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2020 年 4 月普通高考（山东卷）全真模拟卷（3）
数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】集合 ，根据集合的交集的概念得到集合 。
故选 D.
2．已知复数 在复平面上对应的点为 ，则 ( )
A． 是实数 B． 是纯虚数
C． 是实数 D． 是纯虚数
{ } { }2 6 0 , 2A x x x B x x= − − ≤ = ≥ A B =
[ ]2,3− [ ]2 2− , ( ]0,3 [ ]2,3
{ }2 6 0A x x x= − − ≤ { }| 2 3x x= − ≤ ≤ [ ]2,3A B∩ =
z ( )1,1−
1z + 1z +
z i+ z i+ 2 / 20
【答案】B
【解析】由题意， ，则 ，为纯虚数，故 A 错误，B 正确；
，故 C,D 错误，故选 B
3．设甲为“ ”，乙为“ ”，那么甲是乙的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】命题乙： ，解得 ；
命题甲： ；
显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，
故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲，
所以甲是乙的充分非必要条件，
故选：A.
4．已知一系列样本点 … 的回归直线方程为 若样本点 与 的残差
相同，则有()
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】样本点 的残差为 ，样本点 的残差为 ，依题意 ，
故 ，故选 C.
5．十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、
巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同
1z i= − + 1z i+ =
1 2z i i+ = − +
0 5x< < | 2| 3x − <
| 2| 3x − < 1 5x− < <
0 5x< <
( , )i ix y ( 1,2,3,i = , )n ˆ 2 ,y x a= + ( ,1)r (1, )s
r s= 2s r= 2 3s r= − + 2 1s r= +
( ,1)r 2 1r a+ − (1, )s 2 a s+ − 2 1 2r a a s+ − = + −
2 3s r= − + 3 / 20
学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他
的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、
牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，基本事件总数 ，
这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数 ，
这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是 ．故选 ．
6．设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为曲线 在点 处的切线方程为 ，所以切线斜率为 2，
因为 ，所以 ，
，故选 C.
7．已知 ，把数列 的各项排成如图的三角形，记 表示第 行的第 个数，则
（ ）
3
88
3
44
1
20
9
44
3
12 1320n A= =
1 2 9 1 3 9 45m = × × + × × =
∴ 45 3
1320 88
mp n
= = = A
( )ln 1y ax x= − + ( )0,0 2y x= a =
2 1
2 3 1
3
( )ln 1y ax x= − + ( )0,0 2y x=
1' 1y a x
= − + 0'| 1 2xy a= = − =
3a∴ =
1
3
n
na =
{ }na ( ),A s t s t ( )11,12A =
1a 4 / 20
…………………
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】每一行对应元素的个数为 1，3，5，…，那么第 10 行的最后一个数为 a100，
第 11 行的第 12 个数为 a112，故 .故选 C.
8．在平面直角坐标系中，A、B 分别是 轴和 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
相切，则圆 C 的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
2a 3a 4a
5a 6a 7a 8a 9a
671
3
681
3
1121
3
1131
3
( ) 112111,12 3A =
x y 2 8 0x y+ − =
( )12 4 5 π− 5
9
π 5
16
π 16
5
π 5 / 20
设 的中点为 ，坐标原点为 ，圆半径为 ，
由已知得 ，
过点 作直线 的垂直线段 ，交 于 ，交直线 于 ，
则当 恰为 中点时，圆 的半径最小，即面积最小
此时圆的直径为 到直线 的距离为： ，
此时
圆 的面积的最小值为： ．故选 ．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．下列命题中正确的是（ ）
A．未位数是 的整数一定是偶数
B．不相交的两条直线一定是平行的
C．奇函数的图象关于原点对称
D．一个三角形是等腰三角形的充要条件是有两个角相等
【答案】ACD
【解析】对 A，未位数是 的整数能被 2 整除，故一定是偶数，故 A 正确；
对 B，不相交的两条直线还有可能是异面直线，故 B 错误．
对 C，根据奇函数的性质可知，奇函数的图象关于原点对称，故 C 正确；
对 D，一个三角形是等腰三角形可得两底角相等．反之，一个三角形中有两个角相等，该三角形为等腰三
AB C O r
| | | |OC CE r= =
O 2 8 0x y+ − = OF AB D 2 8 0x y+ − = F
D OF C
(0,0)O 2 8 0x y+ − =
2 2
| 8| 8
52 1
d
−= =
+
5
41
2r d= =
∴ C 24 16( ) 55minS
ππ= × = D
0
0 6 / 20
角形，故 D 正确．
故选：ACD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】BCD
【解析】对于 A，若 ，则 ，当 ， 时， 不成立，故 A 错；
对于 B，由 ，则 ，当且仅当 取等号，故 B 正确；
对于 C，由 为单调递增函数，由 ，则 ，故 C 正确；
对于 D，由 ， ，则 ，
当且仅当 时取等号，故 D 正确；故选 BCD .
11．已知函数 的图象的一个对称中心为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．直线 是函数 的图象的一条对称轴
B．函数 在 上单调递减
2 2a b> 1 1
a b
< 0x > 4 4x x
+ ≥
0a b> > lg lga b> 0ab > 1a b+ = 1 1 4a b
+ ≥
2 2a b> a b> 2a = 1b = − 1 1
a b
<
0x > 4 42 4x xx x
+ ≥ ⋅ = 2x =
lgy x= 0a b> > lg lga b>
0ab > 1a b+ = ( )1 1 1 1 2 2 4b a b aa ba b a b a b
+ + = + + + ≥ + ⋅ =
1
2a b= =
( ) cos2 cos sin 2 sin 0 2f x x x
πϕ ϕ ϕ = − ＜ ＜ , 06
π
5
12x π= ( )f x
( )f x 0, 6
π
7 / 20
C．函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象
D．函数 在 上的最小值为
【答案】ABD
【解析】∵ 的图象的一个对称中心为 ，
∴ ，则 ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
则 .
∵ ，
∴直线 是函数 的图象的一条对称轴，故 A 正确；
当 时， ，
∴函数 在 上单调递减，故 B 正确；
( )f x 6
π cos2y x=
( )f x 0, 2
π
1−
( ) ( )cos2 cos sin 2 sin cos 2f x x x xϕ ϕ ϕ= − = + , 06
π
cos 2 06
π ϕ × + = 3 2 k
π πϕ π+ = +
6 k
πϕ π= + k Z∈
0 2
πϕ＜ ＜
6
π=ϕ
( ) cos 2 6f x x
π = +
5 5cos 2 cos 112 12 6f
π π π π = × + = = −
5
12x π= ( )f x
0, 6x
π ∈ 2 ,6 6 2x
π π π + ∈
( )f x 0, 6
π
8 / 20
函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图象，故 C 错误；
当 时， ，∴函数 在 上的最小值为 ，故 D 正确.
故选:ABD.
12．已知函数 （e 为自然对数的底），若 且 有四个
零点，则实数 m 的取值可以为（ ）
A．1 B．e C．2e D．3e
【答案】CD
【解析】因为 ，可得 ，即 为偶函数，
由题意可得 时， 有两个零点，
当 时， ，
即 时， ，
由 ，可得 ，
由 相切，设切点为 ，
( )f x 6
π cos 2 cos 26 6 6y x x
π π π = − + = −
0, 2x
π ∈
52 ,6 6 6x
π π π + ∈
( )f x 0, 2
π
cos 1π = −
2 , 0( )
( 1), 0
x
x
e mx m xf x
e x x
− + + ( )F x
0x > 0x− < ( ) 2xf x e mx m− = − +
0x > ( ) 2 2x x x xF x xe e e mx m xe mx m= − + − + = − +
( ) 0F x = 2 0xxe mx m− + =
( ), 2 1xy xe y m x= = − ( ), tt te 9 / 20
的导数为 ，可得切线的斜率为 ，可得切线的方程为 ，
由切线经过点 ，可得 ，解得 或 （舍去），即有切线的斜率为 ，故
，故选：CD.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．如图，在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC 于点 H，若 ，则
______.
【答案】 .
【解析】∵AB＝2，∠ABC＝60°，
∴BH＝1，
∴ ，
∴ λ μ ，，
故 λ ，μ ，故 λ+μ ．
14． 的展开式中常数项为
【答案】-33
xy xe= ( 1) xy x e′ = + ( 1) tt e+ ( 1) ( )t ty te t e x t− = + −
1 ,02
1( 1) 2
t tte t e t − = + − 1t = 1
2
− 2e
2 2 ,m e m e> ∴ >
AH AB BCλ µ= + λ µ+ =
4
3
1
3BH BC=
1
3AH AB BH AB BC= + = + = AB + BC
1= 1
3
= 4
3
=
3 2 61(3 1)( )x x x
− − 10 / 20
【解析】 展开式通项为 ，令 12-3r=0 得：r=4,它的常数项是
令 12-3r=-3 得：r=5,它的 项系数为： ；故 的展开式中常
数项为:
15．如图，已知圆柱和半径为 的半球 ，圆柱的下底面在半球 底面所在平面上，圆柱的上底面内接
于球 ，则该圆柱体积的最大值为______．
【答案】2π
【解析】设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h；
则 h2+r2＝R2＝3；
所以圆柱的体积为 V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；
则 V′（h）＝π（3﹣3h2），
令 V′（h）＝0，解得 h＝1，所以 h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；
h∈（1， ）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；
2 61( )x x
− 2 6 12 3
6 6
1( ) ( ) ( 1)r r r r r rT C x C xx
− −= − = −
4 4
6( 1) 15,C− = 3x− 5 5
6( 1) 6C− = − 3 2 61(3 1)( )x x x
− −
3 ( 6) ( 1) 15 33× − + − × = −
3 O O
O
3 11 / 20
所以 h＝1 时，V（h）取得最大值为 V（1）＝2π．
16．已知函数 ，若푎 = 1，则不等式푓(푥)鈮?的解集为________，若存在实数푏，使函数푔(푥) = 푓
(푥)鈭抌有两个零点，则푎的取值范围是________．
【答案】(鈭掆垶, 2]
【解析】由题意得： ，当 a=1 时， ，
可得：（1）当 时，푓(푥)鈮?，可得 ；（2）当푥 > 1时，푓(푥)鈮?，可得 ，综合可得푓(푥)鈮?的
解集为(鈭掆垶, 2]；
由 ，푔(푥) = 푓(푥)鈭抌只有一个零点时，2푥 = 푥2，可得 ，当푎 = 2时，此时
，푔(푥) = 푓(푥)鈭抌只有一个零点，当푎 < 2时，有两个零点，同理，当푎 = 4时，此时
，푔(푥) = 푓(푥)鈭抌只有一个零点，当푎 > 4时，有两个零点，故可得푎的取值范围是
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，侧棱 ， ．求证：P ABCD− a PD a= 2PA PC a= = 12 / 20
（1） ⊥平面 ；
（2）平面 ⊥平面 ．
【解析】（1） ，
同理可得：
平面 ， 平面
（2） 平面 ， 平面
四边形 为正方形
平面 ， 平面
平面 平面 平面
18．在 中，角 的对边分别为 ， ，且 成等比数列．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 及 的值.
【解析】（1）∵ 成等比数列，∴ ，
PD ABCD
PAC PBD
PD AD a= = 2PA a=
2 2 2PD AD PA∴ + =
PD AD∴ ⊥
PD DC⊥
,AD DC ⊂ ABCD AD DC D= PD∴ ⊥ ABCD
PD ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD AC PD∴ ⊥
ABCD AC BD∴ ⊥
,PD BD ⊂ PBD PD BD D∩ = AC∴ ⊥ PBD
AC ⊂ PAC ∴ PAC ⊥ PBD
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5sin 13B = , ,a b c
1 1
tan tanA C
+
cos 12ac B = ABCS∆ a c+
, ,a b c 2b ac= 13 / 20
由正弦定理得 .
∴
（2）由 得 ，
又 ，所以 ，
∴ 。
∴
由余弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，∴
19．已知椭圆 的左、右顶点分别为 、 ，上、下顶点分别为 、 ，
为坐标原点，四边形 的面积为 ，且该四边形内切圆的方程为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程;
（Ⅱ）若 、 是椭圆 上的两个不同的动点，直线 、 的斜率之积等于 ，试探求 的
面积是否为定值，并说明理由.
【解析】（Ⅰ） 四边形 的面积为 ，又可知四边形 为菱形，
2 25sin sin sin 169A C B= =
( )sin1 1 cos cos sin cos cos sin sin
tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin
C AA C C A C A B
A C A C A C A C A C
+++ = + = = =
5
1313
25 5
169
= =
cos 12ac B = cos 0B >
5sin 13B = 12cos 13B =
2 12 13cosb ac B
= = =
1 1 5 5sin 132 2 13 2ABCS ac B∆ = = × × =
( )22 2 2 2 cos 2 2 cosb a c ac B a c ac ac B= + − = + − −
( ) ( )2 21213 2 13 2 13 5013a c a c= + − × − × × = + −
( )2 63a c+ = 3 7a c+ =
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1A 2A 2B 1B O
1 1 2 2A B A B 4 2 2 4
5x y+ =
C
M N C OM ON 1
4
− OMN∆
1 1 2 2A B A B 4 1 1 2 2A B A B 14 / 20
，即 ①
由题意可得直线 方程为： ，即
四边形 内切圆方程为
圆心 到直线 的距离为 ，即 ②
由①②解得： ，
椭圆 的方程为：
（Ⅱ）若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ， ， ，
由 得：
直线 与椭圆 相交于 两个不同的点，
得： ③
由韦达定理：
直线 的斜率之积等于 ，
1 2 2 42 a b∴ × ⋅ = 2ab =
2 2A B 1x y
a b
+ = 0bx ay ab+ − =
1 1 2 2A B A B 2 2 4
5x y+ =
∴ O 2 2A B 2
5 2 2
2
5
ab
a b
− =
+
2a = 1b =
∴ C
2
2 14
x y+ =
MN MN y kx m= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2
2{
14
y kx m
x y
= +
+ =
( ) ( )2 2 21 4 8 4 1 0k x mkx m+ + + − =
l C ,M N
∴ ( )( )2 2 2 264 16 1 4 1 0m k k m∆ = − + − > 2 21 4 0k m+ − >
( )2
1 2 1 22 2
4 18 ,1 4 1 4
mmkx x x xk k
−
+ = − =+ +
,OM ON 1
4
−
( )( ) ( ) 2 2
1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
1
4
kx m kx m km x x k x x my y
x x x x x x
+ + + + +∴ = = = − 15 / 20
满足③
又 到直线 的距离为 ,
所以 的面积
若直线 的斜率不存在， 关于 轴对称
设 ， ，则 ，
又 在椭圆上， ，
所以 的面积
综上可知， 的面积为定值 .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2
8 4 1 1 4 4 1
44 1 4 1
km mk k m m k m k
m m
⋅ − + − + + −∴ = = −
− −
2 22 4 1m k∴ = +
1 2 1 2 2
4 2, 2kx x x xm m
∴ + = − = −
O MN 21
md
k
=
+
( ) 2
22 2
1 2 1 2 2
16 81 4 1 8kMN k x x x x k m
+= + + − = + −
OMN
( )2 2 2 21 1 116 8 8 16 8 4 4 1 12 2 2S MN d k m k k= ⋅ = + − = + − + =
MN ,M N x
( )1 1,M x y ( )1 1,N x y− 1 1
1 1
1
4
y y
x x
−⋅ = − 2 2
1 14x y=
M
2
21
1 14
x y+ = 1 1
22, 2x y∴ = =
OMN
1 1
1 12 2 2 12 2S y x= × × = × × =
OMN 1 16 / 20
20．设公差不为 0 的等差数列 的首项为 1，且 ， ， 构成等比数列．
求数列 的通项公式，并求数列 的前 n 项和为 ；
令 ，若 对 恒成立，求实数 t 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，首项 ，由题意 ，
则 ,解得 .则 .
，
，
-得
，
.
(2) ,
当 为奇数时， ，
{ }na 2a 5a 14a
( )1 { }na 1
2
n
n
a + nT
( )2 ( )1 2cos 1n n nc a a n π+ += + 2
1 2 nc c c tn+ +…+ ≥ *n N∈
{ }na d 1 1a = 2
5 2 14a a a=
( ) ( )( )21 4 1 1 13d d d+ = + + 2d = ( )1 2 1 2 1na n n= + − = −
2 3
2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1
2 2 2 2n n
nT
× + × + × + += + + + +
( )
2 3 4 1
2 1 11 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1
2 2 2 2 2 2n n n
n nT +
× − +× + × + × + += + + + + +
2 3 1
1 3 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2n n n
nT +
+= + + + + −
1
5 2 5
2 2n
n
+
+= −
2 55 2n n
nT
+∴ = −
( )( ) ( )2 1 2 3 cos 1nc n n n π= + + +
n ( )cos 1 1n π+ =
( ) ( )1 2 3 5 5 7 7 9 9 11 2 1 2 3nc c c n n+ + + = × − × + × − × + + + × + 17 / 20
当 为偶数时， ，
综上所述，
21．某医药开发公司实验室有 瓶溶液，其中 瓶中有细菌 ，现需要把含有细菌 的
溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验 次；
方案二：混合检验，将 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 ，则 瓶溶液全部
不含有细菌 ；若检验结果含有细菌 ，就要对这 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为 .
(1)假设 ，采用方案一，求恰好检验 3 次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 的概率；
(2)现对 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 的概率均为 .
若采用方案一.需检验的总次数为 ,若采用方案二.需检验的总次数为 .
(i)若 与 的期望相等.试求 关于 的函数解析式 ;
(ii)若 ,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求 的最大值.
( )3 5 4 7 11 2 1n= × + × + + + +
( )( )2 8 115 4 4
n n+ −= + × 22 6 7.n n= + +
2 ,nT tn ≥ 2 22 6 7 ,n n tn∴ + + ≥
2
2
7 6 1 3 52 7 ,7 7t n n n
∴ ≤ + + = + + 2.t∴ ≤
n ( )cos 1 1n π+ = −
( ) ( )1 2 3 5 5 7 7 9 9 11 2 1 2 3nc c c n n+ + + = × − × + × − × + − + × +
( ) 24 5 9 13 2 1 2 6 .n n n= − × + + + + + = − −
2 ,nT tn ≥ 2 2 62 6 , 2 ,n n tn t n
∴− − ≥ ∴ ≤ − − 5.t∴ ≤ − 5.t ≤ −
( )*n n N∈ ( )m m N∈ R R
n
n R n
R R n 1n +
5 2n m= =， R
n R (0 1)P p≤ ≤
ξ η
ξ η P n ( )P f n=
1
4P 1 e
−= − n 18 / 20
参考数据：
【解析】（1）记所求事件为 ，“第三次含有细菌 且前 2 次中有一次含有细菌 ”为事件 ，“前三次均不
含有细菌 ”为事件 ，
则 ，且 互斥，
所以
（2） ，
的取值为 ，
，
所以 ，
由 得 ，
所以 ；
（ii） ,所以 ，
所以 ，所以
设 ，
，
当 时， 在 上单调递增；
ln 2 0.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈ ≈ ≈ =
A R R B
R C
A B C= ,B C
1 1 1 3
2 2 3 3
3 3
5 5
1 1 3( ) ( ) ( ) 5 10 10
A A A AP A P B P C A A
= + = + = + =
( ) ( )i E nξ =
η 1, 1n +
( 1) (1 ) , ( 1) 1 (1 )n nP P P n Pη η= = − = + = − −
( ) (1 ) ( 1) 1 (1 ) 1 (1 )n n nE P n P n n Pη = − + + − − = + − −
( ) ( )E Eξ η= 1 (1 )nn n n P= + − −
( )
1
*11 n
P nn
= − ∈ N
1
41P e
−= − 4( ) 1
n
E n n eη −= + − ⋅
4( 1)
n
n n e n
−+ − ⋅ < ln 0,4
nn − >
( ) ln ( 0)4
xf x x x= − >
1 1 4( ) 4 4
xf x x x
−′ = − =
(0,4)x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ > (0,4) 19 / 20
当 时， 在 上单调递减
又 ，
所以 的最大值为 8
22．已知函数 （ 为自然对数的底， ， 为常数且 ）
（1）当 时，讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题知 时， ， ， ，
①当 时，得函数 在 上单调递减；
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
Ⅰ.当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
Ⅱ.当 时，函数 在区间 上单调递增．
（2） 时， ，
则 ，
由（1）知，函数 在区间 上单调递增，
所以当 时， ，即 ，
(4, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ < (4, )+∞
9(8) ln8 2 0, (9) ln9 04f f= − > = − <
n
( ) ( )1ln 2xf x a x be a x a−= + − + + e a b , Ra b∈
0a = ( )f x ( )1,+∞
2b = )[1x∈ +∞， ( ) 0f x ≥ a
0a = ( ) 1 2xf x be x−= − ( ) 1' 2xf x be −= − ( )0x >
0b ≤ ( )f x ( )1, ∞+
0b > ( )' 0f x = 2 1x ln b
= + 2 1 1ln b
+ > 2b <
0 2b< < ( )f x 21, 1ln b
+
2 1,ln b
∞ + +
2b ≥ ( )f x ( )1, ∞+
2b = ( ) ( )12e 2xf x alnx a x a−= + − + +
( ) ( ) ( )1
1 2e 2' 2 2
x
x x a x aaf x e ax x
−
− − + += + − + =
12e 2xy x−= − ( )1, ∞+
1x > 1 02e 2 2e 2 0x x− − > − = 1ex x− > 20 / 20
∴ ．
①当 时， 在区间 上恒成立，即 在 上单调递增，
∴ （合题意）．
②当 时，
由 ，得 ，且 在 上单调递增，
又 ， ， ， ，
故 在 上存在唯一的零点 ，当 时， ，
即 在 上递减，此时 ，知 在 上递减，
此时 与已知矛盾（不合题意），
综上：满足条件的实数 的取值范围是 ．
( ) ( ) ( )( )22 2 2 1' x a x a x a xf x x x
− + + − −> =
2a ≤ ( )' 0f x ≥ )[1 ∞+， ( )f x )[1 ∞+，
( ) ( )1 0f x f≥ =
2a >
( )' 2f x a= − − ( ) 1
2'' 2exaf x x
−= − + ( )''f x )[1 ∞+，
1 0a − > 1 0 1ae e− > = ( )'' 1 2 0f a= − < ( ) 12 1 0af a e −″ = − >
( )''f x ( )1, a 0x )0[1x x∈ ， ( )'' 0f x <
( )'f x ( )01,x x∈ ( ) ( )' ' 1 0f x f≤ = ( )f x ( )01,x x∈
( ) ( )1 0f x f< =
a ( ,2]∞−
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