2020 年红河州第二次高中毕业生复习统一检测
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指
定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿
纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的
非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用 2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应
的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
2.复数 为纯虚数，则 （ ）
A．0 B．4 C．2 D．
3．已知棱长为 2 的正方体的俯视图是一个面积为 4 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）
A．4 B． C． D．
4．已知函数 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
{ |( 1)(3 ) 0}M x x x= − − ≥ { | 2 0}N x x= − ≥ M N∪ =
{ | 2 3}x x≤ ≤ { | 1}x x ≥ { | 1x x ≤ 2}x ≥ { | 3}x x ≥
2 1 ( 1)z a a i= − + − | |z =
2−
4 2 2 2 2− 2 2 2+
2( ) 2cos sin2
xf x x= + ( )f x
2 1+ 2 1− 2 1− + 2 1− −5．已知圆 ，直线 ，则“ 与 相交”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知圆 的半径为 2，在圆 内随机取一点 ，则过点 的所有弦的长度都大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 3，则 的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．设实数 ，则 展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，
后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”下图是解决该问题的程序框图，若输出的 （单位：
升），则输入的 的值为（ ）
A．2.25 B．4.5 C．6.75 D．9
10．已知函数 ，则（ ）
2 2: 2C x y+ = : 0l x y m− + = l C 2m <
C C M M 2 3
1
π
3
4
1
4
1
2
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > 2 2( 3) 9x y+ + = E
2 3 2 3
3
1 2
1
a h x dx−
= −∫
6
2
12ax x
−
35
2
π− 320π−
415
16
π 415π
2.25s =
k
( )1( ) ln 1x xf x e e e π−= + + −A． B．
C． D．
11．在三棱锥 中， ， ， ，则此三棱锥外接球
的半径为（ ）
A． B． C． D．13
12．下列关于三次函数 叙述正确的是（ ）
①函数 的图象一定是中心对称图形；
②函数 可能只有一个极值点；
③当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点；
④当 时，则过点 的切线可能有一条成者三条．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 ， ， ，若 ，则 的值为_____．
14．设 满足约束条件 ，若标着数 的最大值为 12，则 的
最小值为______．
15．已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则
的面积为______．
3
5
1( 5) ( 3) log 4f f f − > >
3
5
1( 3) ( 5) log 4f f f − > >
3
5
1log ( 3) ( 5)4f f f > − >
3
5
1( 5) log ( 3)4f f f > − >
A BCD− 5AB CD= = 3 17AC BD= = 4 10AD BC= =
3 17
2 2 10 13
2
3 2( ) ( 0) ( )f x ax bx cx d a x R= + + + ≠ ∈
( )f x
( )f x
0 3
bx a
≠ − ( )f x 0x x= ( )y f x=
0 3
bx a
≠ − ( )( )0 0,x f x
(1,1)a = ( , 2)c x= − 2 (4,3)a b+ = b c⊥ x
,x y
2 0
2 4 0
2 4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− + ≥
− − ≤
( 0, 0)z abx y a b= + > > a b+
ABC , ,A B C , ,a b c (cos 3sin )c A A b− = 3b = 13c =
ABC16．已知倾斜角为 的直线过曲线 的焦点 ，且与 相交于不同的两点 （ 在第一象
限），则 _____．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知数列 的前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设 是数列 的前 项和，求证 ．
18．（本小题满分 12 分）
某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售员 12 月份的产品销售量作了一次调查，得到如下的频
数分布表：
销售量/件
人数 14 30 16 28 20 12
（1）若将 12 月份的销售量不低于 30 件的钠售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”请根据
频数分布表补全以下 列联表：
销售达人 非销售达人 总计
男 40
女 30
总计
并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关：
60° 2: 2C y x= F C ,A B A
| |AF =
{ }na n ( 1)(2 1)
6n
n n nS
+ +=
{ }na
1
n
n
b a
= nT { }nb n 1n
nT n
> +
[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)
2 2×（2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取 6 名，再从这 6 名“销售达
人”中抽取 4 名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为 ，求 的分布列和数学期望．附表及其公式：
0.15 0.10 0.05
2.072 2.706 3.841
．
19．（本小题满分 12 分）
如图，在长方体 中， ， 为 中点．
（1）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在，说明理由．
（2）若二面角 的大小为 ，求 的长．
20．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 的离心率为 ，点 ， 的面积为 4．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 是 轴上不同的两点，点 在椭圆 内（异于原点），点 在椭圆 外．若过点 作斜率存
在且不为 0 的直线与 相交于不同的两点 ，且满足 ．求证：点 的横坐标
之积为定值．
21．（本小题满分 12 分）
X X
( )2
0P K k≥
0k
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AD= = E CD
1AA P / /DP 1B AE AP
1 1A B E A− − 30° AB
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > 3
2 ( ,0), (0, ), (0,0)M a N b O OMN
E
,A B x A E B E B
E ,P Q 180PAB QAB °∠ + ∠ = ,A B已知函数 的最小值为 0．
（1）求 的值；
（2）设 ，求证： ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐
标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求 的直角坐标方程和 的普通方程；
（2）若 与 相交于 两点，求 的面积．
23．【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）
已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）记 的最大值为 ，设 ，且 ，求证： ．
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理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C A A C C D D B C A
1．选 B．解析：计算得集合 , ．
( ) (ln ) 1f x x x a= − + ( )a R∈
a
2 1ln 1nx n
= + 1 2 2 4n
nx x x n
+ + + > +
xoy O x 1C
sin 24x
πρ + = 2C 2
2 2x t
y t
= =
t
1C 2C
1C 2C A B、 AOB
( ) | 1| | 2 |f x x x= + − −
| ( ) | 2f x <
( )f x m , , 0a b c > 2 3a b c m+ + = 1 1 1 32 3a b c
+ + ≥
{ |1 3}M x x= ≤ ≤ { | 2}N x x= ≥2．选 C．解析：复数 为纯虚数，故 ，所以 ， ， ．
3．选 C．解析：该正方体的正视图为一个矩形，但根据看正方体视角不同，则面积不同，面积的范围是
4．选 A．解析：化简函数得 ，所以函数 ）的最大值为
．
5．选 A．解析：圆 与直线 相交， ， ，解得 ，因为
是 的子集，所以选 A．
6．选 C．解析：过点 的所有弦的长度都大于 的点 落在以点 为圆心，半径为 1 的圆内．则所求
概率为 ．
7 ． 选 C ． 解 析 ： 设 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 ， 则 圆 心 到 该 直 线 的 距 离
，由题意得， ，化简得 ，即 ，所以 ，
即 ．
8．选 D．解析：由定积分的几何意义可知， ，所以 展开式中的常数项为
．
9．选 D．解析：由题目得 ； ； ； ．
10．选 B．解析：因为函数 ，因此函数 是定义域上的偶函数，又因为函数 在
上单调递增，而 ，所以 ．
z
2 1 0
1 0
a
a
− =
− ≠
1a = − 2z i= − 2 2| | 0 ( 2) 2z = + − =
[4,4 2]
( ) 1 cos sin 2 sin 14f x x x x
π = + + = + + ( )f x
2 1+
C l | | 2
2
md = < | | 2m < 2 2m− < < { | 2 2}m m− < <
{ | 2}m m <
M 2 3 M C
2
2
1 1
2 4P
π
π
×= =×
0bx ay+ = ( 3,0)−
2 2
| 3 | 3b bd ca b
−= =
+
233 2 9 b
c
− −
2
2
3
4
b
c
=
2 2 2
2 2
31 4
c a a
c c
− = − =
2
2
1
4
a
c
=
2ce a
= =
21 12 2a
ππ= × × =
6
2
1x x
π −
2
2 4 4
6 2
1( ) 15C x x
π π − =
2, 2
kn s= = 3, 3
kn s= = 4, 4
kn s= = 2.25, 94
ks k= = =
( ) ( )f x f x− = ( )f x ( )f x (0, )+∞
3
5
1| 3 | | 5 | log 4
− > > 3
5
1( 3) ( 5) log 4f f f − > > 1l．选 C．解析：将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，所以
，所以该三棱锥外接球的半径为 ．
12 ． 选 A ． 解 析 ： ① 的 对 称 轴 为 的 轴 对 称 图 形 ， 所 以
必定是中心对称图形，且对称中心为 ，所以①正确：（或者
可用 证明）
②由于函数 的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；
③设切点为 ， ，斜率 ，
切线为 ，所以
，化简得： ，
令 ，得： 或者 ，所以当 时，即 时，切线与 有
唯一的交点，当 时，切线与 有两个不同的交点，所以③正确；
④ 过 点 的 切 线 切 点 不 一 定 是 ， 设 切 点 为 ， 则 切 线 方 程 为
，因为 在切线上，所以 ，将
， ， 代 入
化简可得： ，令 得： 或者
，所以当 时，即 时，切线只有一条，当 时，切线有两
条，所以④错误；
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
, ,x y z
2 2
2 2
2 2
25
153
160
x y
x z
y z
+ =
+ =
+ =
2 2 2 169x y z+ + = 13
2
2( ) 3 2f x ax bx c′ = + +
3
bx a
= −
3 2( )f x ax bx cx d= + + + ,3 3
b bfa a
− −
223 3 3
b b bf x f x fa a a
− + + − − = −
( )f x
( )( )0 0,x f x ( ) 3 2
0 0 0 0f x ax bx cx d= + + + ( ) 2
0 0 03 2k f x ax bx c′= = + +
( ) ( )0 0y f x k x x− = − ( ) ( )3 2 3 2
0 0 0ax bx cx d ax bx cx d+ + + − + + +
( )( )2
0 0 03 2x x ax bx c= − + + ( ) ( )2
0 02M x x ax ax b= − + +
0M = 0x x= 02ax bx a
+= − 0
0
2ax bx a
+= − 0 3
bx a
= − ( )f x
0 3
bx a
≠ − ( )f x
( )( )0 0,x f x ( )( )0 0,x f x ( )( )1 1,x f x
( ) ( )( )1 1 1y f x f x x x′− = − ( )( )0 0,x f x ( ) ( ) ( )( )0 1 1 0 1f x f x f x x x′− = −
( ) 3 2
0 0 0 0f x ax bx cx d= + + + ( ) 3 2
1 1 1 1f x ax bx cx d= + + + ( ) 2
1 1 13 2f x ax bx c′ = + +
( ) ( ) ( )( )0 1 1 0 1f x f x f x x x′− = − ( ) ( )2
1 0 1 02N x x ax ax b= − + + 0N = 1 0x x=
0
1
2ax bx a
+= − 0
0
2ax bx a
+= − 0 3
bx a
= − 0 3
bx a
≠ −题号 13 14 15 16
答案 1
13．解析： ， ， ，故 ， ．
14．解析：直线 平移到点 时目标函数取最大值，即 ，所以 ，满足题
意．由 ，在 时等号成立，得 的最小值为
15．解析：由正弦定理得： ，因为
所以 ，因为 ，所以 ，
，由余弦定理 ，即 ，解得 ，
所以 ．
16．解析：由曲线 即 得， ．
过 作 垂 直 轴 于 点 ， 垂 直 准 线 于 点 ， 为 准 线 与 轴 的 交 点 ， 则
，所以 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17 解：（1）当 时， ，
． 4 分
当 时， 满足上式， 5 分
2 2 3
2
2 3
2
+
2 (4,3)a b+ = (1,1)a = (2,1)b = b c⊥ 1x =
0 :l y abx= − (4,4) 4 4 12ab + = 2ab =
2 2 2a b ab+ ≥ = 2a b= = a b+ 2 2
sin (cos 3sin ) sinC A A B− = sin sin( )B A C= +
sin (cos 3sin ) sin cos sin cosC A A A C C A− = + sin 0A ≠ 3sin cosC C− =
3 5tan ,3 6C C
π= − = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 213 3 3a a= + + 2a =
1 3sin2 2S ab C= =
2: 2C y x= 2 1
2x y= 1 12 ,2 4p p= =
A AH y H AA′ A′ Q y
1| | | | | | | | | | sin604AF AA QH QF FH AF′ °= = = + = + ⋅
1
2 34| | 1 sin60 2AF °
+= =−
2n ≥ 1
( 1) (2 1)
6n
n n nS −
− −=
2
1
( 1)(2 1) ( 1) (2 1)
6 6n n n
n n n n n na S S n−
+ + − −= − = − =
1n = 1 1 1a S= =所以 ． 6 分
（2）由（1）知， ， 9 分
所以 ． 12 分
18．解：（1）频数分布表补全以下 列联表：
销售达人 非销售达人 总计
男 40 30 70
女 20 30 50
总计 60 60 120
所以， 5 分
所以能在犯错的概率不超过 0.1 的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关； 6 分
（2）由（1）知，抽取的 6 名“销售达人”中，有 4 名男销售员，有 2 名女销售， 7 分
所以 的可能取值为 2，3，4． 8 分
10 分
所以 的分布列为
2 3 4
2
na n=
2
1 1 1 1 1
( 1) 1n
n
b a n n n n n
= = > = −+ +
1 2 3
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n n
nT b b b b n n n n
= + + + + > − + − + + − = − =+ + +
2 2×
2
2 120 (1200 600) 3.429 2.70670 50 60 60K
× −= ≈ >× × ×
X
2 2
4 2
4
6
6( 2) 15
C CP X C
= = =
3 1
4 2
4
6
8( 3) 15
C CP X C
= = =
4
4
4
6
1( 4) 15
CP X C
= = =
X
X 11 分
所以数学期望 12 分
19．解：如图，以 为原点 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ， ， 1 分
故 ， ， ． 2 分
（1）假设在棱 上存在一点 ，使得 平面 ．此时 ．
又设平面 的法向量 ．
平面 ， ， ，得
取 ，得平面 的一个法向量 . 4 分
要使 平面 ，只要 ，有 ，解得 .
又 平面 ，∴存在点 ，满足 平面 ，此时 . 6 分
P 6
15
8
15
1
15
6 8 1 8( ) 2 3 415 15 15 3E X = × + × + × =
A 1, ,AB AD AA x y z
,( 0)AB a a= > (0,0,0)A (0,2,0)D 1(0,2,2)D ,2,02
aE 1( ,0,2)B a
1 (0,2,2)AD =
1 ( ,0,2)AB a= ,2,02
aAE =
1AA ( )00,0,P z / /DP 1B AE ( )00, 2,DP z= −
1B AE ( , , )n x y z=
n ⊥
1B AE 1n AB∴ ⊥ n AE⊥ 2 0
2 02
ax z
ax y
+ = + =
2x = 1B AE 2, ,2
an a = − −
/ /DP 1B AE n DP⊥
0 0a az− = 0 1z =
DP ⊄ 1B AE P / /DP 1B AE 1AP =（2）连接 ，由长方体 及 得 ．
面 ，
平面 7 分
就是平面 的一个法向量， 8 分
设 与 所成的角为 ，则 ． 9 分
∵二面角 的大小为 ，
，即 ， 10 分
解得 ，即 的长为 4． 12 分
20．解：（1）由题意得
， 2 分 解得 ， 4 分
所以所求椭圆 的标准方程为 ． 5 分
（2）作点 关于 轴的对称点 ，由椭圆的对称性可知，点 在椭圆上，
且 ，
又 ，所以 ，故点 三点共线． 6 分
1 1,A D B C 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA = 1 1AD A D⊥
CD ⊥ 1 1A ADD 1CD AD∴ ⊥
1A D CD D∩ = 1AD∴ ⊥ 1 1DCB A
1 (0,2,2)AD∴ =
1 1A B E
1AD n θ 1
2
1 2
2cos
| | | | 2 2 4 4
n AD a a
n AD a a
θ ⋅ − −= =
⋅ + +
1 1A B E A− − 30°
|cos | cos30θ °∴ =
2
3 3
252 2 4 4
a
a
=
+
4a = AB
2 2 2
3
2
1 42
ce a
ab
a b c
= =
=
= +
4
2
a
b
=
=
E
2 2
116 4
x y+ =
P x P′ P′
PAB P AB′∠ = ∠ QBA P BA′∠ = ∠
180PAB QAB °∠ + ∠ = 180P AB QAB′ °∠ + ∠ = , ,P A Q′由题意可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得， ， 7 分
则有 ， ， 8 分
因为 ，所以 ，即 ， 9 分
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ． 10 分
又 ， 11 分
所以 ．故点 的横坐标之积为定值 16． 12 分
21．解：（1） ， ， 1 分
令 ，解得 ；令 ，解得 ； 2 分
所以， 在 单调递减，在 上单调递增， 3 分
所以 ， 4 分
解得 ； 5 分
（2）令数列 的前 项和 ，则 ， 6
由（1）得 ，变形可得： ， 7 分
P Q′ x ty m= + ( )1 1,P x y′ ( )2 2,Q x y ( ),0AA x ( ),0BB x
2 2
116 4
x ty m
x y
= + + =
x ( )2 2 24 2 16 0t y mty m+ + + − =
1 2 2
2
4
mty y t
+ = − +
2
1 2 2
16
4
my y t
−⋅ = +
P BA QBA′∠ = ∠ 0BQBPk k′ + = 1 2
1 2
0
B B
y y
x x x x
+ =− −
( ) ( )1 2 2 1 0B By x x y x x− + − = ( ) ( )1 2 2 1 0B By ty m x y ty m x+ − + + − =
( )( )1 2 1 22 0Bty y m x y y+ − + = ( ) ( )2
2 2
2 16 2 04 4
Bt m mt m x
t t
− −− =+ +
16
Bx m
=
Ax m=
16 16A Bx x m m
⋅ = ⋅ = ,A B
( ) (ln ) 1( 0)f x x x a x= − + > ( ) ln 1f x x a′ = + −
( ) 0f x′ > ( )1,ax e −∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )10, ax e −∈
( )f x ( )10, ax e −∈ ( )1,ax e −∈ +∞
( )1 1
min( ) 1 0a af x f e e− −= = − =
1a =
{ }na n 2 4n
nS n
= +
1
( 1)( 2)na n n
= + +
( ) (ln 1) 1 0f x x x= − + ≥ 1ln xx x
−>令 ，则 ， 9 分
因此 ， 11 分
所以 12 分
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
解：（1） 的极坐标方程可化为 ，因为 ，
故 的直角坐标方程为 ， 3 分
消参可得 的普通方程为 ； 5 分
（2） 的焦点坐标为 ， 为过 的直线，
联立 ，得 ， 6 分
所以 ， 8 分
点 到直线 的距离 ， 9 分
所以 10 分
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
解：（1） ，故当 或者 不成立，当 时， ，解
得： ，
1 11 nx n n
+= + = 1 1ln 1 1n n
+ > +
2
2
1 1 1 1 1ln 1 ( 1) 1 2 ( 1)( 2)n nx an n n n n n
= + > > − = = + + + + +
1 2 2 4n
nx x x n
+ + + > +
1C 2 2sin cos 22 2
ρ θ ρ θ+ = cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
1C 2 0x y+ − =
2C 2 8x y=
2C (0,2) 1C (0,2)
2 8
2 0
x y
x y
=
+ − =
2 12 4 0y y− + =
1 2| | 12 4 16AB y y p= + + = + =
O AB 2d =
1 16 2 8 22AOBS∆ = × × =
3, 1
( ) 2 1, 1 2
3, 2
x
f x x x
x
− ≤ −
= − − <
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