天水市一中 2019——2020 学年度第一学期期末考试试卷
数学（理）
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）
1．已知 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
2．若 f(x)＝x2－2x－4lnx，则 ＞0 的解集为（ ）
A．(0，＋∞) B． C．(－1，0) D．(2，＋∞)
3．若命题 ，则命题 的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．如果方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
5．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 为棱 C1D1 的中点，则异面直线 AM 与 BD 所成角的余
弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， 均为实数，则下列说法一定成立的是（ ）
12, 2x y x x
> = + − y
)(xf ′
( )∞+∞ ，），（ 21--
: 0, ,tan 14p x x
π ∀ ∈ ≤
p
0 0, ,tan 14x x
π ∃ ∈ ≤ 0 0, ,tan 14x x
π ∃ ∈
2 2
15 4
x y
m m
+ =− −
y m
4 5m< < 9
2m >
94 2m< < 9 52 m< <
2
2
3
4
2
6
3
6
2 2
2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b
− = > > 2y x= ±
5
5
2 5
5
5
2 5
a bA．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
8． 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 m 是直线，α，β 是两个不同平面，且 m∥α，则 m⊥β 是 α⊥β 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知抛物线 的焦点 F 是椭圆 的一个焦点，且该抛
物线的准线与椭圆相交于 A、B 两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E 是棱 AB 的中点，F 是侧面 AA1D1D 内一点，
若 EF∥平面 BB1D1D，则 EF 长度的范围为（ ）
A． B． C． D．
12．函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）
a b> c d> ab cd> 1 1
a b
> a b<
a b> 2 2a b> | |a b< 0a b+ >
1
11 de
xx
− ∫
e 2− e e 1+ e 1−
2 2 ( 0)x py p= >
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > >
FAB∆
1
2
2
2
3
3
3
2
[ 2, 3] [ 2, 5] [ 2, 6] [ 2, 7]
1( ) e axf x x x
−= − ( )0, ∞+ a
2, e
−∞
20, e
( )1,e 1 2,e e
13．设 满足约束条件 ，则 的最小值为_______.
14．设抛物线 上一点 到 轴的距离是 ,则点 到该抛物线焦点的距离是____．
15．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 ，则 S5=____________．
16．已知 是函数 的切线，则 的最小值为______.
三、解答题（前两题每题各 8 分，后三题每题各 12 分，共 52 分）
17．已知数列 为等差数列，公差 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
18．在四棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形，
， ， ，点 是 的中点．
（1）求证： 平面 PAD；
（2）求二面角 P﹣BC﹣D 的余弦值．
19．已知函 数，导函数为 ，已知 .
(1)求 的值;
,x y
2 0
2 2 0
2 2 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− − ≤
− + ≥
3z x y= −
2
1 4 6
1
3a a a= =，
y kx b= + ( ) lnf x x x= + 2k b+
{ }na 0d > 1 4 27a a = 4 24S =
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= ⋅ { }nb n nT
P ABCD− PAD ⊥ ABCD PAD△
1
2AB AD CD= = AB AD⊥ AB CD∥ M PC
( )2 0f ′ =
a
//BM
)( xf ′，)(13
1)( 3 Raaxxxf ∈+−=(2)求函数 在区间 上的最值.
20．己知椭圆 的一个顶点坐标为 ，离心率为 ，直线
交椭圆于不同的两点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 ，当 的面积为 时，求实数 的值．
21．已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取范围.
理科参考答案
1．C2．C3．D4．D5．C6．D7．D8．A9．A10．C11．C12．B
取
设 ， ， 在 上单调递增， 上单调递减
( )f x [ 3 3]− ，
( )2 2
2 2: 1 0x yM a ba b
+ = > > ( )2,0 3
2
y x m= + ,A B
M
( )1,1C ABC∆ 1 m
( ) ln ( 1)f x x a x= − − Ra∈
( )f x
1x ≥ ln( ) 1
xf x x
≤ + a
2
1 2ln ( 0)1 1( ) e 0 e eax ax axf x x xx x
xa xx x
− − −= − = ∴ = ∴ = >∴ =
2ln( ) xg x x
= 2
1 ln'( ) 2 xg x x
−= ( )g x (0, )e ( , )e +∞画出函数图像：
根据图像知：
13． 14． 15． . 16．
16.根据题意，直线 y＝kx+b 与函数 f（x）＝lnx+x 相切，设切点为（m，lnm+m），
函数 f（x）＝lnx+x，其导数 f′（x） 1，则 f′（m） 1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（ 1）（x﹣m），变形可得 y＝（ 1）x+lnm﹣1，
又由切线的方程为 y＝kx+b，
则 k 1，b＝lnm﹣1，
则 2k+b 2+lnm﹣1＝lnm 1，
设 g（m）＝lnm 1，其导数 g′（m） ，
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则 g（m）＝lnm 1 为减函数，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则 g（m）＝lnm 1 为增函数，
则 g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即 2k+b 的最小值为 ln2+2；
故答案为 ln2+2．
17.（1） ；（2）
（1）由题意可知， ， .
又 ， ， ， ， ，
max
2( ) ( )g x g e e
= =
20, ea ∈
6− 121
3 2 ln 2+
1
x
= + 1
m
= +
1
m
+ 1
m
+
1
m
= +
2
m
= + 2
m
+ +
2
m
+ + 2 2
1 2 2m
m m m
−= − =
2
m
+ +
2
m
+ +
2 1na n= +
6 9
n
n +
( )1 4
4
4 242
a aS
+= = 1 4 12a a∴ + =
1 4 27a a = 0d > 1 3a∴ = 4 9a = 2d =.故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知， ，
.
18．（1）证明见解析；（2） .
证明：（1）取 中点 ，连结 ， ．
因为 为 中点，所以 ， ．
因为 ， ．所以 且 ．
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 ，连结 ．
因为 ，所以 ．
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．取 中点 ，连结 ，则 ．
以 为原点，如图建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ， ，
， ．
平面 的法向量 ，
2 1na n∴ = + { }na 2 1na n= +
( )( )1
1 1
2 1 2 3n
n n
b a a n n+
= = + +
1 1 1
2 2 1 2 3n n
= − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 6 9n
nT n n n n
∴ = − + − +⋅⋅⋅+ − = − = + + + +
15
5
PD H MH AH
M PC HM CD∥ 1
2HM CD=
AB CD∥ 1
2AB CD= AB HM AB HM=
ABMH BM AH
BM ⊄ PAD AH ⊂ PAD
BM∥ PAD
AD O PO
PA PD= PO AD⊥
PAD ⊥ ABCD
PAD ABCD AD= PO ⊂ PAD
PO ⊥ ABCD BC K OK OK AB
O
2AB = ( )1,0,0A ( )1,2,0B ( )1,4,0C − ( )1,0,0D − ( )0,0, 3,P
( )2,2,0BC = − ( )1,2, 3PB = −
BCD ( )0,0, 3OP =设平面 的法向量 ，
由 ，得 ．
令 ，则 ， ．
由图可知，二面角 是锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ．
19（Ⅰ）4；（Ⅱ）最大值为 ，最小值为 .
解: (I) ，
,
(II) 由(I)可得: ，
令 ，解得 ，列出表格如下:
极大值 极小值
又
所以函数 在 区间上的最大值为 ，最小值为
PBC ( ), ,n x y z=
0
0
BC n
PB n
⋅ =
⋅ =
2 2 0
2 3 0
x y
x y z
− + = + − =
1x = ( )1,1, 3n = 15cos , 5
OP nOP n
OP n
⋅= =
P BC D− −
P BC D− − 15
5
19
3
13
3
−
( ) 3 (1 )1
3f x x ax x R= − + ∈
( ) 2f x x a′∴ = −
( )2 4 0f a′ = − =
4a∴ =
( ) ( )3 21 4 1, 43f x x x f x x′= − + = −
( ) 2 4 0f x x′ = − = 2x = +
x ( , 2)−∞ − 2− ( )2,2− 2 (2, )+∞
( )f x′ + 0 − 0 +
( )f x
19
3
13
3
−
( ) ( )19 133 4 , 3 23 3f f− = < = − > −
( )f x [ 3 3]− ， 19
3
13
3
−20．（Ⅰ）： y2＝1；（Ⅱ）m
（Ⅰ）由题意知： ， ，则
椭圆 的方程为：
（Ⅱ）设 ，
联立 得：
，解得：
，
又点 到直线 的距离为：
，解得：
21．(1) 若 ， 在 上单调递增；若 ， 在 上单调递增，在
上单调递减;(2)
试题解析：（1） 的定义域为 ， ，
若 ，则 恒成立，∴ 在 上单调递增；
若 ，则由 ，
2x
4
+ 10
2
= ±
2a = 3
2
c
a
= 3c = 2 2 2 1b a c∴ = − =
∴ M
2
2 14
x y+ =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2 14
y x m
x y
= + + =
2 25 8 4 4 0x mx m+ + − =
( )2 264 20 4 4 0m m∴∆ = − − > 5 5m− < <
1 2
8
5
mx x∴ + = − 2
1 2
4 4
5
mx x
−=
( )2 2
1 2 1 2
4 22 4 55AB x x x x m∴ = ⋅ + − = ⋅ −
C AB 2
md =
21 1 4 2 5 12 2 5 2ABC
mS AB d m∆∴ = ⋅ = × ⋅ − ⋅ = ( )10 5, 52m = ± ∈ −
10
2m∴ = ±
0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x 1(0, )a
1( , )a
+∞ 1[ , )2
+∞
( )f x ( )0,+∞ ( ) 1 axf x x
=′ −
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 10f x x a
= ⇒ =′当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可知：若 ， 在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2） ，
令 ， ，
，令 ，
①若 ， ， 在 上单调递增，
，
∴ 在 上单调递增, ，
从而 不符合题意．
②若 ，当 ， ，
∴ 在 上单调递增，
从而 ，
∴ 在 上单调递增, ，
从而 不符合题意．……………………10 分
③若 ， 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递减， ，
∴ 在 上单调递减, ，
10,x a
∈
( ) 0f x′ > 1 ,x a
∈ +∞
( ) 0f x′ <
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
( ) ( )2ln 1ln
1 1
x x a xxf x x x
− −
− =+ +
( ) ( )2ln 1g x x x a x= − − ( )1x ≥
( ) ln 1 2g x x ax+′ = − ( ) ( ) ln 1 2h x g x x ax= = + −′ ( ) 1 2axh x x
−′ =
0a ≤ ( ) 0h x′ > ( )g x′ [ )1,+∞
( ) ( )1 1 2 0g x g a≥ = −′ >′
( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g∴ ≥ =
( ) ln 01
xf x x
− ≥+
10 2a< < 11, 2x a
∈
( ) 0h x′ >
( )g x′ 11, 2a
( ) ( )1 1 2 0g x g a≥ = −′ >′
( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g∴ ≥ =
( ) ln 01
xf x x
− ≥+
1
2a ≥ ( ) 0h x′ ≤ [ )1,+∞
( )g x′ [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 2 0g x g a≤ = −′ ≤′
( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )1 0g x g∴ ≤ =综上所述，a 的取值范围是 ．
( ) ln 01
xf x x
− ≤+
1 ,2
+∞
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