2019-2020 学年第二学期高三诊断考试
文科数学试题
（满分：150 分 时间 120 分钟）
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位， 表示复数 的共轭复数．若 ，则复数 在复平面内对应的
点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金
字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧
合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周率
较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完
成后，底座边长大约 230 米．因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）
A．128.5 米 B．132.5 米 C．136.5 米 D．110.5 米
5．下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的 5 组 100
次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相 等，
则 ， 的值为（ ）
A．8，2 B．3，6 C．5，5 D．3，5
6．设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是
A． B． C． D．
7．若 ，且 ，则 的值为
A． B． C． D．
8．设 、 、 是三个不同的平面， 、 、 是三条不同的直线，已知 ，
U = R { } { }2
2log 1 , 2 0A x x B x x x= ≤ = + − ≤ A B =
(0,1] ( 2,2]− (0,1) [ 2,2]−
i z z 2018
2 3iz i
−= z
( )sin , 2cosa θ θ= − ( )1, 1b = − a b⊥ ( )2a a b⋅ − =
8
5
2 10
5
1 5
x y
0.40.5a = 0.4log 0.3b = 8log 0.4c = ( )
a b c< < c b a< < c a b< < b c a< <
( ) 1sin 3
π α− =
2
π α π≤ ≤ sin 2α
2 2
9
− 4 2
9
− 2 2
9
4 2
9
α β γ a b c aα β∩ =， .给出如下结论：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；
③若 ， ，则 ， ；④若 ， ，则 ， .
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ，则该抛物线的标准方程为( )
A． B．
C． D．
10．已知函数 的最小正周期为 4 ，其图象关于直线
对称，给出下面四个结论：
①函数 在区间 上先增后减；②将函数 的图象向右平移 个单位后得到的
图象关于原点对称；③点 是函数 图象的一个对称中心；④函数 在
上的最大值为 1．其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
11．已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ， 为其左右顶点,
以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 ,则双
曲线的离心率为( ）
A． B． C． D．
12．若函数 在区间 内有极大值，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
bβ γ = cα γ∩ =
/ /a b / /b c a b A= b c A=
ba ⊥ b c⊥ α β⊥ α γ⊥ α β⊥ α γ⊥ ba ⊥ b c⊥
( ) ( )2sin 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > > 1 2F F、 A B、
1 2F F、 M 30MAB∠ =
21
2
21
3
19
3
19
2
( ) ( ) ( )2
1 2 2ln 02
axf x a x x a= − + + > 1 ,12
a
1 ,e
+∞ ( )1,+¥ ( )1,2 ( )2,+¥二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．某公司有职工 2000 名，从中随机抽取 200 名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其
中不超过 1000 米的共有 10 人，不超过 2000 米的共有 30 人，由此估计该公司所有职工中居
住地到上班地距离在(1000，2000]米的有 人．
14． 中，角 的对边分别是 ，已知 .则
__________．
15．已知定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是减函数，则不等式
的解集是__________．
16．已知体积为 的正四棱锥 外接球的球心为 ，其中 在四棱锥
内部.设球 的半径为 ，球心 到底面 的距离为 。过 的中点 作球 的截面，
则所得截面圆面积的最小值是___________.
三、解答题（共 6 题，共 70 分）
17．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式
（2）若数列 是等差数列，且 ， ，求 数列
的前 项和 .
18．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底 面
为菱形， ， 为 的 中点
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
19．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 100 个芒果，其质量分别在
， ， ， ， ， （单位：克）
中，经统计得频率分布直方图如图所示.
（1）现按分层抽样从质量为 ，
的芒果中随机抽取 6 个，再从这
6 个中随机抽取 3 个，求这 3 个芒果中恰有 1
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos cos cosa A c B b C= + A =
R ( )f x ( ,0]−∞
( 1) (ln )f f x− <
64
3 P ABCD− O O P ABCD−
O R O ABCD 3
R AB E O
{ }na n nS 2 3 1n nS a= −
{ }na
{ }n nb a− 1 2b = 3 14b =
{ }nb n nT
P ABCD− PA ⊥ ABCD
ABCD 60ABC∠ = 1,PA AB E= = PC
/ /PA BDE
P BDE−
[ )100,150 [ )150,200 [ )200,250 [ )250,300 [ )300,350 [ )350,400
[ )250,300
[ )300,350个在 内的概率.
（2）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，
该种植园中还未摘下的芒果大约还有 10000 个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以 10 元/千克收购；
B：对质量低于 250 克的芒果以 2 元/个收购，高于或等于 250 克的以 3 元/个收购，通过计算
确定种植园选择哪种方案获利更多？
20．已知椭圆 的左焦点为 ， 是椭圆上关于原点 对称的两个动
点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆于 两点，且 ，求 面积的取值范
围．
21．已知函数 是奇函数， 的定义域为 ．当 时， ．(e
为自然对数的底数)．
(1)若函数 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围；
(2)如果当 x≥1 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点的
极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 （ 为参数）.
（1）写出点 的直角坐标及曲线 的直角坐标方程；
（2）若 为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 ： 的距离
的最小值.
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数
[ )300,350
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F ,A B O
A 141, 2
ABF∆ 7 2
F l ,C D CD ABλ= ( )Rλ ∈ ACD∆
( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ 0x < ( )f x ln( )ex
x
−=
( )f x 1( , )( 0)3a a a+ > a
( ) 1
kf x x
≥ + k
xOy O x P
3 4
，π
C 2cos 4
πρ θ = −
θ
P C
Q C PQ M l 2 cos 4 sin 2ρ θ ρ θ+ =
( ) 1.f x ax= −（1）若 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的
取值范围。
2019-2020 学年第二学期高三诊断考试
文科数学试题答案
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．A 10．C 11．B 12．C
二、填空题
13．200 14． 15． 16．
三、解答题
17．（1） ；（2）
（1）当 时， ，所以 ，
当 时，因为 ，所以 ，
两式作差得 ，即 ，因为 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，故 ；
（2）令 ，则 ， ，
所以数列 的公差 ，故 ，
( ) 2f x ≤ [ ]3,1− a
1a = x∈R ( ) ( )2 1 1 3 2f x f x m+ − − ≤ − m
3
π 1(0, ) ( , )ee
+∞ 4π
13 −= n
na 2 3 1
2
n
n
−+
1n = 1 1 12 2 3 1S a a= = − 1 1a =
2n ≥ 2 3 1n nS a= − 1 12 3 1n nS a− −= −
13n na a −=
1
3n
n
a
a −
=
1 1a =
{ }na 13n
na −=
n n nc b a= − 1 1 1 1c b a= − = 3 3 3 14 9 5c b a= − = − =
{ }nc 3 1 5 1 22 2
c cd
− −= = = 2 1nc n= −所以 ，
所以 .
18．(1)见解析；(2) ．
试题解析：（1）证：设 ，连接 ，则 ，
又 平面 ，且 平面 平面 .
（2） .
19．（1） （2）选 B 方案
（1）设质量在 内的 4 个芒果分别为 , , , ,质量在 内的 2 个芒
果分别为 , .从这 6 个芒果中选出 3 个的情况共有 , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
,共计 20 种,
其中恰有一个在 内的情况有 , , , , ,
, , , , , , ,共计 12 种,
因此概率 .
（2）方案 A：
元.
方案 B：由题意得低于 250 克： 元；
高于或等于 250 克 元.
故总计 元,由于 ,
12 1 3n
n n nb c a n −= + = − +
( ) 21 2 1 1 3 3 1
2 1 3 2
n n
n
n nT n
+ − − −= + = +−
3
24P BDEV − =
AC BD O∩ = OE / /PA OE
OE ⊆ BDE PA ⊄ , / /BDE PA∴ BDE
1 3
2 24P BDE A BDE E ABD P ABDV V V V− − − −= = = =
3
5P =
[ )250,300 A B C D [ )300,350
a b ( ), ,A B C ( ), ,A B D ( ), ,A B a
( ), ,A B b ( ), ,A C D ( ), ,A C a ( ), ,A C b ( ), ,A D a ( ), ,A D b ( ), ,A a b ( ), ,B C D
( ), ,B C a ( ), ,B C b ( ), ,B D a ( ), ,B D b ( ), ,B a b ( ), ,C D a ( ), ,C D b ( ), ,C a b
( ), ,D a b
[ )300,350 ( ), ,A B a ( ), ,A B b ( ), ,A C a ( ), ,A C b ( ), ,A D a
( ), ,A D b ( ), ,B C a ( ), ,B C b ( ), ,B D a ( ), ,B D b ( ), ,C D a ( ), ,C D b
12 3
20 5P = =
( )125 0.002 175 0.002 225 0.003 275 0.008 325 0.004 375 0.001× + × + × + × + × + ×
50 10000 10 0.001 25750× × × × =
( )0.002 0.002 0.003 50 10000 2 7000+ + × × × =
( )0.008 0.004 0.001 50 10000 3 19500+ + × × × =
7000 19500 26500+ = 25750 26500 0
( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y
2
1 2 2
2
1 2 2
8 ,1 2
8 8 ,1 2
kx x k
kx x k
+ = − + − ⋅ = +
2
1 21CD k x x= + ⋅ −
22 2
2
2 2
8 8 81 41 2 1 2
k kk k k
−= + ⋅ − × + + ( )
2
2
22
32 +321
1 2
kk
k
= + ⋅
+
( )2
2
4 2 1
1 2
k
k
+
= +
CD ABλ= ( )Rλ ∈ / /CD AB
A CD O CD 2
2
1
kd
k
=
+
1
2ACDS CD d∆ = × × ( )2
2 2
2 2 1 2
1 2 1
k k
k k
+
= ×+ +
2
2
4 2 1
1 2
k k
k
⋅ += +
( )
( )
2 2
22
1
4 2
1 2
k k
k
+
=
+
4 2
4 2
4 42 2 4 4 1
k k
k k
+= + + ( )22
12 2 1
1 2k
= −
+因为 ，所以 ，所以 ．综上， ．
21．（1） ；（2） .
设 x>0 时，结合函数的奇偶性得到：
（1）当 x>0 时，有 ，
；
所以 在（0，1）上单调递增，在 上单调递减，函数 在 处取得唯一的极
值．由题意 ，且 ，解得所求实数 的取值范围为
（2）当 时，
令 ，由题意， 在 上恒成立
令 ，则 ，当且仅当 时取等号．
所以 在 上单调递增，
因此， 在 上单调递增， ．
所以 ．所求实数 的取值范围为
22．（1）点 ； （2）
试题解析:（1）点 的直角坐标为 ；
由 得 ①
将 ， ， 代入①，
可得曲线 的直角坐标方程为 ．
21 2 1k+ > ( )22
10 1
1 2k
< <
+ 0 2 2ACDS∆< < (0,2 2]ACDS∆ ∈
2 13 a< < ( ],2−∞
( ) ( ) ( )ln 1 lnex xf x f x x x
+= − − = =
( )
( )
2 2
1 1 ln 1 lnx x xxf x x x
′
⋅ − + ⋅
= = −
( ) 0 ln 0 0 1f x x x ⇔ ⇔ < < ( ) 0 ln 0 1f x x x⇔ ⇔ >′
( )f x ( )1,∞ ( )f x 1x =
0a > 11 3a a< < + a 2 13 a< <
1x ≥ ( ) ( )( )1 1 ln1 ln
1 1
x xk x kf x kx x x x
+ ++≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤+ +
( ) ( )( ) ( )1 1 ln 1x xg x xx
+ += ≥ ( )k g x≤ [ )1,+∞
( ) ( )( ) ( )( )'
2 2
1 1 ln 1 1 ln lnx x x x x x x xg x x x
′ + + ⋅ − + + ⋅ − = =′
( ) ( )ln 1h x x x x= − ≥ ( ) 11 0h x x
= − ≥′ 1x =
( ) lnh x x x= − [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 0h x h≥ = >
( ) ( )
2 0h xg x x
=′ > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )min 1 2g x g= =
2k ≤ k ( ],2−∞
P 3 2 3 2
2 2
，
2 2
2 2 12 2x y
− + − =
10 1
2
−
P 3 2 3 2,2 2
2cos 4
πρ θ = −
2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= +
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ =
C
2 2
2 2 12 2x y
− + − = （2）直线 的直角坐标方程为 ，
设点 的直角坐标为 ，则 ，
那么 到直线 的距离：
，
（当且仅当 时取等号），
所以 到直线 的距离的最小值为 ．
23．(1) .(2) .
详解：（1）显然 ，当 时，解集为 ， ，无解；
当 时，解集为 ， ， ，
综上所述 .
(2)当 时，令
由此可知 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取到最小
值-2，由题意知， ， .
:l 2 cos 4 sin 2ρ θ ρ θ+ = 2 4 2 0x y+ − =
Q 2 2cos , sin2 2
θ θ + +
cos sin2 , 22 2M
θ θ + +
M l
2 2
cos sin2 2 4 2 22 2
2 4
d
θ θ + + + − =
+
5 2 cos 2sin
2 5
θ θ+ +
=
( )5 2 5sin
2 5
θ ϕ+ +
=
5 2 5 10 1
22 5
d
− −∴ ≥ = ( )sin 1θ ϕ+ = −
M : 2 cos 4 sin 2l ρ θ ρ θ+ = 10 1
2
−
1a = − 5
2m ≤
0a ≠ 0a > 1 3,a a
−
1 33, 1a a
− = − =
0a < 3 1,a a
−
1 31, 3a a
− = = − 1a = −
1a = −
1a = ( ) ( ) ( )
2, 0,
2 1 1 2 2 3 2,0 2,
2, 2
x x
h x f x f x x x x x
x x
− − ≤
= + − − = − − = − < ≤
+ >
( )h x ( ],0−∞ [ )0,+∞ 0x = ( )h x
3 2 2m− ≥ − 5
2m∴ ≤
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