2020 年春高二第二学月考试
理科数学试题
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．命题“ ”的否定是
A． B．
C． D．
4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016
年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，
下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月
D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
3
2
i
i
− =+
1 i− 2 2i− 1 i+ 2 2i+
{ }2| 4, Rx x xΑ = ≤ ∈ { }| 4,x x xΒ = ≤ ∈Ζ Α ∩Β =
( )0,2 [ ]0,2 { }0,1,2 { }0,2
2
0 (0,1), 0x x x∀ ∈ − <
2
0 0 0(0,1), 0x x x∃ ∉ − ≥ 2
0 0 0(0,1), 0x x x∃ ∈ − ≥
2
0 0 0(0,1), 0x x x∀ ∉ − < 2
0 0 0(0,1), 0x x x∀ ∈ − ≥5．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：
从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现一月（按 30 天计）共
织 390 尺布”，则第 30 天织布
A．7 尺 B．14 尺 C．21 尺 D．28 尺
6．在 的展开式中 的系数是
A．－14 B．14 C．-28 D．28
7．如果双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线与直线 x－y＋ ＝0 平行，则双曲
线的离心率为
A．3 B．2 C． D．
8．已知函数 是奇函数，当 时，函数 的图象与函数 的
图象关于 对称，则
A．-7 B．-9 C．-11 D．-13
9．若 ，则 的最小值是
A． B． C． D．
10．由曲线 ,直线 及 轴所围成的平面图形的面积为
A．6 B．4 C． D．
11．四棱锥 的底面 为正方形， 底面 ， ， ，
若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
12．设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值
范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
8( 1)( 1)x x− + 3x
2 2
2 2 1x y
a b
− = 3 3
3 2
( ) ( ) 2g x f x x= + 0x > ( )f x 2y log x=
y x= ( ) ( )1 2g g− + − =
4 2log (3 4 ) loga b ab+ = +a b
7 4 3+ 7 2 3+ 6 4 3+ 6 2 3+
y x= 2y x= − y
10
3
16
3
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2AB = 7
2PA =
81
2
π 81
4
π
65π 65
2
π
( ) ln=f x x ( ) ( )g x f x ax= − (0 )4， a
10, e
ln 2 ,2 e
ln 20, 2
ln 2 1,2 e
13．设随机变量 服从正态分布 ,若 ，则 的值是______．
14．铁人中学欲将甲、乙、丙、丁四名大学毕业生安排到高一、高二、高三三个年级实习，
每个年级至少一名毕业生，不同的分法有______种(结果用数字表示).
15．若 ，则 ______．
16．设随机变量 的分布列为 ， 0，1，2，…， ，且
，
则
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知函数 ，当 时， 取得极小值 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在 上的最大值和最小值.
18．（12 分）从某工厂生产的某种产品中抽取 1000 件，测量这些产品的一项质量指标值，由
测量结果得如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求这 1000 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区间的中
点值作代表）
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中
以 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ．
ξ (2,9)N ( ) ( 2)P c P cξ ξ> = < + c
8 2 8
0 1 2 8( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x a a x a x a x− = + − + − +…+ − 0 1 2 8a a a a+ + +…+ =
ξ ( )P kξ = = 2 1C ( ) ( )3 3
k k n k
n
− k = n
( ) 24E ξ =
( )D ξ =
3( ) ln af x x bx
= + + 1x = ( )f x 2
,a b
( )f x 1 ,24
x 2s
Z 2( , )N µ σ
µ x 2σ 2s（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）某用户从该工厂购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值为于区
间 的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求 ．
附： ．若 ，则 ，
．
19．（12 分）如图 ，在直角梯形 中， ， ， ，
， 是 的中点， 是 与 的交点．将 沿 折起到 的位置，
如图 ．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
20．（12 分）在直角坐标系 中，已知圆 与直线
相切，点 A 为圆 上一动点， 轴于点 N，且动点满足 ，设动点 M
的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）设 P，Q 是曲线 C 上两动点，线段 的中点为 T， ， 的斜率分别为 ，且
，求 的取值范围.
21．（12 分）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
(127.6 140)P Z< <
X
(127.6,140) EX
154 12.4≈ 2( , )Z N µ σ ( ) 0.6826P Zµ σ µ σ− < < + =
( 2 2 ) 0.9544P Zµ σ µ σ− < < + =
1 CDΑΒ D// CΑ Β D 2
π∠ΒΑ = C 1ΑΒ = Β =
D 2Α = Ε DΑ Ο CΑ ΒΕ ∆ΑΒΕ ΒΕ 1
∆Α ΒΕ
2
CD ⊥ 1 CΑ Ο
1
Α ΒΕ ⊥ CDΒ Ε 1 CΑ Β 1CDΑ
xOy 2 2 2
1 : ( 0)C x y r r+ = > 0 : 2 2l y x= +
1C AN x⊥ OM AM ON+ =
PQ OP OQ 1 2,k k
1 2
1
4k k = − OT
( ) ( ) ( )xf x x a e a R= − ∈
( )f x（Ⅱ）当 时， ，记函数 在 上的最大值为 ，证明：
.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线 分别与曲线 ， 交于 ， 两点（异于极点），求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知函数 .
（Ⅰ）若不等式 的解集 ，求实数 的值.
（Ⅱ）在（1）的条件下，若存在实数 使 成立，求实数 的取值范围.
2a = ( ) ( ) lnF x f x x x= − + ( )y F x= (1 ,14 ) m
4 3m− < < −
1C
1,
1
x t t
y t t
= +
= −
t x
2C 2 6 cosρ θ=
1C 2C
6
πθ = 1C 2C A B AB
( ) 2f x x a a= − +
( ) 6f x ≤ { }2 3x x− ≤ ≤ a
x ( ) ( )f x x m+ − ≤ m2020 年春高二第二学月考试
理科数学试题参考答案
1．A 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D
11．B 12．D
13．1 14．36 15．0 16．8
17．(Ⅰ) , 因为 x=1 时，f(x)有极小值 2， ,
所以 , 所以 ， 经检验符合题意.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
当 时，由 ，由 ，
所以 上单调递减，在（1,2）上单调递增， 所以
又由 ，得 .
18．（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为
（2）（ⅰ）由（1）知， ，
从而
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间 的概率为 ，
依题意知 服从二项分布 ，所以
19．（Ⅰ）在图 1 中，因为 ， ， 是 的中点， ，所以
2
1 3( ) ( 0)af x xx x
= − >′ (1) 3 2
(1) 1 3 0
f a b
f a
= + =∴ ′ = − =
1
3
1
a
b
=
=
1( ) ln 1f x x x
= + +
2
1( ) ( 0)xf x xx
−′ = >
1 ,24x ∈
1( ) 0 ( ,1)4f x x∈′ < 得 ( ) 0 (1,2)f x x′ > ∈得
1( ) 14f x
在 ， min ( ) (1) 2f x f= =
1 3( ) 5 2ln 2 3, (2) ln 2 34 2f f= − > = + < max
1( ) ( ) 5 2ln 24f x f= = −
x 2s
110 0.02 120 0.10 130 0.20 140 0.35x = × + × + × + ×
150 0.22 160 0.09 170 0.02+ × + × + × 140=
( ) ( ) ( )2 2 22 30 0.02 20 0.10 10 0.20 0 0.35s = − × + − × + − × + ×
2 2 210 0.22 20 0.09 30 0.02+ × + × + × 154=
( )~ 140,154Z N
1 1(127.6 140) (140 12.4 140 12.4) 0.6826 0.34132 2P Z P Z< < = − < < + = × =
( )127.6,140 0.3413
X ( )100,0.3413B 100 0.3413 34.13EX = × =
C 1ΑΒ = Β = D 2Α = Ε DΑ D 2
π∠ΒΑ =即在图 2 中， ， 从而 平面
又 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）由已知，平面 平面 ，又由（Ⅰ）知， ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ．
如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，因为 ，
所以
得 ， ．
设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，平面 与
平面 夹角为 ，则 ，得 ，取 ，
，得 ，取 ，从而 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
20．（1）设动点 ，由于 轴于点 N，
∴ ，又圆 与直线 相切，
∴ ，则圆 .
CΒΕ ⊥ Α
1
ΒΕ ⊥ ΟΑ CΒΕ ⊥ Ο ΒΕ ⊥ 1AOC
CD//ΒΕ CD ⊥ 1AOC
1A BE ⊥ CDΒ Ε 1OAΒΕ ⊥ CΒΕ ⊥ Ο
1AOC∠ 1- -CA BE 1OC 2A
π∠ =
Ο 1 1B= E=BC=ED=1A A //BC ED
1
2 2 2 2( ,0,0), ( ,0,0), (0,0, ), (0, ,0),2 2 2 2B E A C−
2 2( , ,0),2 2BC −
1
2 2(0, , )2 2AC − ( 2,0,0)CD BE= = −
1BCA 1 1 1 1( , , )n x y z=
1CDA 2 2 2 2( , , )n x y z=
1BCA
1CDA θ 1
1 1
0{
0
n BC
n AC
⋅ =
⋅ =
1 1
1 1
0{ 0
x y
y z
− + =
− = 1 (1,1,1)n =
2
2 1
0{
0
n CD
n AC
⋅ =
⋅ =
2
2 2
0{ 0
x
y z
=
− = 2 (0,1,1)n =
1 2
2 6cos , 33 2
cos n nθ = 〈 〉 = =
×
1BCA 1CDA 6
3
( )0 0( , ), ,M x y A x y AN x⊥
( )0 ,0N x 2 2 2
1 : ( 0)C x y r r+ = > 0 : 2 2l y x= +
| 2 2 | 2
2
r = = 2 2
1 : 4C x y+ =由题意， ，得 ，∴ ，即
，
又点 A 为圆 上的动点，∴ ，即 ；
（2）当 的斜率不存在时，设直线 ，
不妨取点 ，则 ， ，∴ .
当 的斜率存在时，设直线 ， ，
联立 ，可得 .∴
.
∵ ，∴ .
∴
＝ .化简得： ，∴ .
.
设 ，则 .
∴ ∴ .
综上， 的取值范围是 .
21．（1）因为 ，所以 ，当 时，
；当 时， ，
OM AM ON+ = ( ) ( )0 0 0( , ) , ,0x y x x y y x+ − − = 0 0
0
2
2 0
x x x
y y
− =
− =
0
0 2
x x
y y
=
=
1C 2 24 4x y+ =
2
2 14
x y+ =
PQ 1: 2OP y x=
22, 2P
22, 2Q
( 2,0)T 2OT ＝
PQ :PQ y kx m= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2 24 4
y kx m
x y
= +
+ =
( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
2
1 2 1 22 2
8 4 4,1 4 1 4
km mx x x xk k
− −+ = =+ +
1 2
1
4k k = − 1 2 1 24 0xy xy + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 24 1 4 4 4kx m kx m x x k x x km x x m+ + + = + + + +
2 2
2 2
2
324 4 4 01 4
k mm mk
= − + =+
2 22 1 4m k= + 2 1
2m ≥
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 264 4 4 1 4 4 16 4 1 16 0k m k m k m m∆ = − + − = + − = >
( )3 3,T x y 1 2
3 3 3
2 1,2 2
x x kx y kx mm m
+ −= = = + =
2
2 2 2
3 3 2 2 2
4 1 3 1| 0 | 2 ,24 4 2
kT x y m m m
= + = + = − ∈
2| | , 22OT
∈
OT 2 , 22
( ) ( ) xf x x a e= − ( ) ( )1 xf x x a e= − +′ ( ), 1x a∈ −∞ −
( ) 0f x′ < ( )1,x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ >故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）当 时， ，则
，
当 时， ，令 ，则 ，所以 在
上单调递增，
因为 ， ，所以存在 ，使得 ，即
，即 .
故当 时， ，此时 ；当 时， ，此时
.
即 在 上单调递增，在 上单调递减.
则 .
令 ， ，则 .
所以 在 上单调递增，所以 ， .故
成立.
22．由 两式相解得， ；所以曲线 的极坐标方程
为 的直角坐标方程为 .
( )f x ( ), 1a−∞ − ( )1,a − +∞
2a = ( ) ( )2 lnxF x x e x x= − − +
( ) ( ) ( )1 11 1 1x xF x x e x ex x
= − − + = − −
′
1 14 x< < 1 0x − < ( ) 1xg x e x
= − ( ) 2
1 0xg x e x
= + >′ ( )g x 1 ,14
1
21 2 02g e = − 0
1 ,12x ∈
( )0 0g x =
0
0
1xe x
=
0 0lnx x= −
0
1 ,4x x ∈
( ) 0g x < ( ) 0F x′ > ( )0 ,1x x∈ ( ) 0g x >
( ) 0F x′ <
( )F x 0
1 ,4 x
( )0 ,1x
( ) ( ) ( ) 0
0 0 0 0max 2 lnxm F x F x x e x x= = = − − + ( )0 0 0 0
0 0
1 22 1 2x x x xx x
= − × − − = − −
( ) 21 2G x xx
= − − 1 ,12x ∈ ( ) ( )2
2 2
2 12 2 0
x
G x x x
−
= − = >′
( )G x 1 ,12x ∈
( ) 1 42G x G > = −
( ) ( )1 3G x G< = −
4 3m− < < −
2 2
2
2 2
2
1 1 2
1 1 2
x t x tt t
y t y tt t
= + = + + ⇒
= − = + −
2 2 4x y− = 1C
2 2 2 2cos sin 4ρ θ ρ θ− = 2C 2 22 6 0x x y− + =（2）联立 得 ，联立 得 ，故
.
23．（1）∵函数 ，故不等式 ，即 ，
即 ，求得 .再根据不等式的解集为 .
可得 ，∴实数 .
（2）在（1）的条件下， ，
∴存在实数 使 成立，即 ，
由于 ，∴ 的最小值为 2，∴ ，
故实数 的取值范围是 .
2 2 2 2cos sin 4,
,6
ρ θ ρ θ
πθ
− = =
2 2A
ρ =
2 6 cos ,
,6
ρ θ
πθ
= =
3 2B
ρ =
| | 2A BAB ρ ρ= − =
( ) 2f x x a a= − + ( ) 6f x ≤ 2 1 6x a− ≤ −
6 0
6 2 6
a
a x a a
− ≥
− ≤ − ≤ − 3 3a x− ≤ ≤ { }| 2 3x x− ≤ ≤
3 2a − = − 1a =
( ) 2 1 1f x x= − +
x ( ) ( )f x f x m+ − ≤ 2 1 2 1 2x x m− + + + ≤
( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x− + + ≥ − − + = 2 1 2 1x x− + + 4m≥
m [ )4,+∞
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