2020 年高考（理科）数学（4 月份）模拟试卷（问卷）
一、选择题
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x﹣1≤0}，则集合 A∩∁UB＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|1＜x＜4}
2．若 z＝ （i 表示虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 ，则 tanα（cos2α+1）＝（ ）
A． B． C． D．
4．设 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x+y 的最大值是（ ）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
5．已知 且 f（0）＝3，f（﹣1）＝4，则 f（f（﹣3））＝（ ）
A．﹣1 B．﹣lg3 C．0 D．1
6．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的
表面积为（ ）
A．36π B．64π C．81π D．100π
7．下面四个条件中，是 a＞b 成立的充分而不必要的条件为（ ）
A．ac＞bc B．a＞b﹣1
C．a3＞b3 D．log2a＞log2b8．已知 A1，A2 分别是双曲线 C 的左，右顶点，F 为左焦点，以 A1A2 为直径
的圆与双曲线 C 的两条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两点，若 FM∥ON
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，正方形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、CD 的中点，若 ＝λ +μ ，则 λ+μ＝（
）
A．2 B． C． D．
10．函数 f 的部分图象如图中实线所示，
图中圆 C 与 f（x）的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 f（x）的最小正周期是 2π
B．函数 f（x）的图象关于点 成中心对称
C．函数 f（x）在 单调递增
D．将函数 f（x）的图象向左平移 后得到的关于 y 轴对称
11．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接
而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 109°28'，这
样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈
谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱
ABCDEF﹣A′B′C′D′E′的三个顶点 A，C，E 处分别用平面 BFM，平面 BDO，平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面 BFM，平面 BDO
，平面 DFN 交于点 P，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面 PBOD 与正六边形底面所
成的二面角的大小为 θ，则有：（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
12．已知 f（x）＝ +cosx（x∈R），∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx
﹣mx），则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[ ] B．[ ]
C．[ ] D．[ ]
二、填空题
13．二项式 的展开式中 x 的系数为 10，则 a＝ ．
14．根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，
则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫
生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分
别服从正态分布 N（35，2），N（70，8），则峰期后移了 天，峰值下降了 %
（注：正态分布的峰值计算公式为 ）15．如图，椭圆 C ，与两条平行直线 l1：y＝x+b，l2：y＝x﹣b 分
别交于四点 A，B，C，D，且四边形 ABCD 的面积为 3b2，则直线 AD 的斜率为
16．在△ABC 中，已知 AB＝6，∠A＝60°，BC 边上的中线 ，则 sinB＝ ．
三、解答题
17．如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是正方形，梯形 ADEF⊥底面 ABCD，且 A
．
（Ⅰ）证明：平面 ABF⊥平面 CDF；
（Ⅱ）求直线 AF 与平面 CDE 所成角的大小．
18．设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和．已知 a2 是 a1 与 a5 的等比中项，S6＝36
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求{bn}的前 n 项和 Tn．
19．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，Q 是抛物线上的一点， ．（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在一点 A，
使得 x 轴平分∠MAN？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由．
20．春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按 30 名学生一批，组
织学生进行某种传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门]
做进一步检测．学校综合考虑了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，
采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先
将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步
的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方
案一：将 30 人分成 5 组，每组 6 人；方案二：将 30 人分成 6 组，每组 5 人．已知随机
抽一人血检呈阳性的概率为 0.5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（Ⅰ）请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？
（Ⅱ）已知该传染疾病的患病率为 0.45%，且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为
99.9%，若检测中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率．（参考数据：（
0.9955＝0.975，0.9956＝0.970）
21．已知函数 f（x）＝ ﹣（a+1）x+alnx（a≠0），g（x）为 f（x）的导函数．
（Ⅰ）试讨论 g（x）的单调性；
（Ⅱ）若 f（x）有唯一极值点，且对 0＜x1＜x2 时，有 x0 满足 f（x1）﹣f（x2）＝g（x0）
（x1﹣x2）．求证 x1+x2＞2x0．
选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝ x，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 ．
（Ⅰ）求曲线 C 被直线 l 截得的弦长；
（Ⅱ）与直线 l 垂直的直线 EF 与曲线 C 相切于点 Q，求点 Q 的直角坐标．
23．已知 f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为 ．
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）已知 a＞0，b＞0，且 a2+b2＝m，求证： ．参考答案
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要
求的.
1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x﹣1≤0}，则集合 A∩∁UB＝（ ）
A．{x|﹣4＜x＜1} B．{x|﹣1＜x≤1} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集和补集的运算即可．
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x≤1}，U＝R，
∴∁UB＝{x|x＞1}，
∴A∩∁UB＝{x|1＜x＜4}．
故选：D．
2．若 z＝ （i 表示虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为 a+bi（a，b∈R）的形式，则答案
可求．
解： ＝ ．
所以复数 Z 对应的点为 ，位于第四象限．
故选：D．
3．若 ，则 tanα（cos2α+1）＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式可求 cosα，利用同角三角函数基本关系式可求 sinα 的值，
进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．
解：∵ ，
∴cosα＝ ，可得 sinα＝﹣ ＝﹣ ，
∴tanα（cos2α+1）＝2tanα•cos2α＝2sinαcosα＝2×（﹣ ）× ＝﹣ ．
故选：B．4．设 x，y 满足约束条件 ，则 z＝x+y 的最大值是（ ）
A．﹣4 B．1 C．2 D．4
【分析】画出约束条件对应的平面区域，结合图形找出目标函数的最优解，求出目标函
数的最小值．
解：画出 x，y 满足约束条件 的平面区域如图阴影部分；
由 z＝x+y 得 y＝﹣x+z，平移直线 y＝﹣x+z，
由平移可知当直线 y＝﹣x+z 过点 A 时，
直线 y＝﹣x+z 的截距最小，z 取得最小值；
由 ，求得 A（3，﹣1），
可得 z＝x+y＝2，
即 z 的最大值是 2．
故选：C．
5．已知 且 f（0）＝3，f（﹣1）＝4，则 f（f（﹣3））＝（ ）
A．﹣1 B．﹣lg3 C．0 D．1
【分析】根据题意，由函数的解析式可得 ，解可得 a、b 的值，即可得 f（﹣
3）的值，进而计算可得答案．解：根据题意， 且 f（0）＝3，f（﹣1）＝4，
则 ，解可得 ，
则 f（﹣3）＝（ ）﹣3+2＝10，
则 f（f（﹣3））＝lg10＝1；
故选：D．
6．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的
表面积为（ ）
A．36π B．64π C．81π D．100π
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外
接球的半径，最后求出球的表面积．
解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以 ，解得 h＝ ．
设四棱锥的外接球的半径为 r，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故选：C．
7．下面四个条件中，是 a＞b 成立的充分而不必要的条件为（ ）
A．ac＞bc B．a＞b﹣1
C．a3＞b3 D．log2a＞log2b
【分析】由 log2a＞log2b⇒a＞b，反之不成立．即可判断出关系．
解：由 log2a＞log2b⇒a＞b，反之不成立，
∴a＞b 成立的充分而不必要的条件为 log2a＞log2b．
故选：D．
8．已知 A1，A2 分别是双曲线 C 的左，右顶点，F 为左焦点，以 A1A2 为直径
的圆与双曲线 C 的两条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两点，若 FM∥ON
，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】画出图形，利用已知条件，转化求解 ac 关系，然后求解双曲线的离心率即可．
解：A1，A2 分别是双曲线 C 的左，右顶点，F 为左焦点，
以 A1A2 为直径的圆与双曲线 C 的两条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两
点，
若 FM∥ON，
可知三角形 FMO 为等腰三角形，腰长为 a，底边为 c，底角为 α，tanα＝ ＝
，
即 ，解得 e＝ ＝ ．
故选：A．9．如图，正方形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、CD 的中点，若 ＝λ +μ ，则 λ+μ＝（
）
A．2 B． C． D．
【分析】建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出 λ，μ．
解：以 AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为 1，则 ＝（1， ）， ＝（﹣ ，1）， ＝（1，1）．
∵ ＝λ +μ ，
∴ ，解得 ．
∴λ+μ＝ ．
故选：D．
10．函数 f 的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f（x）的图象交于 M，N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数 f（x）的最小正周期是 2π
B．函数 f（x）的图象关于点 成中心对称
C．函数 f（x）在 单调递增
D．将函数 f（x）的图象向左平移 后得到的关于 y 轴对称
【分析】根据条件求出 c 的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，
对称中心，利用三角函数的性质分别进行判断即可．
解：根据函数 f 的部分图象，
c＝ ＝ ，
则 ＝ ﹣（﹣ ），∴ω＝2，函数的周期为 ＝π，故 A 错误；
∵函数关于点（ ，0）对称，
∴函数的对称中心为（ + ，0），则当 k＝2 时，对称中心为（ ，0），故 B
不正确；
函数的一条对称轴为 x＝ ＝ ，
与这条对称轴相邻的最小值的对称轴 x＝ + ＝ ，
与这条对称轴相邻的前一条对称轴为 ﹣ ＝﹣ ，
故函数的单调增区间为[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z，
当 k＝0 时，函数的单调递增区间为[﹣ ， ]，k∈Z，故 C 正确；∵f（x）的一条对称轴为 x＝﹣ ，
∴函数 f （x） 的图象向左平移 个单位后，
此时，所得图象关于直线 x＝﹣ + ＝﹣ 对称，故 D 错误，
故选：C．
11．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接
而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是 109°28'，这
样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈
谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱
ABCDEF﹣A′B′C′D′E′的三个顶点 A，C，E 处分别用平面 BFM，平面 BDO，
平面 DFN 截掉三个相等的三棱锥 M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面 BFM，平面 BDO
，平面 DFN 交于点 P，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面 PBOD 与正六边形底面所
成的二面角的大小为 θ，则有：（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【分析】利用第二个图：取 BF 的中点 O，连接 OA，OM，可得∠MOA＝θ．不妨取 AB
＝2，在等腰三角形 ABF 中，∠BAF＝120°，可得 OB，OA．在这直角三角形 OMB 中
，OM＝ ．即可得出．
解：利用第二个图：取 BF 的中点 O，连接 OA，OM，则∠MOA＝θ．
不妨取 AB＝2，在等腰三角形 ABF 中，∠BAF＝120°，则 OB＝ ，OA＝1．在这直角三角形 OMB 中，OM＝ ．
∴cosθ＝ ＝ tan54°44′．
故选：C．
12．已知 f（x）＝ +cosx（x∈R），∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx
﹣mx），则实数 m 的取值范围是（ ）
A．[ ] B．[ ]
C．[ ] D．[ ]
【分析】利用奇偶性的定义可知 f（x）＝ +cosx 在为 R 上的偶函数，再利用导
数可知 f（x）在区间[0，+∞）单调递增，于是∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣
f（2+lnx﹣mx）⇔f（mx﹣lnx﹣2）≤f（2），即|mx﹣lnx﹣2|≤2，等价转化为∀x∈[1，4]
， ≤m≤ 恒成立，不等号两侧分别构造函数，求得构造的左侧函数的最大值
及右侧的函数的最小值，即可求得实数 m 的取值范围．
解：∵f（﹣x）＝ +cos（﹣x）＝ +cosx＝f（x）（x∈R），
∴f（x）＝ +cosx 为 R 上的偶函数，
又 f′（x）＝ ﹣sinx，
f″（x）＝ ﹣cosx≥ •2 ﹣cosx＝1﹣cosx≥0，
∴f′（x）＝ ﹣sinx 在 R 上单调递增，又 f′（0）＝0，
∴当 x≥0 时，f′（x）≥0，∴f（x）＝ +cosx 在区间[0，+∞）单调递增．
∴∀x∈[1，4]，f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2）﹣f（2+lnx﹣mx）⇔2f（mx﹣lnx﹣2）≤2f（2
）⇔f（mx﹣lnx﹣2）≤f（2）．
∴|mx﹣lnx﹣2|≤2，
∴﹣2≤mx﹣lnx﹣2≤2，
∴∀x∈[1，4]， ≤m≤ 恒成立，
令 g1（x）＝ ，则 g1′（x）＝ ，
当 x∈[1，e]时，g1′（x）＞0，当 x∈（e，4]时，g1′（x）＜0，
∴g1（x）极大值＝g1（x）最大值＝g1（e）＝ ；
令 g2（x）＝ ，g2′（x）＝ ＝﹣ ＜0，g（x）在区间[1，4]单
调递减，
∴g2（x）极小值＝g2（x）最小值＝g2（4）＝ ＝1+ ，
∴ ≤m≤1+ ，
故选：B．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分.
13．二项式 的展开式中 x 的系数为 10，则 a＝ ±1 ．
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，求出 x 的指数为 1 时的系数，即可求出常
数 a 的值．
解：二项式（x+ ）5 的展开式的通项为 Tr+1＝C5rx（5﹣r）•（ ）r＝arC5rx5﹣2r；
当 5﹣2r＝1，即 r＝2 时，二项式 的展开式中 x 项的系数为：a2 ＝10，
即 a2＝1，
∴a＝±1．
故答案为：±1．
14．根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，
则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫
生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布 N（35，2），N（70，8），则峰期后移了 35 天，峰值下降了 50 %（
注：正态分布的峰值计算公式为 ）
【 分 析 】 直 接 由 两 峰 值 横 坐 标 作 差 求 峰 期 后 移 的 天 数 ， 再 由
求解峰值下降的百分数．
解：由题意可知峰期后移了 70﹣35（天）；
峰值下降了 ＝50%．
故答案为：35；50．
15．如图，椭圆 C ，与两条平行直线 l1：y＝x+b，l2：y＝x﹣b 分
别交于四点 A，B，C，D，且四边形 ABCD 的面积为 3b2 ，则直线 AD 的斜率为
．
【分析】设 D 的坐标，四边形的面积等于 2 个三角形的面积之和可得 D 的横坐标，代入
椭圆求出 D 的纵坐标，进而求出直线 AD 的斜率．
解：设 D（x，y），
由椭圆的对称性，可得 SABCD＝2S△ACD＝2 |AC|•xD＝2b•xD，由题意 3b2＝2b•xD，所以
xD＝ ，
代 入 椭 圆 中 可 得 yD ＝ ， 即 D （ ， ） ， 所 以 kAD ＝＝ ，
所以直线 AD 的方程为 y＝ x+b，
故答案为： ．
16．在△ABC 中，已知 AB＝6，∠A＝60°，BC 边上的中线 ，则 sinB＝ ．
【分析】如图所示，由中线长定理可得：62+b2＝2× + ，再利用余弦定理正
弦定理可得： ＝62+ ﹣6acosB． ＝ ，sin2B+cos2B＝1．联立解
得．
解：如图所示，
由中线长定理可得：62+b2＝2× + ，
＝62+ ﹣6acosB．
由正弦定理可得： ＝ ，
sin2B+cos2B＝1．
联立解得：a＝2 ，cosB＝ ．
sinB＝ ＝ ．
故答案为： ．
三、解答题：第 17～21 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过
程或演算步骤．
17．如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是正方形，梯形 ADEF⊥底面 ABCD，且 A
．（Ⅰ）证明：平面 ABF⊥平面 CDF；
（Ⅱ）求直线 AF 与平面 CDE 所成角的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得 AB⊥DF，在梯形 ADEF 中，求解三角
形得 AF⊥FD，再由线面垂直的判定可得 FD⊥平面 ABF，进一步得到平面 ABF⊥平面
CDF；
（Ⅱ）以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD 所在直线为 x，y 轴建立空间直角坐标系，求
出平面 CDE 的一个法向量，再求出 的坐标，由 与平面 CDE 的法向量所成角的余
弦值可得直线 AF 与平面 CDE 所成角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵梯形 ADEF⊥底面 ABCD，且梯形 ADEF∩底面 ABCD＝AD，
又 AB⊥AD，∴AB⊥DF，
在梯形 ADEF 中，过 F 作 FG⊥AD，垂足为 G，
设 AD＝2，可得 A ＝1，则 AG＝ ，GF＝ ，
，则 AF2+FD2＝AD2，即 AF⊥FD，
又 AB∩AF＝A，∴FD⊥平面 ABF，而 FD⊂平面 CDF，
∴平面 ABF⊥平面 CDF；
（Ⅱ）解：以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD 所在直线为 x，y 轴建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0， ， ），F（0， ，
），
， ， ，
设平面 CDE 的一个法向量为 ，
由 ，取 z＝1，得 ．设直线 AF 与平面 CDE 所成角的大小为 θ，则 sinθ＝|cos＜ ＞|＝ ＝
，
∴θ＝ ，即直线 AF 与平面 CDE 所成角的大小为 ．
18．设 Sn 是公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和．已知 a2 是 a1 与 a5 的等比中项，S6＝36
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求{bn}的前 n 项和 Tn．
【分析】（Ⅰ）等差数列的公差设为 d，且 d 不为 0，运用等比数列的中项性质和等差数
列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得 ＝（2n﹣1）•4n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数
列的求和公式，计算可得所求和．
解：（Ⅰ）Sn 是公差 d 不为零的等差数列{an}的前 n 项和，
由 a2 是 a1 与 a5 的等比中项，可得 a22＝a1a5，即（a1+d）2＝a1（a1+4d），
化为 d＝2a1，
由 S6＝36，可得 6a1+15d＝36a1＝36，解得 a1＝1，d＝2，
则 an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ） ＝（2n﹣1）•4n，
则{bn}的前 n 项和 Tn＝1•4+3•16+5•64+…+（2n﹣1）•4n，
4Tn＝1•16+3•64+5•256+…+（2n﹣1）•4n+1，
两式相减可得﹣3Tn＝4+2（16+64+…+4n）﹣（2n﹣1）•4n+1＝4+2• ﹣（2n﹣1）•4n+1，
化简可得 Tn＝ + •4n+1．
19．已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，Q 是抛物线上的一点， ．
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，在 x 轴上是否存在一点 A，
使得 x 轴平分∠MAN？若存在，求出点 A 的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意可知 F（ ，0），设 Q（ ，y0），由 即可求
出 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）对直线 l 的斜率分情况讨论，当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知 x
轴上任意一点 A（不与点（2，0）重合），都可使得 x 轴平分∠MAN；
当直线 l 的斜率存在时，由题意可得 kAM+kAN＝0，设直线 l 的方程为：y＝k（x﹣2）（k
≠0）与抛物线方程联立，利用韦达定理代入 kAM+kAN＝0 得 4a＝﹣8，解得 a＝﹣2，故
点 A（﹣2，0）．
解：（Ⅰ）由题意可知，F（ ，0），
∵点 Q 在物线 C：y2＝2px 上，∴设 Q（ ，y0），
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，解得 p＝2，
∴抛物线 C 的方程为：y2＝4x；
（Ⅱ）①当直线 l 的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知 x 轴上任意一点 A（不与点（
2，0）重合），都可使得 x 轴平分∠MAN；
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为：y＝k（x﹣2）（k≠0），设 M（x1，y1）
，N（x2，y2），
联立方程 ，消去 y 得：k2x2﹣（4k2+4）x+4k2＝0，∴ ，x1x2＝4 （*），
假设在 x 轴上是否存在一点 A（a，0），使得 x 轴平分∠MAN，
∴kAM+kAN＝0，
∴ ，
∴ ，又 y1＝k（x1﹣2），y2＝k（x2﹣2），
∴ ，
把（*）式代入上式化简得：4a＝﹣8，
∴a＝﹣2，
∴点 A（﹣2，0），
综上所求，在 x 轴上是否存在一点 A（﹣2，0），使得 x 轴平分∠MAN．
20．春季气温逐渐攀升，病菌滋生传播快，为了确保安全开学，学校按 30 名学生一批，组
织学生进行某种传染病毒的筛查，学生先到医务室进行血检，检呈阳性者需到防疫部门]
做进一步检测．学校综合考虑了组织管理、医学检验能力等多万面的因素，根据经验，
采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将待检学生随机等分成若干组，先
将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样合格，不必再做进一步
的检测；若结果呈阳性，则本组中的每名学生再逐个进行检测．现有两个分组方案：方
案一：将 30 人分成 5 组，每组 6 人；方案二：将 30 人分成 6 组，每组 5 人．已知随机
抽一人血检呈阳性的概率为 0.5%，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（Ⅰ）请帮学校计算一下哪一个分组方案的工作量较少？
（Ⅱ）已知该传染疾病的患病率为 0.45%，且患该传染疾病者血检呈阳性的概率为
99.9%，若检测中有一人血检呈阳性，求其确实患该传染疾病的概率．（参考数据：（
0.9955＝0.975，0.9956＝0.970）
【分析】（Ⅰ）设方案一中每组的化验次数为 X，则 X 的取值为 1，7，分别求出相应的
概率，求出 EX＝1.18，从而方案一的化验总次数的期望值为：5EX＝5.9 次．设方案二
中每组的化验次数为 Y，则 Y 的取值为 1，6，分别求出相应的概率，求出 EY＝1.125．
从而方案二的化验总次数的期望为 6×EX＝6.75 次．由此能求出方案一工作量更少．（Ⅱ）设事件 A：血检呈阳性，事件 B：患疾病，由题意得 P（A）＝0.005，P（B）＝
0.0045，P（A|B）＝0.999，由此利用条件概率能求出该职工确实患该疾病的概率．
解：（1）设方案一中每组的化验次数为 X，则 X 的取值为 1，7，
∴P（X＝1）＝0.9956＝0.970，
P（X＝7）＝1﹣0.9956＝0.030，
∴X 的分布列为：
X 1 7
P 0.970 0.030
EX＝1×0.970+7×0.030＝1.18．故方案一的化验总次数的期望值为：5EX＝5×1.18＝5.9
次．
设方案二中每组的化验次数为 Y，则 Y 的取值为 1，6，
P（Y＝1）＝0.9955＝0.975，
P（Y＝6）＝1﹣0.995＝0.030，
∴Y 的分布列为：
Y 1 6
P 0.975 0.025
∴EY＝1×0.975+6×0.025＝1.125．
∴方案二的化验总次数的期望为：6×EY＝6×1.125＝6.75 次．
∵6.75＞5.9，
∴方案一工作量更少．
（2）设事件 A：血检呈阳性，事件 B：患疾病，
则由题意得 P（A）＝0.005，P（B）＝0.0045，P（A|B）＝0.999，
由条件概率公式 P（A|B）＝ 可得 P（AB）＝P（B）P（A|B）＝0.0045×0.999，
∴该职工确实患该疾病的概率 P（B|A）＝ ＝ ＝0.8991．
21．已知函数 f（x）＝ ﹣（a+1）x+alnx（a≠0），g（x）为 f（x）的导函数．
（Ⅰ）试讨论 g（x）的单调性；
（Ⅱ）若 f（x）有唯一极值点，且对 0＜x1＜x2 时，有 x0 满足 f（x1）﹣f（x2）＝g（x0）
（x1﹣x2）．求证 x1+x2＞2x0．【分析】（Ⅰ）可求得 g（x）＝f′（x）＝ ，分 a＜0 与 a＞0 两类讨论即
可得到 g（x）的单调递增情况；
（Ⅱ）由（1）知 g（x）在（0，+∞）上是增函数，由 f（x1）﹣f（x2）＝g（x0）（x1﹣
x2）可得 g（x0）＝ （x1+x2）﹣（a+1）+ ，又 g（ ）＝ ﹣（a+1
）+ ，二式作差后分析得到 ＞0，令 ＝t，记 h（t）＝lnt+ ﹣2（0＜
t＜1），求导分析后即可证得结论成立．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝ ﹣（a+1）x+alnx（a≠0）的定义域为（0，+∞），
且 g（x）＝f′（x）＝x+ ﹣（a+1）（a≠0），
∴①当 a＜0 时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当 a＞0 时，g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增；…5 分
（Ⅱ）证明：由 g（x）＝ ＝0 得 x＝a 或 x＝1，∴当 f（x）存在唯一极值
点时知 a＜0，
∴又由（1）知 g（x）在（0，+∞）上是增函数，由 f（x1）﹣f（x2）＝g（x0）（x1﹣x2
）可得：
g（x0）＝ ＝ （x1+x2）﹣（a+1）+ ，
又 g（ ）＝ ﹣（a+1）+ ，
g（x0）﹣g（ ）＝ [ln ﹣ ]＝ （ln + ﹣2），
由 a＜0，x1＜x2，得 ＞0，令 ＝t，
记 h（t）＝lnt+ ﹣2（0＜t＜1），
则 h′（t）＝ ﹣ ＝ ＞0，∴h（t）在（0，1）上是增函数，而 h（1）＝0，∴h（t）＜h（1）＝0，0＜t＜1，即 0＜
＜1，
∴g（x0）＜g（ ），
又 g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x0＜ ，即 x1+x2＞2x0…12 分
选考题：共 10 分，请考生在 22、23 两题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝ x，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 ．
（Ⅰ）求曲线 C 被直线 l 截得的弦长；
（Ⅱ）与直线 l 垂直的直线 EF 与曲线 C 相切于点 Q，求点 Q 的直角坐标．
【分析】（Ⅰ）首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用
点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．
（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位
置关系的应用求出切点的直角坐标．
解：（Ⅰ）曲，转换为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．
直线 l：y＝ x，转换为 ，
所以圆心（1，0）到直线 x﹣ 的距离 d＝ ，
所以曲线 C 被直线 l 截得的弦长为 l＝2 ．
（Ⅱ）与直线 l 垂直的直线设为 ，
由于直线 EF 与曲线 C 相切，
所以圆心（1，0）到直线 的距离 d＝ ，
解得 b＝ ，
所以直线 EF 的方程为 或 ．所以设切点 Q（x，y），故 解得 ，
或 ，解得 ，
即切点坐标为（ ）或（ ）．
23．已知 f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为 ．
（Ⅰ）求 m 的值；
（Ⅱ）已知 a＞0，b＞0，且 a2+b2＝m，求证： ．
【分析】（Ⅰ）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出 f（x）的最小值，
与已知最小值相等列式可求出；
（Ⅱ）利用分析法结合基本不等式即可证明．
解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|＝ ，
∴f（x）∴f（x）在区间（﹣∞， ]上单调递减，在区间[ ，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（ ）＝ ﹣3m＝﹣ ，
∴m＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a＞0，b＞0，且 a2+b2＝1，
要证 ，
只要证 b4+a4≥ab，
即证（a2+b2）2﹣2a2b2≥ab，
即证 2a2b2+ab﹣1≤0，
即证（2ab﹣1）（ab+1）≤0，
即证 2ab≤1，
即证 2ab≤a2+b2，显然 1＝a2+b2≥2ab，当且仅当 a＝b＝ 时取等号．
∴ ．
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