参考答案
1．B 详解：由题意， 则 的共轭复数
对应的点在第二象限．故选 B．
2．D【详解】由 得 ,又 所以 ．又
,其中 所以 ,故
,所以 ．故选 D．
3．A 由题意知，2a=8，∴a=4，又 ，∴c=3，则 b2=a2﹣c2=7．当椭圆的焦点在 x 轴上时，
椭圆方程为 ；故答案为： 。故答案为 A。
4．A【详解】小球落在阴影部分的概率为： ，本题正确选项：A
5．B
6．B【解析】 ，
， ， ，选 B．
7．D【详解】圆 圆心为 ，半径为 ，而 ，所以 是等边三角形．由于
是线段 的中点，所以 ．所以
．故选：D
8．C【详解】由题意知，当 时， ，可得
，设 ，则 ，所以
在 单调减． 不等式 ，
即为 ，解得 ，故选 C．
( ) ( )
( )
2 22 2 2 2 ,i iiz ii i i
− ⋅ −−= = = − −⋅ − 2 2 ,z i∴ = − + z
z
{ | ln(2 )}A x N y x= ∈ = − 2 0, 2x x− > < x∈N 0,1x =
( 2){ | 2 1}x xB x −= ≤ ( 2) 02 1 2 ( 2) 0x x x x− ≤ = ⇒ − ≤ 0 2x≤ ≤
{ }{0,1}, | 0 2A B x x= = ≤ ≤ { }0,1A B =
3
4e =
2 2
116 7
x y+ =
2 2
116 7
x y+ =
2
1
2
2
1 32
1
4
4 64P
π π
π
− ⋅
⋅ =⋅= ⋅
2 (sin56 cos56 ) sin(56 45 ) sin112a = − = − =
cos(90 40 )cos(90 38 ) cos40 cos38 sin 40 sin38 cos40 cos38 cos78 sin12b = − + + = − + = =
cos80 sin10c = = sin12 sin11 sin10 , b a c> > ∴ > >
O ( )0,0 2 | | 2AB = OAB∆
M AB 1 1
2 2OM OA OB= + OC OM⋅
1 2
3 3
1 1
2 2OA O O OB A B = + ⋅ +
2 21 1 1
6 2 3OA OA OB OB= + ⋅ ⋅ +
2 1 42 2 cos60 33 2 3
= + × × × + =
( , 0)x ∈ −∞ ( ) 2 ( ) 1xf x f x− >′
2 ( ) 2 ( )x f x xf x x−′ < 2
( )( ) = f xg x x
2
4 3
( ) 2 ( ) 1( ) 0x f x xf xg x x x
−= =′ 1，∴ ，故选 B．
13．甲胜【详解】若甲队获胜，则 A，B 判断都正确，与三人中只有一人的判断是正确的矛盾，
故甲不可能获胜.故答案为：甲胜
14． 【详解】因为 是 上的偶函数且在 上递增，所以 在
上递减，又因为 ，所以 ，所以 ，所以
，所以 ．故答案为： ．
15．
【详解】解：因为 ，所以
，所以
，即 ，
又 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 ，
而 ，故 ．故答案为： ；
；
16． 【详解】 两两垂直 平面
，即
（当且仅当
，即 时取等号）又 恒成立， ，解得：
， 正实数 的最小值为
2b a< 3c a< 3e < 1 3e< <
( )0, 3 ( )f x R ( ],0−∞ ( )f x ( )0, ∞+
( ) ( )3log2 2af f> −
3log2 2
0
a
a
< −
>
3
1
log 22 2
0
a
a
3
1log 2
0
a
a
( )0, 3a∈ ( )0, 3
6
π ( ) ( )3,0 0,2−
2 3 3
cos cos
a b c
B C
− =
( ) ( )2 3 cos 3 cos cos cos 0a b C c B B C− = ⋅ ≠
( )2sin 3sin cos 3sin cosA B C C B− = ( )2sin cos 3sin 3sinA C C B A= + =
sin 0A > 3cos 2C =
6C
π= cos 0B ≠ 50, ,2 2 6B
π π π ∈
2 2 2
2cosa c b Bac
+ − = ( ) ( )2 2 2
3,0 0,2a c b
ac
+ − ∈ − 6
π
( ) ( )3,0 0,2−
6 4 2− , ,PA PB PC PC∴ ⊥ PAB
1 1 1 3 2 1 13 3 2P ABC C PAB PABV V S PC− − ∆∴ = = ⋅ = × × × × = 1 2 12 x y+ + = 4 2 1x y∴ + =
( )1 1 2 4 2 44 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2a a y ax y axx y a a a ax y x y x y x y
∴ + = + + = + + + ≥ + + ⋅ = + +
2 4y ax
x y
= 2y ax= 1 8a
x y
+ ≥ 4 2 4 2 8a a∴ + + ≥
6 4 2a ≥ − ∴ a 6 4 2−17．（1）见解析；（2）
【详解】（1）连结 AC，交 BD 于 O，连接 MO，由于底面 ABCD 为菱形， O 为 AC 中点又 M
为 的中点， ，又 面 ， 面 平面
（2） ， 到平面 的距离等于 到平面 的距离． 过 作
，垂足为 ，由于 为正三角形， 为 的中点．由于侧面 面
，由面面垂直的性质得 面 ，由 ，且
，得 ∴ ，
，连接 CE 和 BE，得 ，又因为 DE=1，CD=2， ，由余弦定理
得 ，所以 ，又因为 为等腰三角形，M 为重点，所以 ，
因为 ，所以 ，M 是中点，所以 ，所以
为直角三角形，面积为 ， 得， 到平面 的距离为
，故 到平面 的距离为 ．
18．① ;②见解析．
试题解析： ，两边取到数得 ，可知数列 为等差
数列，且首项为 2，公差为 2，故 ， ．
②依题可知 ＝ ，所以
，故
3 7
7
∴
PC ∴ MO PA∥ MO ⊂ MDB PA ⊄ MDB PA∴ MDB
M PC 是 的中点 ∴ P BDM A BDM P
PE AD⊥ E PAD∆ E AD PAD ⊥
ABCD PE ⊥ ABCD AD PE AD PB⊥ ⊥，
PE PB PEB PE PB P⊂ =， 平面 ， AD PEB⊥ 平面 60AD EB EAB °⊥ ∴∠ =
2BD∴ = 3BE = 0120CDE∠ =
7CE = 10PC = PCD
6
2DM =
6, 2, 10PB BC PC= = = 090PBC∠ = 10
2BM =
BDM
15
4 M ABD A BDMV V− −=由 A BDM
2 15
5
P BDM 2 15
5
1
2na n
=
1 2 1
n
n
n
aa a+ = +
1
2 11 1 2n
n n n
a
a a a+
+= = + 1
na
1 2
n
na
= 1
2na n
∴ =
2
2
2
1 1 1 1 1 1
2 4 4 1na n n n n
= = ⋅ < ⋅ ⋅ −
( )*1 1 1 2,4 1 n n Nn n
− ≥ ∈ −
2 2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 1 1 114 4 2 2 3 1na a a a n n
+ + + + < + − + − + + − −
2 2 2 2
1 2 3
1
2na a a a+ + + + > 1
2
ce a
= = 1a c− =
2, 1a c= = C
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 20, 0y y> < l
l 1x my= + 2 2
1
14 3
x my
x y
= + + =
( )2
23 4 6 9 0m y my+ + − =
1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
− −+ = =+ + ( )
1
2
1 2 1 2 2
1 12 1
2 3 4F AB
mS F F y y m∆
+= − = +
2 1m t+ = 1t ≥ 2 2 1m t= − 1 2
12 12
13 1 3
F AB
tS t t t
∆ = =+ + ( ) 13f t t t
= +
( ) 2
13 tf t = −＇ 1t ≥ ( )>0f t＇ ( )f t [ )1,+∞
( ) ( )1 4f t f≥ =
1
3F ABS∆ ≤ 1, 0t m= = 1F AB∆
1x =21．（1） ；（2） ．
解（1） ，所以切线的斜率为 ，切线方程为
．将 代入得 ，即
，显然 是方程的解，又 在 上是增函数， 方
程 只有唯一解，故 ；
（2） 设
， 在 上是减函数，
，
当 时，即 时， ， 在 是增函数，又 ， 在
恒成立，
即 在 恒成立，
在 上单调递减函数，所以 ，满足题意，
当 时，即 ， ，函数 有唯一的零点，设为 ，
则 在 上单调递增，在 单调递减，
又 ，又
在 内唯一零点 ，当 时， ，当 时，
，
从而 在 单调递减，在 单调递增，不合题意，所以 的取值范围是 ．
22．（1） （ 为参数）；（2） ．
0 1x = 2a ≤
1( ) 2f x x a x
′ = + − 0 0
0
1( ) 2f x x a x
′ = + −
0 0 0
0
1(2 )( )y y x a x xx
− = + − − (0,0)O 2 2
0 0 0 0 0ln 2 1x ax x x ax+ − = + −
2
0 0ln 1 0x x+ − = 0 1x = 2 ln 1y x x= + − (0, )+∞ ∴
2
0 0ln 1 0x x+ − = 0 1x =
2
2
1(2 ) lnln( ) , ( ) ,x x
x a x a xx ax x xF x F xe e
− + − + − ++ − ′= =
2 1( ) (2 ) lnh x x a x a xx
= − + − + − + 2
1 1( ) 2 2h x x ax x
′ = − + + + − (0,1]
( ) (1) 2h x h a′∴ ≥ = −
2 0a− ≥ 2a ≤ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x∴ (0,1) (1) 0h = ( ) 0≤h x
(0,1]
( ) 0F x′ ≤ (0,1]
( )F x∴ (0,1] 2a ≤
2 0a− < 2a > 0, ( )x h x′→ → +∞ ( )h x′
0x
( )h x 0(0, )x 0( ),1x
0(1) 0, ( ) 0h h x= ∴ > ( ) 0,ah e− <
( )h x∴ (0,1) m (0, )x m∈ ( ) 0, ( ) 0h x F x′< < ( ,1)x m∈
( ) 0, ( ) 0h x F x′> >
( )F x (0, )m ( ,1)m a 2a ≤试题解析：（1）由 得 ，所以
，即 ．故曲线 的参数方程 （
为参数）．
（2）由（1）可设点 的坐标为 ，则矩形 的面积为
令 ， ，
，故当 时， ．
23．（1） （2） 【详解】解：（1）当 时，
由 ，得 ．故不等式 的
解集为 ．
（2）因为“ ， ”为假命题，所以“ ， ”为真命题，
所以 ．因为 ，所以
，则 ，所以 ，即 ，解得
，即 的取值范围为 ．
1 ,2
− +∞
[ ]2,0− 1a = −
( )
2, 1,
1 1 2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x x x
x
− ≤ −
= + − − = − <
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