江苏省苏州2019-2020学年高三数学第二学期调研试卷含附加题（word版含答案）

2019—2020 学年苏州第二学期调研试卷 高三（数学）试卷 2020.03 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题 卡相应位置上． 1．已知 ， ，则 _______． 2．若复数 满足 （ 是虚数单位），则 _______． 3．执行如图所示的算法流程图，输出的 的值是________． 4．若数据 2， ，2，2 的方差为 0，则 _________． 5．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中 随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是_______． 6．先把一个半径为 5，弧长为 的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水 倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心 圆锥，则此球的半径为________． 7．若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为_______． 8．在 所在的平面上有一点 ，满足 ，则 _______． {1,3,4}A = {3,4,5}B = A B∩ = z (1 2 ) 3 4i z i+ = − + i | |z = S x x = 6π 2 2 15 4 x y− = 2 2y px= p ABC P PA PB PC AB+ + =    PA PB PB PC ⋅ = ⋅    9．已知直线 与曲线 相切，则实数 的值为________． 10．已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 两点，若 ，则椭圆 离心率的值等于________． 11．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且当 时， 为 和 的等差中项，则 的值 为________． 12．设 ， 为锐角， ，若 的最大值为 ，则实数 的值为________． 13．在平面直角坐标系 中，已知 ， 为圆 上两个动点，且 ．若 直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为________． 14．已知函数 ，若函数 有 6 个零点，则实数 的取值 范围为________． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分） 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点． 2y kx= − lny x x= k 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 6 3y b= C ,A B OA OB⊥ { }na n nS 2 1 2a = 2n ≥ 1 na nS 1nS − 32S α θ tan tan ( 1)a aθ α= > θ α− 4 π a xOy A B 2 2: ( ) ( 2) 4C x a y− + − = 2 3AB = :l y x= − P PA PB OC+ =   a ( ) xf x e= 2( ) ( 2) ( ) 2 | 2 |( ) ag x x f x a xf x = − − + − a ABC , ,A B C , ,a b c sin( ) sin 1A B C− + = sin cosA B 2a b= sin A 1 1 1ABC A B C− 90ABC °∠ = 1AB AA= ,M N AC 1 1B C求证：（1） 平面 ； （2） ． 17．（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ，并且点 在椭圆上． （1）求椭圆 的方程； （2）设斜率为 （ 为常数）的直线 与椭圆交于 ， 两点，交 轴于点 ， 为直线 上 的任意一点，记 ， ， 的斜率分别为 ， ， ．若 ，求 的值． 18．（本小题满分 16 分） 如图， 为某公园的一条道路，一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与 相切，记其圆心为 ，切点为 ．为 参观方便，现新修建两条道路 、 ，分别与圆 相切于 、 两点，同时与 分别交于 、 两 点，其中 、 、 三点共线且满足 ，记道路 、 长之和为 ． / /MN 1 1ABB A 1AN A B⊥ xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (1,0)F 21, 2       C k k l A B x ( ,0)P m Q 2x = QA QB QP 1k 2k 0k 1 2 02k k k+ = m PQ PQ O G CA CB O D E PQ A B C O G CA CB= CA CB L（1）①设 ，求出 关于 的函数关系式 ； ②设 米，求出 关于 的函数关系式 ． （2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造 价最少． 19．（本小题满分 16 分） 设 ， （ 为与自变量 无关的正实数）． （1）证明：函数 与 的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； （2）是否存在实数 ，使得 对任意的 恒成立，若存在，求出 的取值 范围，否则说明理由． 20．（本小题满分 16 分） 定义：对于一个项数为 的数列 ，若存在 且 ，使得数列 的前 项和 与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为 ， 所以数列 3，2，1 是“等和数列”．请解答以下问题： （1）判断数列 2， ，6， 是否是“等和数列”，请说明理由； （ 2 ） 已 知 等 差 数 列 共 有 项 （ ， 且 为 奇 数 ）， ， 的 前 项 和 满 足 ．判断 是不是“等和数列”，并证明你的结论． ACO θ∠ = L θ ( )L θ 2 AB x= L x ( )L x ( ) xf x ae a= − 2( )g x ax x= − a x ( )f x ( )g x k ( ) ln 1f x a kxax x + − − > 1 ,2x  ∈ +∞   k ( )*2,m m m N∈ { }na *k N∈ k m< { }na k 3 2 1= + 4− 8− { }na r 3r r 1 1a = { }na n nS 1 ( 1) ( 1)( 1)n nnS n S n n n r+ = + + + − { }na（3） 是公比为 项数为 的等比数列 ，其中 ．判断 是不是“等和数 列”，并证明你的结论． 高三数学练习卷 附加题 21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 选修 4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系 中，直线 在矩阵 对应的变换作用下得到的直线仍为 ，求矩阵 ． B．选修 4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．求直线 与曲线 交点 的直角坐标． C．选修 4-5：不等式选讲 已知 均为正数，且 ，求证： ． 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， 为 的中点． { }nb q ( )*, 3m m N m∈  { }nb 2q ≥ { }nb xOy 2 0x y+ − = 1 2 aA b  =    2 0x y+ − = A l ( )3 R πθ ρ= ∈ x C 2sin , 1 cos2 x y α α =  = − α l C P , ,x y z 1 1 1 3 1 1 2x y y z + ++ + +  4 9 10x y z+ +  D ABC− DA ⊥ ABC 90CAB °∠ = 1AC AD= = 2AB = E BD（1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求二面角 的余弦值． 23．（本小题满分 10 分） 在自然数列 1，2，3，…， 中，任取 个元素位置保持不动，将其余 个元素变动位置，得到不同的 新数列．由此产生的不同新数列的个数记为 ． （1）求 ； （2）求 ； （3）证明 ，并求出 的值． 参考答案与评分标准 一、填空题 1． 2． 3．7 4．2 5． 6． 7．6 8． 9． 10． 11．8 12． 13． 14． 二、解答题 15．（1）因为 ，所以 ， 从而 AE BC A CE B− − n k n k− ( )nP k 3(1)P 4 4 0 ( ) k P k = ∑ 1 1 0 0 ( ) ( ) n n n n k k kP k n P k − − = = =∑ ∑ 0 ( )n n k kP k = ∑ {3,4} 5 3 10 3 9 1 2 − 1 ln2+ 2 2 3 2 2+ [ 2 2 2, 2 2 2]− − − + 2 , 12 1 e e  − − −  A B C π+ + = sin( ) sinA B C+ = 1 sin( ) sin sin( ) sin( )A B C A B A B= − + = − + +， 故 ； （2）由 及正弦定理得， ， 故 ， 且 ，所以 ， 又易得 ，从而 ，故 ，即 ，所以 ， 即 ， 此时 ． 16．（1）证明：取 的中点 ，连结 ， ． 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以 ，且 ． 在直三棱柱 中， ， ， 又因为 是 的中点， 所以 ，且 ． 所以四边形 是平行四边形， 所以 ， (sin cos cos sin ) (sin cos cos sin )A B A B A B A B= − + + 2sin cosA B= 1sin cos 2A B = 2a b= sin 2sinA B= 1sin cos 2sin cos sin2 2A B B B B= = = sin 2sin 1A B=  1sin 2B a b> A B> 0, 6B π ∈   2 0, 3B π ∈   2 6B π= 12B π= 6 2sin 2sin 2sin 2 sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 2A π π π π π π π −   = = − = × − =       AB P PM 1PB M P AB AC / /PM BC 1 2PM BC= 1 1 1ABC A B C− 1 1/ /BC B C 1 1BC B C= N 1 1B C 1/ /PM B N 1PM B N= 1PMNB 1/ /MN PB而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． （2）证明：因为三棱柱 为直三棱柱，所以 面 ， 又因为 面 ， 所以面 面 ， 又因为 ，所以 ， 面 面 ， 平面 ， 所以 面 ， 又因为 面 ， 所以 ，即 ， 连结 ，因为在平行四边形 中， ， 所以 ， 又因为 ，且 ， 面 ， 所以 面 ， 而 面 ， 所以 ． MN ⊄ 1 1ABB A 1PB ⊂ 1 1ABB A / /MN 1 1ABB A 1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ 1 1 1A B C 1BB ⊂ 1 1ABB A 1 1ABB A ⊥ 1 1 1A B C 90ABC °∠ = 1 1 1 1B C B A⊥ 1 1ABB A ∩ 1 1 1 1 1A B C B A= 1 1B C ⊂ 1 1 1A B C 1 1B C ⊥ 1 1ABB A 1A B ⊂ 1 1ABB A 1 1 1B C A B⊥ 1 1NB A B⊥ 1AB 1 1ABB A 1AB AA= 1 1AB A B⊥ 1 1 1NB AB B∩ = 1AB 1NB ⊂ 1AB N 1A B ⊥ 1AB N AN ⊂ 1AB N 1A B AN⊥17．解：（1）因为椭圆 的两个焦点为 和 ，点 在此椭圆上． 所以 所以 所以椭圆方程为 （2）由已知直线 ，设 ， ， ， 由 得 ． 所以 ． 因为 且 ， 所以 ， 整理得 ， 因为点 不在直线 上，所以 ， C 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 21, 2       2 2 2 22 22 (1 1) 0 (1 1) 0 2 2, 12 2a c    = + + − + − + − = =        1, 2, 2 1 1c a b= = = − = 2 2 12 x y+ = : ( )l y k x m= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )02,Q y 2 2 ( ), 1,2 y k x m x y = − + = ( )2 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x mk x k m+ − + − = 2 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 mk k mx x x xk k −+ = =+ + 1 0 2 0 0 1 2 0 1 2 , ,2 2 2 y y y y yk k kx x m − −= = =− − − 1 2 02k k k+ = 1 0 2 0 0 1 2 2 2 2 2 y y y y y x x m − −+ =− − − ( )0 1 2 2 1 12 02 2 2k km y m x x  − − + + = − − −  ( )02,Q y l 02 0k km y− − ≠所以 ，整理得 ， 将 ， 代入上式解得 ， 所以 ． 18．解：（1）①在 中， ，所以 ， 所以 在 中， ， 所以 其中 ②设 ，则在 中 ，由 与 相似得， ， 即 ，即 ， 即 ，即 即 ， 化简得 ， 其中 （2）选择（1）中的第一个函数关系式 研究． 1 2 2 1 1 02 2 2m x x + + =− − − ( )1 2 1 22 (2 ) 4 0x x m x x m− + + + = 2 1 2 2 4 1 2 mkx x k + = + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 k mx x k −= + 1m = 1m = Rt CDO ACO θ∠ = 20 sinCO θ= 20 20sinCG θ= + Rt AGC 20 20 20 20sinsin cos cos sin cos CGAC θθ θ θ θ θ + += = = 40 40sin( ) 2 sin cosL AC θθ θ θ += = 0, 2 πθ  ∈   AC y= Rt AGC 2 2CG y x= − Rt CDO Rt AGC CO OD CA AG = 2 2 20 20y x y x − − = 2 2 20 20x y x x y− − = 2 2 20( )x y x x y− = + 20x y x x y− = + 2 ( ) 400( )x y x x y− = + 3 2 400 400 x xCA y x += = − 3 2 2 800( ) 2 400 x xL x CA x += = − (20, )x ∈ +∞ 40 40sin 40(1 sin )( ) 2 sin cos sin cosL AC θ θθ θ θ θ θ + += = =令 ，得 ． 令 ，当 时， ，所以 递减； 当 时， ，所以 递增，所以当 时， 取得最小值，新建道路 何时造价也最少 （说明；本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式 求解，仿此给分） 19．（1）证明：因为 ，所以 的图像存在一个公 共的定点 ． 因为 ， ，所以 ， ，所以在定点 处有一条公切线，为 直线 ． （2）假设存在实数 ，使得 对任意的 恒成立， 即存在实数 使得 对任意的 恒成立． 令 ， 则 ， ( ) ( )2 2 3 2 2 2 2 40 cos sin cos (1 sin ) cos sin 40 sin sin cos ( ) (sin cos ) (sin cos )L θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ  − + − + − ′ = = ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2 2 2 2 2 40 sin 2sin 1 40 sin sin sin 1 40(sin 1) sin sin 1 (sin cos ) (sin cos ) (sin cos ) θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ + − + + − + + − = = = ( ) 0L θ′ = 5 1sin 2 θ −= 0 5 1sin 2 θ −= ( )00,θ θ∈ ( ) 0L θ′ < ( )L θ 0, 2 πθ θ ∈   ( ) 0L θ′ > ( )L θ 5 1sin 2 θ −= ( )L θ 3 2 2 800( ) 400 x xL x x += − 0(0) 0, (0) 0f ae a g= − = = 2( ) , ( )xf x ae a g x ax x= − = − (0,0)O ( ) xf x ae′ = ( ) 2g x a x′ = − (0)f a′ = (0)g a′ = (0,0)O y ax= k ( ) ln 1f x a kxax x + − − > 1 ,2x  ∈ +∞   k lnxk e x x x< − − 1 ,2x  ∈ +∞   1( ) ln , ,2 xh x e x x x x  = − − ∈ +∞  1( ) ln 2, ,2 xh x e x x  ′ = − − ∈ +∞ 令 ，则 ， 因为 ，且 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增， 因为 ， 所以存在唯一实数 ，使得 ，即 ，且 ， 所以 在 处取得最小值 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ， 因为 对任意的 恒成立，所以 ， 所以存在 使得 对任意的 恒成立． 20．解：（1）∵ ， ∴数列 2， ，6， 是“等和数列”． （2）由 ，两边除以 ，得 1( ) ln 2, ,2 xm x e x x  = − − ∈ +∞  1 1 1( ) , ,2 x x xem x e xx x −  ′ = − = ∈ +∞  0, 0xx e> > , xy x y e= = 1 ,2x  ∈ +∞   xy xe= 1 ,2x  ∈ +∞   1 1 2 121 21 0,1 1 02 2 ee e −− = < ⋅ − > 0 1 ,12x  ∈   0 0 1 0xx e − = ( )0 0m x′ = 0 0 xx e−= ( )h x′ 0x ( ) 0 0 0 0 0ln 2 ln 2x x xh x e x e e−′ = − − = − − 0 1 2 0 1 3 92 2 02 2 4 xe x e e e= + − > + − = − = − > ( ) lnxh x e x x x= − − 1 ,2x  ∈ +∞   1 ln2 1( ) 2 2h x h e − > = +   lnxk e x x x< − − 1 ,2x  ∈ +∞   ln2 1 2k e −≤ + ln2 1, 2k e − ∈ −∞ +   ( ) ln 1f x a kxax x + − − > 1 ,2x  ∈ +∞   2 ( 4) 6 ( 8)+ − = + − 4− 8− * 1 ( 1) ( 1),n nnS n S n n n N+ = + + + ∈ ( 1)n n +，即 ， 所以，数列 为等差数列且 ， ， 所以， 假设存在 使得数列 的前 项和与剩下项的和相等， 即 ，所以 ∴ * 在*中，因为 为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边 一定是偶数， 所以*不可能有解，从而假设错误， 不是“等和数列”． （3）设 为 的前 项和 假设 是“等和数列”， 则存在 且 ，使得 成立，即 ， 于是 成立，即 因为 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， 所以 ，与 产生矛盾． 所以假设不成立，即 不是“等和数列”． 1 11 n nS S n n + = ++ 1 11 n nS S n n + − =+ nS n     1 11 S = 1 1nS n nn = + − = 2 nS n= k { }na k k r kS S S= − 2 k rS S= 2 22k r= r 22k { }na nB { }nb n { }nb *k N∈ k m< k m kB B B= = 2 k mB B= ( ) ( )1 12 1 1 1 1 k mb q b q q q − − =− − 2 1k mq q− = 2q 12 1 2k k kq q q +− <  m k> 1m k≥ + 1k mq q+  2 1k mq q− < 2 1k mq q− = { }nb21 ． A 解 ： 设 是 直 线 上 任 意 一 点 ， 其 在 矩 阵 对 应 的 变 换 下 得 到 仍在直线上， 所以得 ， 与 比较得 ， 解得 ，故 ． B 解：直线 的普通方程为 ，① 曲线 的直角坐标方程为 ，② 联立①②解方程组得 或 根据 的范围应舍去 故 点的直角坐标为 ． C 证：因为 均为正数，所以 ， ， 均为正数， 由柯西不等式得 ， 当且仅当 时，等式成立． 因为 ， ( , )P x y 2 0x y+ − = 2 a aA b  =    1 2 2 a x x ay b y bx y +     =     +      2 2 0x ay bx y+ + + − = 2 0x y+ − = 1 1 2 1 b a + =  + = 0 1 b a =  = − 1 1 0 2A − =    l 3y x= C 21 ( [ 2,2])2y x x= ∈ − 0, 0 x y =  = 2 3, 6. x y  = = x 2 3, 6, x y  = = P (0,0) , , x y z 1x + 1y + 1z + 21 1 1[( 1) 4( 1) 9( 1)] (1 2 3) 361 1 1x y z x y z  + + + + + + + + + = + + +  2 2 2( 1) 4( 1) 9( 1)x y z+ = + = + 1 1 1 3 1 1 1 2x y z + ++ + + 所以 ， 所以 ． 22．解：因为 平面 ， ，所以可以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 ． 因为 ， ， 所以 ， 因为点 为线段 的中点， 所以 ． （1） ， 所以 ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 （2）设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以 ， ，即 且 ，取 ，得 ， 所以 是平面 E 的一个法向量． 设平面 的法向量为 ， 2( 1) 4( 1) 9( 1) 36 243x y z+ + + + + × = 4 9 10x y z+ +  DA ⊥ ABC 90CAB °∠ = A A xyz− 1AC AD= = 2AB = (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,1)A C B D E BD 10,1, 2E     10,1, , (1, 2,0)2AE BC = = −     2 4cos , 5| |, | 5 54 AE BCAE BC AE BC ⋅ −〈 〉 = = = − ×      AE BC 4 5 ACE 1 ( , , )n x y z= 1(1,0,0), 0,1, 2AC AE  = =      1 0n AC⋅ =  1 0n AE⋅ =  0x = 1 02y z+ = 1y = 0, 2x z= = − 1 (0,1, 2)n = − ACE BCE 2 ( , , )n x y z=因为 ， ， 所以 ， ， 即 且 ，取 ，得 ， 所以 是平面 的一个法向量． 所以 ． 所以二面角 的余弦值为 ． 23．（1）因为数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 成 3，2，1 或 2，1，3，所以 ； （2） ； （3）把数列 1，2，…， 中任取其中 个元素位置不动，则有 种；其余 个元素重新排列，并且使 其余 个元素都要改变位置，则有 ， 故 ，又因为 ， (1, 2,0)BC = − 10, 1, 2BE  = −    2 0n BC⋅ =  2 0n BE⋅ =  2 0x y− = 1 02y z− + = 1y = 2, 2x z= = 2 (2,1,2)n = BCE 1 2 1 2 1 2 3 5cos , 55 9 n nn n n n ⋅ −= = = − ×     ‖ A CE B− − 5 5 − 3(1) 3P = 4 4 4 4 4 4 4 0 ( ) (0) (1) (2) (3) (4) k P k P P P P P = = + + + +∑ 0 1 1 1 1 2 4 3 3 4 2 4 0 1 9 8 6 0 1 24C C C C C C= + + + + = + + + + = n k k nC n k− n k− ( ) (0)k n n n kP k C P −= 0 0 ( ) (0) n n k n n n k k k kP k kC P − = = =∑ ∑ 1 1 k k n nkC nC − −=所以 ， 令 ，则 ，且 ． 于是 ， 左右同除以 ，得 所以 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) (0) (0) ( ) n n n n k k n n n k n n k n k k k k kP k kC P n C P n P k − − − − − − − = = = = = = =∑ ∑ ∑ ∑ 0 ( ) n n n k a kP k = = ∑ 1n na na −= 1 1a = 2 3 4 1 1 2 3 12 3 4n n na a a a a a a a na− −= × × × ×  2 3 4 1na a a a − 2 3 4 !na n n= × × × × = 0 ( ) ! n n k kP k n = =∑