陕西省大荔县2020届高三数学（理）4月模拟试题（Word版附答案）

____________________________________________________________________________________________ 大荔县 2020 届高三（四月）模拟考试 数学（理）试题 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ，则 （ ） A. [1，3） B. [1，3] C. {1，2} D. {1，2，3} 2.若复数 ，则 的共轭复数 =（ ） A. B. C. D. 3.若向量 ， ，且 =3，则实数 的值为（ ） A. B. C. -2 D. 2 4.某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数， 为常数），若该食品在 0℃的保鲜时间 是 192 小时，在 22℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是（ ）小时. A. 22 B. 23 C. 33 D. 24 5.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数 为（ ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 6.设 ，若 ，则 A. B. C. D. 7.平面 ∥平面 β，点 ，则直线 ∥直线 的充要条件是 （ ） { } { }31,062 ≤≤=≤−−∈= xxNxxZxM =∩ NM )3(2 iiz += z z i26 − i62 −− i62 +− i26 +− ( )3,2=a ( )3,xb = )2( baa −⋅ x 2 1− 2 1 y x bkxey += 2.718e =  bk, Rba ∈, ba > ba > ba 11 < 22 ba > ba 33 > α ∈CA, βα ∈DB,, AC BD____________________________________________________________________________________________ 数学（理） 共 6 页 第 2 页 A. ∥ B. ∥ C. 与 相交 D. 四点共面 8.抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，且它们的交点 到 的距离为 ，则 的值为（ ) A. 4 B. 2 C. D. 9.设函数 ，则下列结论错误的是（ ） A. 为 的一个周期 B. 的图像关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为 2 10.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 11.已知以双曲线 的右焦点 为圆心，以 为半径的圆与 直线 交于 两点，若 ，求双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 12.定义域为 的函数 满足 ，且当 时， ， 则当 时， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验， 根据收集到的数据（如表）， 零件数 个 10 20 30 40 50 加工时间 62 75 81 89 由最小二乘法求得回归直线方程 .由于后期没有保存好，导致表中有一个 数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 . AB CD AD CB AB CD DCBA ,,, xy 42 = F )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x M F 3 5 a 3 1 9 1 )22sin(32cos)( xxxf ++= π π2− )(xf )(xfy = 2 π=x )(xf 4 π=x )(xf 5 42cos),4,0( =∈ aa π )4(sin 2 π+a 5 1 5 2 5 3 5 4 )0,0(1: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC F a xa by = BA, aAB 2= C 3 2 2 6 R )(xf )(2)1( xfxf =+ ( ]1,0∈x xxxf −= 2)( [ ]1,2 −−∈x )(xf 16 1− 8 1− 4 1 x (min)y 546.0ˆ += xy 数学（理） 共 6 页 第 1 页____________________________________________________________________________________________ 14.已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 的解析 式是 . 15.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ，则 的面积为 ． 16.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又 割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表 达式 中“ ”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 求得 ，类似上述过程，则 = . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）已知正项数列 满足 ,且 。 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ,求数列 的前 4 项和 。 18.（12 分）如图，四棱锥 中， ∥ , ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. )(xf R 0=+ xxx 2 51+=x 2323 ++ { }na 2 2 1 ++ = nnn aaa 9,1 31 == aa { }na nab nn 2+= { }nb 4S ABCDP− AB CD 2,,2 =⊥=∠ ABBDPABCD π 1==== BCCDPDPA ⊥PAD ABCD PA PBC 数学（理） 共 6 页 第 3 页 数学（理） 共 6 页 第 4 页____________________________________________________________________________________________ 19.（12 分）为推进“千村百镇计划”,2018 年 4 月某新能源公司开展“电动莆田 绿色 出行”活动，首批投放 200 台 P 型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个 月．试用到期后，为了解男女试用者对 P 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用 者填写一份性能综合评分表（满分为 100 分）．最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随 机抽取 40 份（其中男、女的评分表各 20 份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数 ； （2）已知 40 个样本数据的平均数 ，记 与 的最大值为 ．该公司规定样本 中试用者的“认定类型”：评分不小于 的为“满意型”，评分小于 的为“需改进 型”． ①请根据 40 个样本数据，完成下面 列联表： 根据 列联表判断能否有 的把握认为“认定类型”与性别有关？ ②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 8 人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 3 人进行二次试 用，记这 3 人中男性人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附公式: 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 m 80=a m a M M M 22× 22× %99 X X ))()()(( )( 2 2 dcbadbca bcadnK ++++ − 2 0( )P K K≥ 0K____________________________________________________________________________________________ 20.（12 分）已知椭圆 过点 ． （1）求椭圆 的方程，并求其离心率； （2）过点 作 轴的垂线 ，设点 为第四象限内一点且在椭圆 上（点 不在直线 上），点 关于 的对称点为 ，直线 与 交于另一点 ．设 为原点，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由． 21.（12 分）已知函数 ， . （1）证明：函数 的极小值点为 1； （2）若函数 在 有两个零点，证明: . 12: 2 2 2 =+ y a xC )1,2(P C P x l A C A l A l A′ PA′ C B O AB OP nxxxf 1)1()( −= x x kxxg −=)( )(xf )()( xgxfy −= [ )+∞,1 8 171 xf 1−>a [ )1,0 ax −∈ 0)( 0 ≤xf a____________________________________________________________________________________________ 6.【答案】 D 7.【答案】D 8.【答案】 B 9.【答案】 D 10.【答案】 D 11.【答案】D 12.【答案】 A 二、填空题 13.【答案】 53 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】3 三、解答题 17.【解析】解：（1）正项数列{ }满足 , ∴数列{ }为等比数列且公比 ， ……………………3 分 ∵ =1, =9 ， ， ∴ ， ∴ ∴数列{ }的通项公式 ………………………………6 分 （2）∵ ∴ ∴ ∴数列 的前 4 项和为 .……………………12 分 18.【答案】 （1）证明：∵AB∥CD ， ∠BCD ，PA＝PD＝CD＝BC＝1， ∴BD ，∠ABC ， ，∴ ， ∵AB＝2，∴AD ，∴AB2＝AD2+BD2 ， ∴AD⊥BD ， ……………………3 分 ∵PA⊥BD ， PA∩AD＝A ， ∴BD⊥平面 PAD ， ∵BD⊂平面 ABCD ， ∴平面 PAD⊥平面 ABCD ． ……………………6 分 1 2 1 n n n n a a a a + + + ∴ =____________________________________________________________________________________________ （2）解：取 AD 中点 O ， 连结 PO ， 则 PO⊥AD ， 且 PO ， 由平面 PAD⊥平面 ABCD ， 知 PO⊥平面 ABCD ， 以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 BC 的直线为 x 轴，过点 O 且平行于 AB 的直线为 y 轴， 直线 PO 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（ ，0），B（ ，0），C（ ，0），P（0，0， ）， （﹣1，0，0）， （ ， ），………………8 分 设平面 PBC 的法向量 （x ， y ， z）， 则 ，取 z ，得 （0， ， ）， ∵ （ ， ），………………10 分 ∴cos ， ∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ．……………………12 分 19.【答案】 （1）解：由茎叶图可知： ……………………3 分 （2）解：因为 ， ，所以 ……………………5 分 ①由茎叶图值，女性试用者评分不小于 的有 个，男性试用者评分不小于 的有 个，根据题意得 列联表： 满意型 需改进型 合计 女性 男性 合计____________________________________________________________________________________________ 由于 查表得： 所以有 的把握认为“认定类型”与性别有关…………………………8 分 ②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性 名，男性 名 的所有可能取值为 ， ， 则 ， ， 所以 的分布列如下： 所以 的数学期望为： …………………………12 分 20.【答案】 （1）解：由椭圆方程椭圆 过点 ，可得 ． ∴ ， ∴椭圆 的方程为 ，离心率 ……………………4 分 （2）解：直线 与直线 平行．证明如下： 设直线 ， ， 设点 的坐标为 ， ， 由 得 ， ∴ ，∴ ，同理 ， ∴ ，……………………8 分 由 ， ，有 ， ( )2 2 40 15 15-5 5 10 6.63520 20 20 20K × × ×= =× × × ＞____________________________________________________________________________________________ ∵ 在第四象限，∴ ，且 不在直线 上．∴ ， 又 ，故 ，∴直线 与直线 平行．…………………………12 分 21.【答案】 （1）证明：因为 ， 当 时，， ， ， 所以 在区间 递减；…………………………3 分 当 时， ， 所以 ，所以 在区间 递增； 且 ，所以函数 的极小值点为 1……………………………………5 分 （2）解：函数 在 有两个零点， 即方程 在区间 有两解， 令 ，则 令 ，则 ，…………………………7 分 所以 在 单调递增， 又 ， 故存在唯一的 ，使得 ， 即 ， 所以 在 单调递减，在区间 单调递增， 且 ， 又 因 为 ，所以 ， ………………………………10 分 方程关于 的方程 在 有两个零点， 由 的图象可知， ， 01-1,0ln 2 ＜＜ xx Commented [H1]: 这里小于号有问题____________________________________________________________________________________________ 即 .……………………………………………………12 分 22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， 转换为普通方程为: ， 转换为极坐标方程为: .……………………5 分 （2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为: (为参 数). 把直线的参数方程代入 ， 得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)， 故: ， ， 所以 .………………………………10 分 23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 或 或 解得 或 或 即不等式 的解集为 .…………………………5 分 （2）当 时， ，不等式 可化为 ， 若存在 ，使得 ，则 ， 所以 的取值范围为 ……………………………………10 分