数学（文科）试卷
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要
求的.
1 已知集合 则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ， ,则（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ，且 与 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.若 满足约束条件 ，则的最大值为 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示的程序框图当其运行结果为 31 时，则图中判断框①处应填入的是（ ）
A. B. C. D.
5 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
( 1 5), { 0 2}A x Z x B x x= ∈ − < < = < ≤ A B = { 1 2}x x− < ≤ { 0 5}x x< < {0,1,2} {1,2} , Ra b∈ 3 (2 1)a b a i+ = − − 3b a= 6b a= 9b a= 12b a= (0,2), (2 3, )a b x= = a b 3 π x = 2− 2 1 1− x 0 2 1 0 x y x y x − ≤ + ≤ + ≥ 2 3 yz x += + 1 2 3 4 5 2 3 6?i ≤ 5?i ≤ 4?i ≤ 3?i ≤ ( )f x R 0x > ( ) 3 2f x x= − ( ) 0f x >
A. B.
C. D.
7.某班 45 名同学都参加了立定跳远和 100 米跑两项体育学业水平则试立定跳远和 100 米跑合格的人数分别
为 30 和 35，两项都不合格的人数为 5.现从这 45 名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定
跳远合格、仅 100 米跑合格、两项都不合格四种）出 9 人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格
的有（ ）
A.1 人 B.2 人 C.5 人 D.6 人
8.在正方体 中， 分别为 的中点，则异面直线 所成角的余弦值
为（ ）
A. B. C. D.
9.已知椭圆 与直线 交于 两点焦点 ，其中 为半焦距，若
是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，给出下列关于
的结论：①它的图象关于直线 对称；②它的最小正周期为 ；③它的图象关于点 对
称；
④它在 上单调递增其中所有正确结论的编号是（ ）
A①② B.②③ C.①②④ D.②③④
11.中国剩余定理又称孙子定理，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题叫做
“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有
这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序
排成一列构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A.56383 B.57171 C.59189 D.61242
3 3, 0,2 2
−∞
3 3, ,2 2
−∞ +∞
33 3,2 2
3 3,0 ,2 2
+∞
1 1 1 1ABCD A B C D− E F， 1 1C CDD 1AF DE
1
4
15
4
2 6
5
1
5
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
+ = > > 1y
a
x
b
− = A B， ( )0,P c− C ABF△
5 1
2
− 3 1
2
− 3 1
4
+ 5 1
4
+
( ) sin3 3cos3 1f x x x= +
6
π ( )g x
( )g x 5
9x
π= 2
3
π 11 ,118
π
5 19,3 9
π π
12.已知函数 与 的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，
当实数 变化时，实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知数列 为等比数列 则 ____________.
14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，《周髀算经》中称直角三角形较短的直角边为勾，另一直
角边为股，斜边为弦，其三边长组成的组数据成为勾股数现从 1~5 这 5 个数中随机抽取 3 个不同的数，则
这三个数为勾股数的概率为____________.
15.已知双曲线 与抛物线 有一个共同的焦点 ，两曲线的一个交点为 ，若
，则点 到双曲线的渐近线的距离为____________.
16.如图在三棱锥 中，点 在 上， 为正三角形，点
分别在 上运动（不含端点），且 则当四面体 的体积取得最大值 时，
三棱锥 的外接球的表面积为____________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题共 60 分.
17.在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 的值；
( ) ( 0)xf x ae a= > 2( ) 2 ( 0)g x x n m= − >
m a
2
4 ,e
+∞ 2
8
e
+ ∞ 2
40, e
2
80, e
{ }na 1 2 2 32, 6a a a a+ = − + = 5a =
2
2 2 1( 0, 0)
xx y a bx b
− = > > 2 8y x= F P
5FP = F
A BCD− E BD , 2 ,EA EB EC ED BD CD ACD= = = = △
M N， ,AE CD AM CM− C EMN− 2
3
A BCD−
ABC△ A B C， ， a b c， ， 2 2 cosa c b C− =
sin 2
A C B
+ +
（2）若 ，求 的取值范围.
18.某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，
班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班 50 名同
学进行调查将调查，结果进行整理后制成下表：
考试分数
频数
赞成人数
（1）欲使测试优秀率为 ，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第 1 问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系列出
列联表，并判断是否有 的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.
参考公式及数据： .
19. 如图在四棱锥 中， 底面 为
的中点， 是 上的点.
（1）若 平面 ，证明： 为 的中点.
（2）求点 到平面 的距离.
20.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为过焦点 且垂直于 轴的抛物线 的弦，已知
以 为直径的圆经过点 .
3b = c a−
( )85,95 ( )95,105 ( )105,115 ( )115,125 ( )125,135 ( )135,145
5 10 15 5 10 5
4 6 9 3 6 4
30%
2 2× 90%
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
( )2
0p k k≥ 0.00 0.050 0.025 0.010
0k 2.706 3.841 5.024 6.635
P ABCD− PA ⊥ 1, , 90 , 2,2ABCD AD BC DAB AB BC PA AD E∠ = ° = = = =∥ PB
F PC
EF∥ PAD F PC
C PBD
: 2 ( 0)C y px p= > F l AB F x C
AB ( )1,0−
（1）求 的值及该圆的方程；
（2）设 为 上任意一点，过点 作 的切线，切点为 ，证明： .
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间与极值.
（2）当 时，是否存在 ，使得 成立？若存在，求实数 的取值范围；若不存
在，请说明理由.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 两题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4-4 坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点 轴的正
半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
（2）若射线 的极坐标方程为 ，设 与 相交于点 与 相交于点 ，求 .
23.[选修 4-5：不等式选讲]
设函数 的最小值为 .
（1）求 的值；
（2）若 为正实数，且 ，证明：
参考答案（数学文科）
1.D 因为 ， .所以 .
2. C 因为 ，所以 ，解得 ，则 .
p
M l M C N MF MF⊥
( 1)(1 ln )( ) 3 , ( ) ln ( R)x xf x m g x mx x mx
+ += − = − + ∈
( )f x
0m > 21, [1,2]x x ∈ ( ) ( )1 2f x g x> m
xOy C
cos
3sin
x
y
α
α
=
=
α x
l sin cos 6ρ θ ρ θ+ =
C l
m ( 0)3
πθ ρ= ≥ m C M m， l N MN
( )1( ) 1 12f x x x x R= + + − ∈ m
m
, , ,a b c 1 1 1 2
2 3 3ma mb mc
+ + = 2 19 9 3
a b c+ + ≥
{ / 1 5} {0,1,2,3,4}A x Z x= ∈ − < < = {1,2}A B = {1,2}A B = 3+ =b-(2 -1)ai a i 3 (2 1) b a a = − − = 3 3 1 b a = = b=9a
3.B 因为 ，所以 ，且 ，解得 .
4. C 表示经过点 和可行域内的点 的直线的斜率画出可行域（图略可知可行域的三
个顶点分别为 ，且 故 .
5.B 当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时，
；当 时， ，此时输出 ，故选 B.
6.A 因为 是定义在 上的奇函数所以它的图象关于原点对称，且 作出函数图象如图所示，从图象
知不等式 的解集为 .
7.C 由题意知两项都不合格的有 5 人，两项都合格的有 25 人，仅立定跳远合格的有 5 人，仅 100 米跑合格
的有 10 人，从 45 人中抽取 9 人进行复测则每 人中抽取 1 人故两项都合格的 25 人中应该抽取
人.
8.D 连接 （图略），因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角（或补角），不妨设
正方体的棱长为 2，则 ，取 的中点为 ，连接 ，则
，所以 .
9.A 不妨设 ，则 ，解得 ，即 ，故 .
10.B 因为孔 ，所以
，令 ，得 ，所以 不
是对称轴，①错误，②显然正确；令 ，得 ，取 ，得 ，故关于点
对称，③正确；令 ， ，取 ，得
2
2 1cos 3 22 12
x
x
π = =
+ >0x 22 12x x= + =2x
2
3
yz x
+= +
( )3, 2D − − ( , )x y
( 1,3), ( 1, 1),(1,1)A b− − − 5 1 3, ,2 2 4AD BD CDk k k= = = 5
2z ≤
1S = 9i = =1+9=10S 8i = 1 9 8 18S = + + = 7i = 1 9 8 7 25S = + + + =
6i = 1 9 8 7 6 31S = + + + + = 5i = 31S =
( )f x R ( )0f
( ) 0f x > 3 3, 0,2 2
−∞ −
455 59
=
25 5 5÷ =
BE BD， BE AF∥ BED∠ AF DE
5, 2 2BE DE BD= = = BD G EG
35 2 3,cos
5
EG BEG= − = ∠ = 3 1cos 2 15 5BED∠ = × − =
(0, ), ( , 0)A a B b− 0BA BF⋅ = 2b ac= 2 2a c ac− = 5 1
2e
−=
( ) sin3 3cos3 1 2sin 3 13f x x x x
π = − + = − +
( ) 2sin 3 1 2sin 3 16 3 6g x x x
π π π = + − + = + + 3 6 2x k
π ππ+ = + ( )3 9
kx k Z
π π= + ∈ 5
9x
π=
3 6x k
π π+ = ( )3 18
kx k Z
π π= − ∈ =2k 11
18x
π= 11 ,118
π
2 3 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π− ≤ + ≤ + ∈ 2 2 2
3 9 3 9
k kx
π π π π− ≤ ≤ + 2k =
，取 ，得 ，所以④错误，选项 B 正确.
11.C 被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为 的等差数列.记该数列为 ，则
，令 ，解得 ，若故该数列各项之和为
.
12.D 设切点为 ，则 ，整理得 ，由 ，解得 .
由上可知 ，令 ，则 .
因为 ，所以 在 上单调递减，所以 ，
即 .
13.81 设公比为 ，则 ，由 ，得 ，故 .
14. 从这 5 个数中随机抽取 3 个整数所有基本事件的个数为 10，其中的勾股数为（3，4，5）共 1 个故
概率
15. 由题意得 ，不妨取 代入 ，得 ，又因为 ，
得 ，所以双曲线的渐近线为 ，距离 .
16. 因为 ，所以点 为三棱锥 的外接球球心， 为直径所以
.设正三角形 的边长为 ，则 ，
， ，故 为等腰直角三角形，所以 ，
.又因为 ，所以 ，所以 平面 .
设 ，则 ，
10 13
9 9x
π π≤ ≤ 3k = 16 19
9 9x
π π≤ ≤
5 7 35× = ( )na
23 35( 1) 35 12na n n= + − = − 35 12 2020na n= − ≤ 25835n ≤
58 5758 23 35 591892
×× + × =
( )0 0,A x y
0
0
2
0
0
2
4
x
x
ae x m
ae x
= − =
2
0 0
0
4 2
0
0
x x m
x
m
= −
>
>
2
0 02 4 0m x x= − > 0 2x >
0
04
xa x
e
= 4( ) x
xf x e
= 4(1 )( ) x
xf x e
−=
2x > 4(1 ) 4( ) 0, ( )x x
x xh x h xe e
−′ = < = (2, )+∞ 2 80 ( )h x e < < 2 80,a e ∈ q 2 3 1 2 3a a qa a + = = −+ 1 1- 3 2a a = − 1 1a = 5 81a = 1 10 1 10p = 3 (2,0), 5F FP = (3,2 6)P 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 9 24 1a b − = 2 2 4a b+ = 1, 3a b= = 3y x= ± 2 3 32d = = 32π EA EB EC ED= = = E A BCD− BD 90BAD BCD∠ = ∠ = ° ACD△ a 22 , 2 aBD a EA ED= = = 2 2BA BD AD a= − = 2 2BC BD CD a= − = ABD BCD△ ，△ AE BD⊥ CE BD⊥ 2 ,2 aAE CE AC a= = = AE CE⊥ AE ⊥ BCD AM CN x= = 2 21 1 2 2sin 453 2 24C CMN M CEN ax a xV V CN CE ME− − − + = = ⋅ ⋅ ⋅ = °
当 时， 有最大值 ，解得 ，所以三棱锥 的外接球的半径 ，
从而表面积 .
17.解：（1）因为 ，所以 ，
所以 ，整理得 。
因为 ，所以 ，
所以 从而 ，
故 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，从而 ， ，
所以
因为 ，所以 ，从而 ，
所以 ，故 的取值范为 .
18 解：（1）因为测试的优秀率为 所以测试成绩优秀的人数为 ，
所以优秀分数线应定为 125 分.
（2）由（1）知测试成绩优秀的学生有 人，其中赞成的有 10 人测试成绩不优秀的学生有
人，其中“赞成的”有 22 人.
列联表如下：
赞成 不赞成 合计
优秀
2
4
ax = C EMNV −
3 2
96 3
a = 4a = A BCD− 2 2R EA= =
24 32S Rπ π= =
2 2 cosa c b C− = 2sin sin 2sin cosA C B C− =
2sin( ) sin 2sin cosB C C B C+ − = sin 2cos sinC B C=
sin 0C ≠ 1cos 2B =
3B
π= 2
2 3
A C B
π+ + =
2 3sin sin2 3 2
A C B
π+ + = =
3sin 2B =
2sin sin sin
a c b
A C B
= = = 2sina A= 2sinc C=
22sin 2sin 2sin 2sin3c a C A A A
π − = − = + −
3cos sin 2sin 3A A A
π = − = −
2
3A C
π+ = 20 3A
π< < 3 3 3A π π π− < − < 3 2sin 33 A π − < − ( )g x ( )0,+∞
0m > ( ) 0g x > 10 x m
< < ( ) 0g x < 1x m > ( )g x 10, m
1
m
+ ∞
( )g x 1x m
= 1 1 1ln 1 lng m mm m m
= − ⋅ + = − −
0m ≤ ( )g x ( )0,+∞ 0m > ( )g x
，单调递减区间为 ，极大值为 无极小值.
（2）当 ，时假设存在 ，使得 成立，则对 ，满足 ，
因为 ，
所以 .
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，所以
，所以 在 上单调递增，
所以 .
由（1）可知，①当 ，即 时，函数 在 上单调递减，所以 的最小值是
.
②当 ，即 时，函数 在 上单调递增，所以 的最小值是 .
③当 ，即不时函数 时， 在 上单调递增在 上单调递减，又
，
所以 时， 在 上的最小值是 ，当 时， 在 上的最小值是
.
所以 时， 在 上的最小值是 ，故 ，
解得 ，所以 .
当 时，函数 在 上的最小值是 ，故 ，解得
，所以 .
综上，实数 的取值范围为 .
22 解：（1）因为 （ 为参数），所以消去参数 ，得 ，
10, m
1 ,m
+∞ 1 ln m− −
0m > [ ]1 2, 1,2x x ∈ ( ) ( )1 2f x g x> [1,2]x∈ max min( ) ( )f x g x>
( 1)(1 ln ) 1( ) 3 1 (1 ln ) 3x xf x m x mx x
+ + = − = + + −
2 2
1 1 1 ln( ) (1 ln ) 1 x xf x xx x x x
− = − + + + ⋅ =
( ) ln (1 2)h x x x x= − ≤ ≤ 1( ) 1 0h x x
= − ≥ ( )h x [ ]1,2 ( ) (1) 1f x f≥ =
( ) 0f x > ( )f x [ ]1,2
( ) ( )max
(2 1)(1 ln 2) 3(1 ln 2)2 3 32 2f x f m m
+ + += = − = −
10 1m
< ≤ 1m ≥ ( )g x [ ]1,2 ( )g x (2) 2 ln 2g m= − + 1 2m ≥ 10 2m< ≤ ( )g x [ ]1,2 ( )g x ( )1g m= − 11 2m < < 1 1 2 m< < ( )g x 11, m 1 ,2m (2) (1) ln 2 2 ln 2g g m m m− = − + = − 1 ln 22 m< < ( )g x [ ]1,2 (1)g m= − ln 2 1m≤ < ( )g x [ ]1,2 (2) ln 2 2g m= − 0 ln 2m< < ( )g x [ ]1,2 ( )1g m= − 3(1 ln 2) 32 m m + − > −
3(1 ln 2)
4m
+< 0
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