遂宁市高 2020 届第二次模拟考试
数学(理工类)
一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合 , ，则(∁R A)∩B=
A． {-2,-1,0,1,2} B． {0,1,2,3} C． {1,2,3} D．{2,3}
2.若 i 为虚数单位,则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于
A． 第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
3.” ’”是“函数 的图象关于直线 对称”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.幻方最早起源于我国,由正整数 1,2,.....n2 这 n2.个数填人 nXn 方格中，使得每行、每列、每条
对角线上的数的和相等,这个正方形数阵就叫 n 阶幻方.定义 f(n)为 n 阶幻方对角线上所有数的
和,如
A． 55 B． 500 C． 505 D．5050
5.已知 m,n 是两条不重合的直线,α,β 是两个不重合的平面,则下列命题中错误的是
A.若
B.若
C.若
D.若
6. 的展开式中含 的项的系数为
A． -20 B． 60 C． 70 D．80
7.若不相等的非零实数 成等差数列,且 成等比数列,则 = .
A． B． -2 C． 2 D．
8《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.右图是一个八卦图,包含乾、坤、
1|
2-
A X y
x
= =
{ }2, 1,0,1,2,3B = − −
2 2
3 3z sin icos
π π= − + z
8
πϕ = − ( ) ( ) 3f x sin x ϕ= +
8x
π= −
( ) ( )3 15, 10f f= =则
/ / , / / , / /m a a m mβ β β⊂则 或
/ / , / / , , / /m n m a n a n a⊄ 则
, , , m n m a n aβ β⊥ ⊥ ⊥ ⊥则
, , / /m n m a n a⊥ ⊥ 则
( )( )52 2 2x x− + 4x
, ,x y z , ,x z y x y
z
+
5
2
− 7
2震、巽、坎.离、艮、兑八卦(每- -卦由三个爻组成,其中“ ”表示一个阳爻,“ ”
表示一个阴爻).若从八卦中任取两卦,这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为
A． B． C． D．
9 在△ABC 中,点 P 为 BC 中点,过点 P 的直线与 AB,AC 所在直线分别交于点 M,N,若
,则 的最小值为
A． B． 2 C． 3 D．
10 如图,平面四边形 ACBD 中, △ABD 为等边三角形,现将△ABD 沿
AB 翻折,使点 D 移动至点 P,且 则三棱锥 P- ABC 的外接球的表面积为
A． 8π B． 6π C． 4π D．
11.若函数 的图象上两点 M,N 关于直线 y=x 的对称点在 的图象上,则
a 的取值范围是’
A． B． C． D．
12、已知抛物线 和点 D(2,0),直线 与抛物线 C 交于不同两点 A,B,直线 BD
与抛物线 C 交于另一点 E.给出以下判断:
①以 BE 为直径的圆与抛物线准线相离;
②直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为-2;
③设过点 A,B,E 的圆的圆心坐标为(a,b),半径为 r,则
其中,所有正确判断的序号是
A． ①② B． ①③ C． ②③ D．①②③
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知实数 x,y 满足约束条件 则 的最大值为______________
3
56
3
28
3
14
1
4
) , ( 0, 0AM AB AN ACλ µ λ µ= = > > λ µ+
5
4
7
2
, 3, 2,AB BC AB BC⊥ = =
,PB BC⊥
8 2
3
π
( ) xf x e= ( ) 2g x ax= −
, 2
e
∞
− ( ),e−∞ 0, 2
e
( )0,e
2: 4C y x= 2x ty= −
2 2 4.a r− =
1 0
3 3 0
0
x y
x y
y
− + ≥
− − ≤
≥
2z x y= +14.某中学举行了一次消防知识竞赛,将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组,绘制如图所示的
频率分布直方图,记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组,已知第二组的频数
是 80,则成绩在区间[80, 100]的学生人数是________________
15 设双曲线 的左焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线 C
的两条渐近线顺次交于 A,B 两点.若 则 C 的离心率为______________
16.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 若 x>0 时, ,则不等式
的解集是__________________
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生依据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17 某商场为改进服务质量,随机抽取了 200 名进场购物的顾客进行问卷调查，调查后，就顾客
“购物体验”的满意度统计如下:
(1)是否有 97. 5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?
(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为 100 元/件的商品开展促销活动.据统计,在此期间顾客
购买该商品的支付情况如下:
将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为 X，
求 X 的分布列和数学期望。
18(本小题满分 12 分)
已知 a,b,c 分别是△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,
(1)求 A;
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > >
3FB FA=
( )f x′ ( ) 2x x′ + −
3 .acosC csinA b c+ = +(2)若 求 b,c.
19 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形， △PAD 是边长为 2 的正三
角形， ,E 为线段 AD 的中点.
(1)求证:
(2)若 F 为线段 PC 上一点,当二面角 P-.DB-F 的余弦值为 时,求三棱锥 B- PDF 的体积. .
20 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O,其短半轴长为 1,一个焦点坐标为(1,0),点 A 在椭圆 C 上，
点 B 在直线 上,且 OA⊥OB.
(1)证明:直线 AB 与圆 相切;
(2)设 AB 与椭圆 C 的另一个交点为 D,当△AOB 的面积最小时,求 OD 的长.
21 已知函数 )为 f(x)的导数,函数 f' (x)在 处取得最小值.
(1)求证:
(2)若 时,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选-题作答,如果多做,则按所做的第一题记
分。
22(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立，
极坐标系,设点 A 在曲线 C2: 上,点 B 在曲线 C3 上,且△AOB 为正三角
形.
(1)求点 A,B 的极坐标;
(2)若点 P 为曲线 C1 上的动点,M 为线段 AP 的中点,求|BM|的最大值.
23(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲
已知函数
(1)解不等式:
(2)求证:
3, 3a b c= + =
60 ,BAD = °∠
10PC =
;PBC PBE⊥平面 平面
5
5
2y =
22 1x y+ =
( ) xf x e xlnx ax= − + )(f x′ 0x x=
0o olnx x+ =
ox x≥
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
1sinρ θ = ( )06
πθ ρ= − >
( ) 2 1f x x= +
( ) ( ) 2 6;f x f x+ − ≤
( ) ( )2 2 21 2 3 2 ||f x a f x x a x a a+ − − ≤ + + + + −
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