2020 年南通市海门市东洲国际学校中考数学模拟试卷（六）
一．选择题（共 10 小题）
1．﹣5 的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．
2．浙江省陆域面积为 101800 平方千米，其中数据 101800 用科学记数法表示为（ ）
A．0.1018×105 B．1.018×105 C．0.1018×106 D．1.018×106
3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x6 B．（x3）2＝x6 C．2x+3y＝5xy D．x6÷x3＝x2
4．如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式 3x＜2（x+2）的解是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4
6．作业时间是中小学教育质量综合评价指标的考查要点之一，某班主任随机抽查了本班 6
位学生每天课外作业时间分别是（单位：分）：75，85，95，60，45，120，则这组数据
的中位数是（ ）
A．60 B．75 C．80 D．85
7．分别写有数字 0，﹣1，﹣2，1，3 的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一
张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知梯形 ABCD 中 BC∥AD，AB＝BC＝CD＝ AD，点 A 与原点重合，点 D（4，
0）在 x 轴上，则点 C 的坐标是（ ）A．（3，2） B．（3， ） C．（ ，2） D．（2，3）
9．如图：AB 是 所对的弦，AB 的中垂线 CD 分别交 于 C，交 AB 于 D，AD 的中垂线 EF
分别交 于 E，交 AB 于 F，DB 的中垂线 GH 分别交 于 G，交 AB 于 H，下列结论中
不正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D．EF＝GH
10．如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BE→
ED→DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s，
设 P，Q 出发 t 秒时，△BPQ 的面积为 y（cm2），已知 y 与 t 的函数关系的图象如图 2（曲
线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：
①AB＝6cm；②直线 NH 的解析式为 y＝﹣5t+90；③△QBP 不可能与△ABE 相似；④
当∠PBQ＝30°时，t＝13 秒．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共 6 小题）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝ ．
12．如图，△ABC 中，AB＝BC＝5，AC＝8，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△
DEC，连接 BD，则 BD 的长度为 ．13．如图，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转至△AB′C′（B 与 B′，C 与 C′分别是对
应顶点），使 AB′⊥BC，B′C′分别交 AC，BC 于点 D，E，已知 AB＝AC＝5，BC＝6，
则 DE 的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半
轴上，∠BOC＝60°，顶点 C 的坐标为（m，3 ），反比例函数 y＝ 的图象与菱形对
角线 AO 交于点 D，连接 BD，当 BD⊥x 轴时，k 的值是 ．
15．小鹏早晨到校发现作业忘带，就打电话叫爸爸立即把作业送到学校，小鹏也同时往家赶，
两人相遇后，小鹏以原速度返回学校，爸爸则以原速度的 返回家．设爸爸行走的时间
为 x 分钟，小鹏和爸爸两人之间的距离为 y 米，y 与 x 的函数关系如图所示，则当小鹏回
到学校时，爸爸还需要 分钟才能到家．
16．现有一张五边形的钢板 ABCDE 如图所示，∠A＝∠B＝∠C＝90°，现在 AB 边上取一点 P，分别以 AP，BP 为边各剪下一个正方形钢板模型，所剪得的两个正方形面积和的
最大值为 m2．
三．解答题（共 7 小题）
17．计算： ．
18．某校允许学生在同个系列的校服里选择不同款式，新生入学后，学校就新生对校服款式
选择情况作了抽样调查，调查分为款式 A、B、C、D 四种，每位新生只能选择一种款式，
现将调查统计结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问
题：
（1）在本次调查中，一共抽取了多少名新生，并补全条形统计图；
（2）若该校有 847 名新生，服装厂已生产了 270 套 B 款式的校服，请你按相关统计知识
判断是否还要继续生产 B 款式的校服．
19．在平面直角坐标系中，关于 x 的一次函数的图象经过点 M（4，7），且平行于直线 y＝
2x．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点 N（a，b）是该一次函数图象上的点，且点 N 在直线 y＝3x+2 的下方，求 a 的
取值范围．20．如图，BE 是△ABC 的角平分线，延长 BE 至 D，使得 BC＝CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若 AB＝2，BC＝4，AE＝1，求 CE 长．
21．我区中小学生广播操比赛中，无人机对此次比赛的全过程进行了航拍，如图，某一时刻，
无人机刚好飞至小琪头顶上方，而站在离小琪 35 米远的小珺仰望无人机，仰角为 36°，
已知小珺的眼睛离地面的距离 AB 为 1.63m，那么此时无人机离地面大约有多高？（结果
精确到 0.1m）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
22．已知：二次函数 y＝ax2+bx 满足下列条件：①抛物线 y＝ax2+bx 与直线 y＝x 只有一个
交点；②对于任意实数 x，a（﹣x+5）2+b（﹣x+5）＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）都成立．
（1）求二次函数 y＝ax2+bx 的解析式；
（2）若当﹣2≤x≤r（r≠0）时，恰有 t≤y≤1.5r 成立，求 t 和 r 的值．
23．如图，∠BAO＝90°，AB＝8，动点 P 在射线 AO 上，以 PA 为半径的半圆 P 交射线 AO
于另一点 C，CD∥BP 交半圆 P 于另一点 D，BE∥AO 交射线 PD 于点 E，EF⊥AO 于点
F，连结 BD，设 AP＝m．
（1）求证：∠BDP＝90°．
（2）若 m＝4，求 BE 的长．
（3）在点 P 的整个运动过程中．
①当 AF＝3CF 时，求出所有符合条件的 m 的值．②当 tan∠DBE＝ 时，直接写出△CDP 与△BDP 面积比．参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．﹣5 的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣5 D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除 0 外，
互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
【解答】解：﹣5 的相反数是 5．
故选：A．
2．浙江省陆域面积为 101800 平方千米，其中数据 101800 用科学记数法表示为（ ）
A．0.1018×105 B．1.018×105 C．0.1018×106 D．1.018×106
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：101800 用科学记数法表示为：1.018×105，
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x6 B．（x3）2＝x6 C．2x+3y＝5xy D．x6÷x3＝x2
【分析】根据同类项、幂的乘方和同底数幂的除法计算判断即可．
【解答】解：A、x2 与 x3 不是同类项，不能合并，错误；
B、（x3）2＝x6，正确；
C、2x 与 3y 不是同类项，不能合并，错误；
D、x6÷x3＝x3，错误；
故选：B．
4．如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A． B． C． D．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层
小正方体的层数和个数，进而得出答案．
【解答】解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，
主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此
几何体如图所示： ．
故选：B．
5．不等式 3x＜2（x+2）的解是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞4 D．x＜4
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可
得．
【解答】解：3x＜2（x+2），
3x＜2x+4，
3x﹣2x＜4，
x＜4，
故选：D．
6．作业时间是中小学教育质量综合评价指标的考查要点之一，某班主任随机抽查了本班 6
位学生每天课外作业时间分别是（单位：分）：75，85，95，60，45，120，则这组数据
的中位数是（ ）
A．60 B．75 C．80 D．85【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的
平均数）为中位数．
【解答】解：从小到大排列此数据为：45、60、75、85、95、120，处在第 3、4 位两个
数的平均数为中位数．
所以本题这组数据的中位数是（75+85）÷2＝80．
故选：C．
7．分别写有数字 0，﹣1，﹣2，1，3 的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一
张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．
【解答】解：∵五张卡片分别标有 0，﹣1，﹣2，1，3 五个数，数字为负数的卡片有 2
张，
∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为 ．
故选：B．
8．如图，已知梯形 ABCD 中 BC∥AD，AB＝BC＝CD＝ AD，点 A 与原点重合，点 D（4，
0）在 x 轴上，则点 C 的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（3， ） C．（ ，2） D．（2，3）
【分析】根据题意得出 AF＝1，EF＝BC＝AB＝CD＝2，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：过点 B 作 BF⊥AD，于点 F，过点 C 作 CE⊥AD 于点 E，
∵梯形 ABCD 中 BC∥AD，AB＝BC＝CD＝ AD，点 A 与原点重合，点 D（4，0）在 x
轴上，
∴DE＝AF＝ EF，
∴AF＝1，EF＝BC＝AB＝CD＝2，∴CE＝ ＝ ．
则点 C 的坐标是：（3， ）．
故选：B．
9．如图：AB 是 所对的弦，AB 的中垂线 CD 分别交 于 C，交 AB 于 D，AD 的中垂线 EF
分别交 于 E，交 AB 于 F，DB 的中垂线 GH 分别交 于 G，交 AB 于 H，下列结论中
不正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D．EF＝GH
【分析】由 AB 是 所对的弦，AB 的中垂线 CD 分别交 于 C，交 AB 于 D，AD 的中
垂线 EF 分别交 于 E，交 AB 于 F，DB 的中垂线 GH 分别交 于 G，根据垂径定理与
弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：连接 EG，AE，
∵AB 的中垂线 CD 分别交 于 C，
∴ ＝ ，故 A 正确；
∵AD 的中垂线 EF 分别交 于 E，交 AB 于 F，DB 的中垂线 GH 分别交 于 G，
∴ ＝ ，故 B 正确；
∴四边形 EFHG 是矩形，
∴EF＝GH，故 D 正确．
∵AE＞AF＝DF，∴AE＞EC，
∴ ＞ ，故 C 错误．
故选：C．
10．如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BE→
ED→DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s，
设 P，Q 出发 t 秒时，△BPQ 的面积为 y（cm2），已知 y 与 t 的函数关系的图象如图 2（曲
线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：
①AB＝6cm；②直线 NH 的解析式为 y＝﹣5t+90；③△QBP 不可能与△ABE 相似；④
当∠PBQ＝30°时，t＝13 秒．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点 P 到达点 E 时
点 Q 到达点 C，从而得到 BC、BE 的长度，再根据 M、N 是从 5 秒到 7 秒，可得 ED 的
长度，然后表示出 AE 的长度，根据勾股定理求出 AB 的长度，然后针对各小题分析解答
即可．
【解答】解：①根据图（2）可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C，
∵点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/s，
∴BC＝BE＝10cm，S△BCE＝ BC•AB＝30，
∴AB＝6cm，故①正确；
②根据 10﹣12 秒面积不变，可得 ED＝2，
当点 P 运动到点 C 时，面积变为 0，此时点 P 走过的路程为 BE+ED+DC＝18，
故点 H 的坐标为（18，0），设直线 NH 的解析式为 y＝kx+b，
将点 H（18，0），点 N（12，30）代入可得： ，
解得： ．
故直线 NH 的解析式为：y＝﹣5t+90，故②正确；
③当△ABE 与△QBP 相似时，点 P 在 DC 上，由勾股定理，得 AE＝8，如图 2 所示：
∵tan∠BPQ＝tan∠ABE＝ ＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：t＝ ，
∵BQ＝10cm，PQ＝7.5cm，大于 DC（DC＝6cm），
∴不可能；故③正确；
④如图 2 所示，tan∠PBQ＝ ＝ ＝ ，
解得 t＝ ，故④错误；
综上可得①②③正确．
故选：C．
二．填空题（共 6 小题）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝ a（a﹣3b）（a+3b） ．
【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．如图，△ABC 中，AB＝BC＝5，AC＝8，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△
DEC，连接 BD，则 BD 的长度为 4 ﹣3 ．【分析】如图连接 AD、延长 DB 交 AC 于 H．只要证明 DH⊥AC，求出 DH，BH 即可解
决问题．
【解答】解：如图连接 AD、延长 DB 交 AC 于 H．
∵将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△DEC，
∴AC＝DC，∠ACD＝60°，
∴△ADC 是等边三角形，
∴AD＝DC，
在△DBA 和△DBC 中，
，
∴△DBA≌△DBC，
∴∠ADB＝∠CDB，∵DA＝DC，
∴DH⊥AC，AH＝CH＝4，
易知 DH＝ ×8＝4 ，BH＝ ＝ ＝3，
∴DB＝DH﹣BH＝4 ﹣3，
故答案为 4 ﹣3．
13．如图，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转至△AB′C′（B 与 B′，C 与 C′分别是对
应顶点），使 AB′⊥BC，B′C′分别交 AC，BC 于点 D，E，已知 AB＝AC＝5，BC＝6，
则 DE 的长为 ．【分析】由 AB＝AC，AB'⊥BC 可得 BF，AF，B'F 的长，根据三角函数可得 EF 的长，由
此 CE 的长，再由三角函数可得 DE 的长
【解答】解：如图
∵AB＝AC＝5，AB'⊥BC
∴BF＝CF＝ BC＝3，∠B＝∠C
∴根据勾股定理得：AF＝4
∵旋转，
∴AB＝AB'＝5，∠B＝∠B'
∴B'F＝1，
∵tan∠B＝
∴tan∠B'＝
∴EF＝
∴EC＝FC﹣EF＝
∵∠B'+∠BEB'＝90°，且∠C＝∠B＝∠B'，∠BEB'＝∠CED
∴∠C+∠DEC＝90°
∵sin∠C＝sin∠B
∴
∴DE＝
故答案为：14．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半
轴上，∠BOC＝60°，顶点 C 的坐标为（m，3 ），反比例函数 y＝ 的图象与菱形对
角线 AO 交于点 D，连接 BD，当 BD⊥x 轴时，k 的值是 ﹣12 ．
【分析】延长 AC 交 y 轴于 E，如图，根据菱形的性质得 AC∥OB，则 AE⊥y 轴，再由∠
BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 CE＝
OE＝3，OC＝2CE＝6，接着根据菱形的性质得 OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，于是在 Rt△
BDO 中可计算出 BD＝ OB＝2 ，所以 D 点坐标为（﹣6，2 ），然后利用反比例
函数图象上点的坐标特征可求出 k 的值．
【解答】解：延长 AC 交 y 轴于 E，如图，
∵菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，
∴AC∥OB，
∴AE⊥y 轴，
∵∠BOC＝60°，
∴∠COE＝30°，
而顶点 C 的坐标为（m，3 ），
∴OE＝3 ，
∴CE＝ OE＝3，
∴OC＝2CE＝6，
∵四边形 ABOC 为菱形，
∴OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，
在 Rt△BDO 中，
∵BD＝ OB＝2 ，
∴D 点坐标为（﹣6，2 ），∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 D，
∴k＝﹣6×2 ＝﹣12 ．
故答案为﹣12 ．
15．小鹏早晨到校发现作业忘带，就打电话叫爸爸立即把作业送到学校，小鹏也同时往家赶，
两人相遇后，小鹏以原速度返回学校，爸爸则以原速度的 返回家．设爸爸行走的时间
为 x 分钟，小鹏和爸爸两人之间的距离为 y 米，y 与 x 的函数关系如图所示，则当小鹏回
到学校时，爸爸还需要 2.5 分钟才能到家．
【分析】根据题意和函数图象可以求得小明爸爸刚开始的速度，从而可以起求得当小鹏
回到学校时，爸爸还需要的时间．
【解答】解：设爸爸从家到与小明相遇的过程中的速度为 a 米/分钟，由题意和图象可得，
，
解得，a＝120，
∴当小鹏回到学校时，爸爸还需要： ＝2.5（分钟），
故答案为：2.5．
16．现有一张五边形的钢板 ABCDE 如图所示，∠A＝∠B＝∠C＝90°，现在 AB 边上取一
点 P，分别以 AP，BP 为边各剪下一个正方形钢板模型，所剪得的两个正方形面积和的
最大值为 14.5 m2．【分析】设 PB＝x，两个正方形面积和为 S，作辅助线，计算以 PB 为正方形时的最大边
长为 3.5m，根据面积公式表示 S，根据二次函数的增减性可得 S 的最大值．
【解答】解：过 D 作 DF∥BC，过 E 作 EF⊥BC，则 EF＝DF＝2，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
设 PB＝x，两个正方形面积和为 S，则 NG＝DG＝x﹣3，
∵BM＝BC﹣CM＝4﹣（x﹣3）＝7﹣x，
由 BM＝MN 得：7﹣x＝x，
x＝3.5，
∴3≤x≤3.5，
S＝（5﹣x）2+x2＝2x2﹣10x+25＝2（x﹣2.5）2+12.5，
当 x＝3.5 时，S 有最大值，S＝2×（3.5﹣2.5）2+12.5＝14.5，
故答案为：14.5．
三．解答题（共 7 小题）
17．计算： ．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意（﹣1）2008＝1，（ ）﹣1＝4．
【解答】解：原式＝1﹣4+4﹣ ＝ ．
18．某校允许学生在同个系列的校服里选择不同款式，新生入学后，学校就新生对校服款式选择情况作了抽样调查，调查分为款式 A、B、C、D 四种，每位新生只能选择一种款式，
现将调查统计结果制成了如下两幅不完整的统计图，请结合这两幅统计图，回答下列问
题：
（1）在本次调查中，一共抽取了多少名新生，并补全条形统计图；
（2）若该校有 847 名新生，服装厂已生产了 270 套 B 款式的校服，请你按相关统计知识
判断是否还要继续生产 B 款式的校服．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查中抽取的学生数，并计算出选择 C
款式的学生，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以计算出该校需要的 B 款式的校服数然后与 270 比较即可
解答本题．
【解答】解：（1）在本次调查中，一共抽取的学生有：20÷40%＝50（名），
选择 C 款式的有：50﹣10﹣20﹣5＝15（名），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）∵847×40%＝338.8＞270，
∴该服装厂还要继续生产 B 款式的校服．19．在平面直角坐标系中，关于 x 的一次函数的图象经过点 M（4，7），且平行于直线 y＝
2x．
（1）求该一次函数表达式．
（2）若点 N（a，b）是该一次函数图象上的点，且点 N 在直线 y＝3x+2 的下方，求 a 的
取值范围．
【分析】（1）根据两直线平行可知该一次函数斜率 k＝2，设出解析式，将点 P 的坐标代
入即可；
（2）根据直线上的点 N（a，b）在直线 y＝3x+2 的下方可得 2a﹣1＜3a+2，解不等式可
得 a 的范围．
【解答】解：（1）∵一次函数的图象平行于直线 y＝2x，
∴可设该一次函数解析式为 y＝2x+b，
将点 M（4，7）代入得：8+b＝7，
解得：b＝﹣1，
故一次函数解析式为：y＝2x﹣1；
（2）∵点 N（a，b）是该一次函数图象上的点，
∴b＝2a﹣1，
又∵点 N 在直线 y＝3x+2 的下方，
∴2a﹣1＜3a+2，
解得：a＞﹣3．
20．如图，BE 是△ABC 的角平分线，延长 BE 至 D，使得 BC＝CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若 AB＝2，BC＝4，AE＝1，求 CE 长．
【分析】（1）根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出∠CDE＝∠ABE，结合
对顶角相等，即可证出△AEB∽△CED；
（2）根据相似三角形的性质，即可得出 ＝ ，代入数据即可求出 CE 的长度．
【解答】（1）证明：∵BE 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BC＝CD，
∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABE．
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵BC＝4，BC＝CD，
∴CD＝4．
∵△CED∽△AEB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝2．
21．我区中小学生广播操比赛中，无人机对此次比赛的全过程进行了航拍，如图，某一时刻，
无人机刚好飞至小琪头顶上方，而站在离小琪 35 米远的小珺仰望无人机，仰角为 36°，已知小珺的眼睛离地面的距离 AB 为 1.63m，那么此时无人机离地面大约有多高？（结果
精确到 0.1m）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）
【分析】根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得 CE 的长，由 AB＝ED，从而可以求
得 CD 的长，本题得以解决．
【解答】解：作 AE⊥CD 于点 E，
由题意可得，
AE＝35m，AB＝1.63m，∠CAE＝36°，
∵tan∠CAE＝ ，
∴0.73＝ ，得 CE＝25.55，
∴CD＝CE+ED＝25.55+1.63＝27.18≈27.2，
即此时无人机离地面大约有 27.2m．
22．已知：二次函数 y＝ax2+bx 满足下列条件：①抛物线 y＝ax2+bx 与直线 y＝x 只有一个
交点；②对于任意实数 x，a（﹣x+5）2+b（﹣x+5）＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）都成立．
（1）求二次函数 y＝ax2+bx 的解析式；
（2）若当﹣2≤x≤r（r≠0）时，恰有 t≤y≤1.5r 成立，求 t 和 r 的值．
【分析】（1）由①联立方程组，根据抛物线 y＝ax2+bx 与直线 y＝x 只有一个交点可以求
出 b 的值，由②可得对称轴为 x＝1，从而得 a 的值，进而得出二次函数解析式；
（2）进行分类讨论，分别求出 t 和 r 的值．【解答】解：（1）y＝ax2+bx 与 y＝x 联立得：
ax2+（b﹣1）x＝0，
∵抛物线 y＝ax2+bx 与直线 y＝x 只有一个交点，
∴△＝0，
∴（b﹣1）2＝0，解得 b＝1．
∵对称轴为： ＝1，
∴﹣ ＝1，
∴a＝﹣ ．
∴二次函数解析式为：y＝﹣ x2+x．
（2）因为 y＝﹣ x2+x＝﹣（x﹣1）2+ ，
所以顶点坐标为（1， ）．
当﹣2＜r＜1，且 r≠0 时，
当 x＝r 时，y 最大＝﹣ r2+r＝1.5r，解得 r＝﹣1，
当 x＝﹣2 时，y 最小＝﹣4，
所以，这时 t＝﹣4，r＝﹣1．
当 r≥1 时，
y 最大＝ ，所以 1.5r＝ ，
所以 r＝ ，不符合题意，舍去，
综上所述，t＝﹣4，r＝﹣1．
23．如图，∠BAO＝90°，AB＝8，动点 P 在射线 AO 上，以 PA 为半径的半圆 P 交射线 AO
于另一点 C，CD∥BP 交半圆 P 于另一点 D，BE∥AO 交射线 PD 于点 E，EF⊥AO 于点
F，连结 BD，设 AP＝m．
（1）求证：∠BDP＝90°．
（2）若 m＝4，求 BE 的长．
（3）在点 P 的整个运动过程中．
①当 AF＝3CF 时，求出所有符合条件的 m 的值．②当 tan∠DBE＝ 时，直接写出△CDP 与△BDP 面积比．
【分析】（1）由 PA＝PC＝PD 知∠PDC＝∠PCD，再由 CD∥BP 知∠BPA＝∠PCD、∠
BPD＝∠PDC，据此可得∠BPA＝∠BPD，证△BAP≌△BDP 即可得；
（2）易知四边形 ABEF 是矩形，设 BE＝AF＝x，可得 PF＝x﹣4，证△BDE≌△EFP 得
PE＝BE＝x，在 Rt△PFE 中，由 PF2+FE2＝PE2，列方程求解可得答案；
（3）①分点 C 在 AF 的左侧和右侧两种情况求解：左侧时由 AF＝3CF 知 CF＝AP＝PC
＝m、PF＝2m、PE＝BE＝AF＝3m，在 Rt△PEF 中，由 PF2+EF2＝PE2 可得关于 m 的方
程，解之可得；右侧时，由 AF＝3CF 知 CF＝ AP＝ PC＝ m、PF＝ m、PE＝BE＝
AF＝ m，利用勾股定理求解可得．
②作 DG⊥AC 于点 G，延长 GD 交 BE 于点 H，由△BAP≌△BDP 知 S△BDP＝S△BAP＝
AP•AB，据此可得 ＝ ＝ ，再分点 D 在矩形内部和外部的情况求解可
得．
【解答】解：（1）如图 1，
∵PA＝PC＝PD，
∴∠PDC＝∠PCD，
∵CD∥BP，
∴∠BPA＝∠PCD、∠BPD＝∠PDC，
∴∠BPA＝∠BPD，∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP，
∴∠BDP＝∠BAP＝90°．
（2）∵∠BAO＝90°，BE∥AO，
∴∠ABE＝∠BAO＝90°，
∵EF⊥AO，
∴∠EFA＝90°，
∴四边形 ABEF 是矩形，
设 BE＝AF＝x，则 PF＝x﹣4，
∵∠BDP＝90°，
∴∠BDE＝90°＝∠PFE，
∵BE∥AO，
∴∠BED＝∠EPF，
∵△BAP≌△BDP，
∴BD＝BA＝EF＝8，
∴△BDE≌△EFP，
∴PE＝BE＝x，
在 Rt△PFE 中，PF2+FE2＝PE2，即（x﹣4）2+82＝x2，
解得：x＝10，
∴BE 的长为 10．
（3）①如图 1，当点 C 在 AF 的左侧时，
∵AF＝3CF，则 AC＝2CF，
∴CF＝AP＝PC＝m，
∴PF＝2m，PE＝BE＝AF＝3m，
在 Rt△PEF 中，由 PF2+EF2＝PE2 可得（2m）2+82＝（3m）2，
解得：m＝ （负值舍去）；
如图 2，当点 C 在 AF 的右侧时，∵AF＝3CF，
∴AC＝4CF，
∴CF＝ AP＝ PC＝ m，
∴PF＝m﹣ m＝ m，PE＝BE＝AF＝m+ m＝ m，
在 Rt△PEF 中，由 PF2+EF2＝PE2 可得（ m）2+82＝（ m）2，
解得：m＝4 （负值舍去）；
综上，m 的值为 或 4 ；
②如图 3，过点 D 作 DG⊥AC 于点 G，延长 GD 交 BE 于点 H，
∵△BAP≌△BDP，
∴S△BDP＝S△BAP＝ AP•AB，
又∵S△CDP＝ PC•DG，且 AP＝PC，
∴ ＝ ＝ ，
当点 D 在矩形 ABEF 的内部时，
由 tan∠DBE＝ ＝ 可设 DH＝5x、BH＝12x，
则 BD＝BA＝GH＝13x，
∴DG＝GH﹣DH＝8x，则 ＝ ＝ ＝ ；
如图 4，当点 D 在矩形 ABEF 的外部时，
由 tan∠DBE＝ ＝ 可设 DH＝5x、BH＝12x，
则 BD＝BA＝GH＝13x，
∴DG＝GH+DH＝18x，
则 ＝ ＝ ＝ ，
综上，△CDP 与△BDP 面积比为 或 ．
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