2019-2020 学年第二学期高三诊断考试
理科数学试题
（满分：150 分 时间 120 分钟）
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位， 表示复数 的共轭复数．若 ，则复数 在复平面内对应的
点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金
字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧
合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为 3.14159，这就是圆周率
较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完
成后，底座边长大约 230 米．因年久风化，顶端剥落 10 米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）
A．128.5 米 B．132.5 米 C．136.5 米 D．110.5 米
5．下图记录了甲乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的 5 组 100
次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相 等，
则 ， 的值为（ ）
A．8，2 B．3，6 C．5，5 D．3，5
6．设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系是
A． B． C． D．
7．设 、 、 是三个不同的平面， 、 、 是三条不同的直线，已知 ，
， .给出如下结论：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；
③若 ， ，则 ， ；④若 ， ，则 ， .
U = R { } { }2
2log 1 , 2 0A x x B x x x= ≤ = + − ≤ A B =
(0,1] ( 2,2]− (0,1) [ 2,2]−
i z z 2018
2 3iz i
−= z
( )sin , 2cosa θ θ= − ( )1, 1b = − a b⊥ ( )2a a b⋅ − =
8
5
2 10
5
1 5
x y
0.40.5a = 0.4log 0.3b = 8log 0.4c = ( )
a b c< < c b a< < c a b< < b c a< <
α β γ a b c aα β∩ =
bβ γ = cα γ∩ =
/ /a b / /b c a b A= b c A=
ba ⊥ b c⊥ α β⊥ α γ⊥ α β⊥ α γ⊥ ba ⊥ b c⊥其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．过点 的直线与抛物线 相交于 两点，且 ，则点 到
原点的距离为 （ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 的最小正周期为 4 ，其图象关于直线
对称，给出下面四个结论：
①函数 在区间 上先增后减；②将函数 的图象向右平移 个单位后得到的
图象关于原点对称；③点 是函数 图象的一个对称中心；④函数 在
上的最大值为 1．其中正确的是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
10．函数 的部分图象如右图所示,设
是图象的最高点, 是图象与 轴的交点,记 ,则
的值是( )
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右两个焦点分别为 ， 为其左右顶点,
以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 ,则双
曲线的离心率为( ）
A． B． C． D．
12．若函数 在区间 内有极大值，则 的取值范
围是（ ）
( 2,0)P − 2: 4C y x= ,A B 1
2PA AB= A
5
3 2 2 6
3
2 7
3
( ) ( )2sin 0, 2f x x
πω ϕ ω ϕ = + > P
,A B x APB θ∠ =
sin 2θ
65
16
65
16−
63
16
63
16−
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2F F、 A B、
1 2F F、 M 30MAB∠ =
21
2
21
3
19
3
19
2
( ) ( ) ( )2
1 2 2ln 02
axf x a x x a= − + + > 1 ,12
aA． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．某公司有职工 2000 名，从中随机抽取 200 名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其
中不超过 1000 米的共有 10 人，不超过 2000 米的共有 30 人，由此估计该公司所有职工中居
住地到上班地距离在(1000，2000]米的有 人．
14．已知函数 是定义在[-5,5]上的偶函数，且在区间 是减函数，若 ，
则实数 a 的取值范围是_______.．
15．在 中，角 所对的边分别为 ，若
， ，则 的面积的最大值为________
16．已知体积为 的正四棱锥 外接球的球心为 ，其中 在四棱锥
内部.设球 的半径为 ，球心 到底面 的距离为 。过 的中点 作球 的截面，
则所得截面圆面积的最小值是___________.
三、解答题（共 6 题，共 70 分）
17．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式
（2）若数列 是等差数列，且 ， ，求数列 的前 项和 .
18．如图所示的几何体中， 是菱形， ，
平面 ， ，
.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 构成的二面角的正弦值.
19．某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 种服装商品, 种家
电商品, 种日用商品中,选出 种商品进行促销活动.
（Ⅰ）试求选出的 种商品中至多有一种是家电商品的概率;
（Ⅱ）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高
元，同时,若顾客购买该商品,则允许有 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为
1 ,e
+∞ ( )1,+¥ ( )1,2 ( )2,+¥
( )f x [0,5] (2 3) ( )f a f a+ <
ABC∆ A B C， ， a b c， ，
( ) ( )3 1cosA sinB sin A cosB− = + 6a c+ = ABC∆
64
3 P ABCD− O O P ABCD−
O R O ABCD 3
R AB E O
{ }na n nS 2 3 1n nS a= −
{ }na
{ }n nb a− 1 2b = 3 14b = { }nb n nT
ABCD 60ABC∠ = °
PA ⊥ ABCD // //AP BF DE
2 2 2AP AB BF DE= = = =
PAC ⊥ PCE
PBC PCE元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 ,若使促销方案对商场有利，则 最少为多少
元？
20．已知椭圆 的左焦点为 ， 是椭圆上关于原点 对称的两个动
点，当点 的坐标为 时， 的周长恰为 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点 作直线 交椭圆于 两点，且 ，求 面积的取值范
围．
21．已知函数 是奇函数， 的定义域为 ．当 时， ．(e
为自然对数的底数)．
(1)若函数 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围；
(2)如果当 x≥1 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 点的
极坐标为 ，曲线 的极坐标方程为 （ 为参数）.
（1）写出点 的直角坐标及曲线 的直角坐标方程；
（2）若 为曲线 上的动点，求 的中点 到直线 ： 的距离
的最小值.
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的
取值范围。
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F ,A B O
A 141, 2
ABF∆ 7 2
F l ,C D CD ABλ= ( )Rλ ∈ ACD∆
( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ 0x < ( )f x ln( )ex
x
−=
( )f x 1( , )( 0)3a a a+ > a
( ) 1
kf x x
≥ + k
xOy O x P
3 4
，π
C 2cos 4
πρ θ = −
θ
P C
Q C PQ M l 2 cos 4 sin 2ρ θ ρ θ+ =
( ) 1.f x ax= −
( ) 2f x ≤ [ ]3,1− a
1a = x∈R ( ) ( )2 1 1 3 2f x f x m+ − − ≤ − m 2019-2020 学年第二学期高三诊断考试
理科数学试题答案
一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）
1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 11．B 12．C
二、填空题
13．200 14． 15． 16．
三、解答题
17．（1） ；（2）
（1）当 时， ，所以 ，
当 时，因为 ，所以 ，
两式作差得 ，即 ，因为 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，故 ；
（2）令 ，则 ， ，
所以数列 的公差 ，故 ，
所以 ，
所以 .
18．（1）证明见解析；（2） .
（1）证明：取 中点 ，连结 ，设 交 于
，连结 ， ，
在菱形 中， ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， ， 平面 ，∴ 平面
，
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴ ， ，
[ 4, 3) ( 1,1]− − ∪ − 2 2 4π
13 −= n
na 2 3 1
2
n
n
−+
1n = 1 1 12 2 3 1S a a= = − 1 1a =
2n ≥ 2 3 1n nS a= − 1 12 3 1n nS a− −= −
13n na a −=
1
3n
n
a
a −
=
1 1a =
{ }na 13n
na −=
n n nc b a= − 1 1 1 1c b a= − = 3 3 3 14 9 5c b a= − = − =
{ }nc 3 1 5 1 22 2
c cd
− −= = = 2 1nc n= −
12 1 3n
n n nb c a n −= + = − +
( ) 21 2 1 1 3 3 1
2 1 3 2
n n
n
n nT n
+ − − −= + = +−
7
7
PC M BD BD AC
O OM EM
ABCD OD AC⊥
PA ⊥ ABCD OD ⊂ ABCD OD PA⊥
PA AC A= PA AC ⊂ PAC OD ⊥
PAC
O M AC PC //OM PA 1
2OM PA=又 ， ，∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，则 ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 .
（2）由（1）中证明知， 平面 ，则 ， ， 两两垂直，以 ，
， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由 及 是菱形，
得， ， ，则 ，
， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，求得 ，所以 ，
同理，可求得平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 构成的二面角的平面角为 ，则
，又 ， ，
∴ ，
∴平面 与平面 构成的二面角的正弦值为 .
19．（Ⅰ） （Ⅱ） 最少为 元
（Ⅰ）选出 种商品一共有 种选法,
选出的 种商品中至多有一种是家电商品有 种
所以至多有一种是家电商品的概率为
（Ⅱ）奖券总额是一随机变量,设为 ,可能值为 , , ,
//DE PA 1
2DE PA= //OM DE OM DE=
OMED //OD EM EM ⊥ PAC
EM ⊂ PCE PAC ⊥ PCE
OM ⊥ ABCD OB OC OM OB
OC OM x y z
2 2 2PA AB BF DE= = = = ABCD
60ABC∠ = ° 2AC = 2 3BD = ( )3,0,0B
(0,1,0)C (0, 1,2)P − ( )3,0,1E −
(0,2, 2)PC = − ( )3,1, 2PB = − ( )3,1, 1PE = − −
PBC ( , , )m a b c=
0
0
m PB
m PC
⋅ =
⋅ =
3 2 0
2 2 0
a b c
b c
+ − = − =
1a = 3b c= = ( )1 3 3m = , ,
PCE (0,1,1)n =
PBC PCE θ
| | 2 3 42| cos | | cos , | | | | | 77 2
m nm n m n
θ ⋅= < 〉 = = =⋅ ⋅
[ ]0,θ π∈ sin 0θ ≥
2 7sin 1 cos 7
θ θ= − =
PBC PCE 7
7
0
所以
所以 ,因此要使促销方案对商场有利，则 最少为 元
20．（1） （2）
（1）当点 的坐标为 时， ，所以 ．
由对称性， ，
所以 ，得
将点 代入椭圆方程 中，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时， ，
此时 ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
由 消去 整理得： ． 显然 ，
设 ，则
8
1
8
1
2 2
18 4
x y+ = (0,2 2]
A 141, 2
7 3 21 2 2OA = + = 3 2AB =
2AF BF a+ =
2 7 2 3 2 4 2a = − = 2 2a =
141, 2
2 4b =
2 2
18 4
x y+ =
AB 2 2CD =
1 2 2 2 2 22ACDS∆ = × × =
AB CD ( 2)( 0)y k x k= + ≠
2 2
( 2),
2 8,
y k x
x y
= +
+ =
y 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 8 0k x k x k+ + + − = ∆ > 0
( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y
2
1 2 2
2
1 2 2
8 ,1 2
8 8 ,1 2
kx x k
kx x k
+ = − + − ⋅ = +故
．
因为 ，所以 ，
所以点 到直线 的距离即为点 到直线 的距离 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ．综上， ．
21．（1） ；（2） .
设 x>0 时，结合函数的奇偶性得到：
（1）当 x>0 时，有 ，
；
所以 在（0，1）上单调递增，在 上单调递减，函数 在 处取得唯一的极
值．由题意 ，且 ，解得所求实数 的取值范围为
（2）当 时，
令 ，由题意， 在 上恒成立
令 ，则 ，当且仅当 时取等号．
2
1 21CD k x x= + ⋅ −
22 2
2
2 2
8 8 81 41 2 1 2
k kk k k
−= + ⋅ − × + + ( )
2
2
22
32 +321
1 2
kk
k
= + ⋅
+
( )2
2
4 2 1
1 2
k
k
+
= +
CD ABλ= ( )Rλ ∈ / /CD AB
A CD O CD 2
2
1
kd
k
=
+
1
2ACDS CD d∆ = × × ( )2
2 2
2 2 1 2
1 2 1
k k
k k
+
= ×+ +
2
2
4 2 1
1 2
k k
k
⋅ += +
( )
( )
2 2
22
1
4 2
1 2
k k
k
+
=
+
4 2
4 2
4 42 2 4 4 1
k k
k k
+= + + ( )22
12 2 1
1 2k
= −
+
21 2 1k+ > ( )22
10 1
1 2k
< <
+ 0 2 2ACDS∆< < (0,2 2]ACDS∆ ∈
2 13 a< < ( ],2−∞
( ) ( ) ( )ln 1 lnex xf x f x x x
+= − − = =
( )
( )
2 2
1 1 ln 1 lnx x xxf x x x
′
⋅ − + ⋅
= = −
( ) 0 ln 0 0 1f x x x ⇔ ⇔ < < ( ) 0 ln 0 1f x x x⇔ ⇔ >′
( )f x ( )1,∞ ( )f x 1x =
0a > 11 3a a< < + a 2 13 a< <
1x ≥ ( ) ( )( )1 1 ln1 ln
1 1
x xk x kf x kx x x x
+ ++≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤+ +
( ) ( )( ) ( )1 1 ln 1x xg x xx
+ += ≥ ( )k g x≤ [ )1,+∞
( ) ( )( ) ( )( )'
2 2
1 1 ln 1 1 ln lnx x x x x x x xg x x x
′ + + ⋅ − + + ⋅ − = =′
( ) ( )ln 1h x x x x= − ≥ ( ) 11 0h x x
= − ≥′ 1x =所以 在 上单调递增，
因此， 在 上单调递增， ．
所以 ．所求实数 的取值范围为
22．（1）点 ； （2）
试题解析:（1）点 的直角坐标为 ；
由 得 ①
将 ， ， 代入①，
可得曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）直线 的直角坐标方程为 ，
设点 的直角坐标为 ，则 ，
那么 到直线 的距离：
，
（当且仅当 时取等号），
所以 到直线 的距离的最小值为 ．
23．(1) .
(2) .
详解：（1）显然 ，当 时，解集为 ， ，无解；
( ) lnh x x x= − [ )1,+∞ ( ) ( )1 1 0h x h≥ = >
( ) ( )
2 0h xg x x
=′ > ( )g x [ )1,+∞ ( ) ( )min 1 2g x g= =
2k ≤ k ( ],2−∞
P
3 2 3 2
2 2
，
2 2
2 2 12 2x y
− + − =
10 1
2
−
P
3 2 3 2,2 2
2cos 4
πρ θ = −
2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= +
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ =
C
2 2
2 2 12 2x y
− + − =
:l 2 cos 4 sin 2ρ θ ρ θ+ = 2 4 2 0x y+ − =
Q 2 2cos , sin2 2
θ θ + +
cos sin2 , 22 2M
θ θ + +
M l
2 2
cos sin2 2 4 2 22 2
2 4
d
θ θ + + + − =
+
5 2 cos 2sin
2 5
θ θ+ +
=
( )5 2 5sin
2 5
θ ϕ+ +
=
5 2 5 10 1
22 5
d
− −∴ ≥ = ( )sin 1θ ϕ+ = −
M : 2 cos 4 sin 2l ρ θ ρ θ+ = 10 1
2
−
1a = −
5
2m ≤
0a ≠ 0a > 1 3,a a
−
1 33, 1a a
− = − =当 时，解集为 ， ， ，
综上所述 .
(2)当 时，令
由此可知 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取到最小
值-2，由题意知， ， .
0a < 3 1,a a
−
1 31, 3a a
− = = − 1a = −
1a = −
1a = ( ) ( ) ( )
2, 0,
2 1 1 2 2 3 2,0 2,
2, 2
x x
h x f x f x x x x x
x x
− − ≤
= + − − = − − = − < ≤
+ >
( )h x ( ],0−∞ [ )0,+∞ 0x = ( )h x
3 2 2m− ≥ − 5
2m∴ ≤
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