 2 1 2e e=  ∀ ∈θ R ( )1 2 1 2( )e e e e− ⊥ +    1e 2e sinθ ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) 3sin sin ,2 6B A C C π− − = = B 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ( ) 22cos 1 4sinf x x x= − + ( )f x 3 2 3− ( ) 2cos( )( 0,0 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > < ≤ 4 4f x f x π π   + = −       ω ABC∆ A B C a b c 2 2 2 1b c a bc+ − = = ABC∆ 3 3 3 3 2 3 4 3 2 ABC∆ 3(sin sin sin )A B C+ +14．已知 ， ，实数 满足 ，则 ________. 15． __________. 16．在 中，内角 所对的边分别为 ， 是 的中点，若 且 ，则 面积的最大值是___ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）四边形 中， ， ， ． （1） ，试求 与 满足的关系式； （2）满足（1）的同时又有 ，求 的值和四边形 的面积． 18．（12 分）已知 是第三象限角， . （1）化简 ； （2）若 ，求 的值； （3）若 ，求 的值. 19．（12 分）已知函数 . （1）求 的单调递减区间； （2）若 在区间 上的最小值为 ，求 的最大值. ( )2,0a = ( )1,2b = λ 5a bλ− = λ = ( )cos40 1 3 tan10° + ° = ABCD )(6,1AB = )( ,BC x y= )( 2, 3CD = − − / /BC DA  x y AC BD⊥  xy ABCD α ( )f α = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos 2 tan tan sin π α π α α π α π α − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − − ( )f α 3 1cos 2 5 α π − =   ( )f α 1920α = − ° ( )f α 3( ) cos (sin 3 cos ) 2f x x x x= + − ( )f x ( )f x [ , ]6m π 1− m20．（12 分）在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－ bsin . (1)求 A； (2)若△ABC 的面积 S＝ c2，求 sin C 的值． 21．（12 分）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，已知 . （1）求角 的大小； （2）求 的取值范围． 22．（12 分）某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程， 造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩 形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知 该扇形 的半径为 200 米，圆心角 ，点 在 上，点 在 上，点 在弧 上，设 . 3A π +   3 4 ABC , ,A B C , ,a b c ( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B− + = − C 2 2cos cosA B+ OAB 60AOB∠ = ° Q OA ,M N OB P AB POB θ∠ =（1）若矩形 是正方形，求 的值； （2）为方便市民观赏绿地景观，从 点处向 修建两条观赏通道 和 （宽度不 计），使 ， ，其中 依 而建，为让市民有更多时间观赏，希望 最长，试问：此时点 应在何处？说明你的理由. MNPQ tanθ P ,OA OB PS PT PS OA⊥ PT OB⊥ PT PN PS PT+ P2020 年春四川省棠湖中学高一第二学月考试 数学试题参考答案 1．C 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．A 11．B 12．C 13．3 14．1 或 15．1 16． 17 解：（1）依题意： ∵ ∴ ， 即： ，得 ； （2） ， 当 时， ，得： ， 代入 ，解方程得： 或 ，故 或 ； 当 时，则 ， 此时求得： ； ②当 时，则 ， 此时求得： ；∴ ． 18．（1）由题意，利用三角函数的诱导公式， 化简得 . （2）由诱导公式，得 ，且 ， 所以 ， 1 5 − )( )( )( )(2,3 , 6, 1 4 ,2DA DC CB BA x y x y= + + = + − − + − − = − − −    / /BC DA  )( )(2 4x y y x⋅ − = ⋅ − − 2 4x xy y xy− = − − 2x y= − )(6 ,1AC AB BC x y= + = + +   )( 2, 3BD BC CD x y= + = − −   AC BD⊥  )( )( )( )(6 2 1 3 0x x y y+ ⋅ − + + ⋅ − = 2 24 12 2 3 0x x y y+ − + − − = 2x y= − 1 1 6 3 x y = −  = 2 2 2 1 x y =  = − 18xy = − 2− 1 1 6 3 x y = −  = )((0 4) 8,0AC BD= = − ，， 1 | | | | 162ABCDS AC BD⋅ ==   2 2 2 1 x y =  = − )((8 0) 0, 4AC BD= = − ，， 1 | | | | 162ABCDS AC BD⋅ ==   16ABCDS = ( ) ( ) ( ) sin cos tan sin cos tan costan sintan sinf α α π α α α αα αα αα π α ⋅ ⋅ − +  − ⋅ ⋅ = = =− ⋅− − +   3 3cos cos sin2 2 α α α   − π = π − = −       3 1cos 2 5 α π − =   1sin 5 α = −又因为 是第三象限角，所以 ， 所以 . （3）因为 ，则 . 19．（1）由题意知： 化简得： 当 单调递减时， 解得： 即函数 的单调递减区间为 . （2）当 在区间 上的最小值为 时， 存在 ，使得 ， 即 ，解得： ， 则 时，存在 . 20．(1)因为 asin B＝－bsin ，所以由正弦定理得 sin A＝－sin ， 即 sin A＝－ sin A－ cos A，化简得 tan A＝－ ， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝ . (2)因为 A＝ ，所以 sin A＝ ，由 S＝ c2＝ bcsin A＝ bc，得 b＝ c， 所以 a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ c，由正弦定理得 sin C＝ . α 2 2 6cos 1 sin 5 α α= − − = − 2 6( ) cos 5f α α= = − 1920α = − ° ( ) ( ) ( )1920 cos 1920 cos1920f fα = − ° = − ° = ° ( ) 1cos 5 360 120 cos120 2 = × °+ ° = ° = − 2 3( ) cos sin 3cos 2f x x x x= ⋅ + − 1 3( ) sin 2 cos2 sin 22 2 3f x x x x π = + = +   ( )f x 32 2 ,2 ,3 2 2x k k k Z π π ππ π + ∈ + + ∈   7, ,12 12x k k k Z π ππ π ∈ + + ∈   ( )f x 7, ,12 12k k k Z π ππ π + + ∈   ( )f x [ , ]6m π 1− 1 , 6x m π ∈   1sin 2 13x π + = −   12 2 ,3 2x k k Z π ππ+ = − ∈ 1 5 ,12x k k Z ππ= − ∈ 0k = ( )1 max 5 12x π= − ( )max 1 max 5 12m x π∴ = = − )3A π+（ )3A π+（ 1 2 3 2 3 3 5 6 π 5 6 π 1 2 3 4 1 2 1 4 3 7 sin 7 14 c A a =21．解：（1）因为 ，由正弦定理得 ，即 ，则 根据余弦定理得 又因为 ，所以 （2）因为 ，所以 则 因为三角形 为锐角三角形且 ，所以 则 所以 ， 所以 即 的取值范围为 22．：（1）在 中， ， ，在 中， ， 所以 ，因为矩形 是正方形， ，所以 ，所以 ，所以 ． （2）因为 所以 ， ， ( )( ) ( )sin sin sin sina c A C b A B− + = − ( )( ) ( )a c a c b a b− + = − 2 2 2a b c ab+ − = 2 2 2 1 2 2 a b c ab + − = 1cos 2C = 0 C π< < 3C π= 3C π= 42 23B A π= − ( )2 2 1 cos2 1 cos2 1cos cos 1 cos2 cos22 2 2 A BA B A B + ++ = + = + + 1 41 cos2 cos 22 3A A π  = + + −     1 1 31 cos2 sin22 2 2A A  = + −    11 cos 22 3A π = + +   ABC 3C π= 6 2A π π< < 2 423 3 3A π π π< + < 11 cos 2 6 2A π − ≤ + < −   2 21 3cos cos2 4A B≤ + < 2 2cos cosA B+ 1 3 2 4 ，    Rt PON∆ 200sinPN θ= 200cosON θ= Rt OQM∆ 200sinQM PN θ= = 200sin 200 3= sin ,tan 60 33 QMOM θ θ= =° MN ON OM= − 200 3200cos sin3 θ θ= − MNPQ MN PN∴ = 200 3200cos sin 200sin3 θ θ θ− = 200 3(200+ )sin 200cos3 θ θ= 1 3 3 3tan = 23 3+ 31 3 θ −= = + ,POM θ∠ = 60POQ θ∠ = °− 200sin 200sin(60 )PS PT θ θ+ = + °− 3 1200(sin cos sin )2 2 θ θ θ= + − 1 3200( sin cos ) 200sin( 60 )2 2 θ θ θ= + = + °．所以 , 即 时， 最大，此时 是 的中点． 答：（1）矩形 是正方形时， ； （2）当 是 的中点时， 最大． 0 60θ° < < ° +60 =90θ ° ° =30θ ° PS PT+ P AB MNPQ 3 3tan 2 θ −= P AB PS PT+