陕西省大荔县2020届高三数学（文）4月模拟试题（Word版附答案）

____________________________________________________________________________________________ 大荔县 2020 届高三（四月）模拟考试 数学（文）试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ,则 =（ ） A. {0,l,-2} B. {0,1} C. (0,+∞] D. {l} 2.若复数 ，则 的共轭复数 =（ ） A. B. C. D. 3.若向量 ， ，且 =3，则实数 的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 4.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处 挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这 个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A. B. C. D. 5.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人， 现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参加； （3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以 判断参与此案的两名嫌疑人是（ ） A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 丙、丁 D. 甲、丁 6.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 = （ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 7.平面 ∥平面 β，点 ，则直线 ∥直线 的充要条件是 （ ） { } { }0|,1,0,2 >=−= xxBA BA )3(2 iiz += z z i26 − i62 −− i62 +− i26 +− ( )3,2=a ( )3,xb = )2( baa −⋅ x 2 1− 2 1 3 1 3 2 4 1 4 3 )(xf R 0>x xxxf 4log)( 2 += )2 1(−f α ∈CA, βα ∈DB,, AC BD____________________________________________________________________________________________ 数学（文） 共 6 页 第 2 页 A. ∥ B. ∥ C. 与 相交 D. 四点 共面 8.函数 的部分图象如图所示， 则（ ） A. B. C. D. 9.抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，且它们的交点 到 的距离为 ，则 的值为（ ) A. 4 B. 2 C. D. 10.曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 11.已知 ，则 =（ ） A. B. C. D. 12.已知以双曲线 的右焦点 为圆心，以 为半径的圆与 直线 交于 两点，若 ，求双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 AB CD AD CB AB CD DCBA ,,, )2,0,0)(sin( πϕωϕω >+= AxAy 6,1 πϕω == 6,1 πϕω −== 6,2 πϕω == 6,2 πϕω −== 2 4y x= F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > M F 5 3 a 3 1 9 1 xxy cossin2 += )1,( −π 01=−−− πyx 0122 =−−− πyx 01=+−+ πyx 0122 =+−+ πyx 5 42cos),4,0( =∈ απα )4(sin 2 πα + 5 1 5 2 5 3 5 4 )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC F a xa by = BA, aAB 2= C 3 2 2 6 数学（文） 共 6 页 第 1 页____________________________________________________________________________________________ 13.若 满足约束条件 ，则 的最大值为 。 14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验， 根据收集到的数据（如表）， 零件数 个 10 20 30 40 50 加工时间 62 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程 .由于后期没有保存好，导致表中有一个 数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 15.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ，则 的面积为 ． 16.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表 达式 中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 = . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）已知正项数列 满足 ,且 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ,求数列 的前 4 项和 。 yx,    ≤ ≥+− ≤−− 0 01 022 y yx yx yxz 34 += x (min)y 546.0ˆ += xy ABC∆ CBA ,, cba ,, 7,5,3 === cba ABC∆ ++ + 1 11 11  )0(11 >=+ xxx 2 51+=x 2323 ++ { }na 2 2 1 ++ = nnn aaa 9,1 31 == aa { }na nab nn 2+= { }nb 4S____________________________________________________________________________________________ 数学（文） 共 6 页 第 4 页 数学（文） 共 6 页 第 3 页 18.（12 分）如图，四棱锥 中， ∥ , ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 19.为推进“千村百镇计划”,2018 年 4 月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活 动，首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期 后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性 能综合评分表（满分为 100 分）．最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随机抽取 40 份 （其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数 ； （2）已知 40 个样本数据的平均数 ，记 与 的最大值为 ．该公司规定样本 中试用者的“认定类型”：评分不小于 的为“满意型”，评分小于 的为“需改进 型”． ①请根据 40 个样本数据，完成下面 列联表： ABCDP − AB CD 2,,2 =⊥=∠ ABBDPABCD π 1==== BCCDPDPA ⊥PAD ABCD C PBD m 80=a m a M M M 22×____________________________________________________________________________________________ 根据 列联表判断能否有 的把握认为“认定类型”与性别有关？ ②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 4 人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 4 人中随机抽取 2 人进行二次试 用，求抽到的 2 人恰好都是男性的概率. 附公式: 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 20.（12 分）已知椭圆 过点 ． （1）求椭圆 的方程，并求其离心率； （2）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线 上），点 关于 的对称点为 ，直线 与 交于另一点 ．设 为原点，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由． 21.（12 分）已知函数 （1）若 时，求函数 的最小值； （2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围. 22× %99 ))()()(( )( 2 2 dcbadbca bcadnK ++++ − 2 0( )P K K≥ 0K 12: 2 2 2 =+ y a xC )1,2(P C P x l A C A l A l A′ PA′ C B O AB OP xxaxxf ln)( 2 −−= 1=a )(xf )(xf a____________________________________________________________________________________________ （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所 做的第一题计分。 22.（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为: ( 为参 数)，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 相交于 两点，求 . 23.（10 分）已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）设 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围. 高三数学（文科）试卷 答案解析部分 xoy 1C    = += α α sin5 cos51 y x α o x 2C )(4 R∈= ρπθ 1C 2C 1C NM , MN 21)( −−++−= xaxxxf 1=a 0)( >xf 1−>a [ )1,0 ax −∈ 0)( 0 ≤xf a____________________________________________________________________________________________ 一、单选题 1.【答案】 D 2.【答案】 B 3.【答案】 C 4.【答案】 B 5.【答案】 C 6.【答案】 B 7.【答案】D 8.【答案】D 9.【答案】 B 10.【答案】 D 11.【答案】 D 12.【答案】D 二、填空题 13.【答案】 8 14.【答案】 53 15.【答案】 16.【答案】3 三、解答题 17.【答案】 解：（1）正项数列{ }满足 , ∴数列{ }为等比数列且公比 ， ………………3 分 ∵ =1, =9 ， ， ∴ ， ∴ ∴数列{ }的通项公式 ……………………6 分 （2）∵ ∴ ∴ ∴数列 的前 4 项和为 ……………………12 分 18.【答案】 （1）解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ，…………………… ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， 1 2 1 n n n n a a a a + + + ∴ =____________________________________________________________________________________________ ∴ ，………………………………3 分 ∵ ， ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 .………………………………6 分 （2）解：取 中点 ，连接 ， 则 ，且 ， 由平面 平面 知 平面 ， 由 平面 得 ， 又 , ,∴ 的面积为 ，……………………9 分 又 的面积为 ， ，设点 到平面 的距离为 ，则 ，∴ ，即点 到平面 的距离为 .…………………… 12 分 19.【答案】 （1）解：由茎叶图可知： ……………………3 分 （2）解：因为 ， ，所以 …………………………5 分 ①由茎叶图值，女性试用者评分不小于 的有 个，男性试用者评分不小于 的有 个，根据题意得 列联表： 满意型 需改进型 合计 女性 男性 合计 由于 查表得： 所以有 的把握认为“认定类型”与性别有关…………………………8 分 ②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性 1 名，记为 a, 男性 3 名，分别记为 b,c,d，则随机选取两人的所有结果为：ab,ac,ad,bc,bd,cd，设选到 2 人 ( ) 635.61020202020 55-151540 2 2 ＞=××× ×××=K____________________________________________________________________________________________ 恰好均为男性为事件 A，则 …………………………12 分 20.【答案】 （1）解：由椭圆方程椭圆 过点 ，可得 ． ∴ ， ∴椭圆 的方程为 ，离心率 ……………………4 分 （2）解：直线 与直线 平行．证明如下： 设直线 ， ， 设点 的坐标为 ， ， 由 得 ， ∴ ，∴ ，同理 ， ∴ ，…………………………8 分 由 ， ，有 ， ∵ 在第四象限，∴ ，且 不在直线 上．∴ ， 又 ，故 ，∴直线 与直线 平行．………………………………12 分 21. 【答案】 （1）解： , ,则 ，当 时， ，函数单调递减，当 时， 为增， 在 处取最小值 0.……………………5 分 （2）解：由 ，得 ， ∴当 时， 函数 在 上单调递减， ∴当 时， 在 上最多有一个零点. ∵ 有两个零点，∴ .…………………………7 分 3 1( ) 6 2P A = =____________________________________________________________________________________________ 令 ， ，显然 有一正根和一负根， ∴ 在 上只有一个零点， 设这个零点为 ，当 时， ； 当 时， ； ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 要使函数 在 上有两个零点，只需要函数 的极小值 ， 即 , ，…………………………10 分 可得 在 上是增函数，且 ， ∴ ， 得 ∴ ,即 .……………………………………12 分 22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， 转换为普通方程为: ， 转换为极坐标方程为: .………………………………5 分 （2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为: (为参 数). 把直线的参数方程代入 ， 得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)， 故: ， ，____________________________________________________________________________________________ 所以 .……………………………………10 分 23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 或 或 解得 或 或 即不等式 的解集为 .……………………………………5 分 （2）当 时， ，不等式 可化为 ， 若存在 ，使得 ，则 ， 所以 的取值范围为 …………………………………………………………10 分