四川省宜宾市2020届高三数学（文）第二次诊断试题（Word版含答案）

宜宾市普通高中 2017 级高三第二次诊断测试 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答 题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴 好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的。 1．设 是虚数单位，则 A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 A． B． C． D． 3．2019 年底，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各省（市、区）在 春节期间相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表 示 1 月 21 日至 3 月 7 日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列 表述错误的是 A．2 月下旬新增确诊人数呈波动下 降趋势 B．随着全国医疗救治力度逐渐加 大，2 月下旬单日治愈人数超过 确诊人数 C．2 月 10 日至 2 月 14 日新增确诊 人数波动最大 D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊 人数在 2 月 12 日左右达到峰值 4．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 5．如图，为了估计函数 的图象与直线 以 及 轴 所 围 成 的 图 形 面 积 ( 阴 影 部 分 ) ， 在 矩 形 中随机产生 个点，落在阴影部分的样本点 数为 个，则阴影部分面积的近似值为 A． B． i =−+ )i23)(i32( 13 i5 i66 − i512 + 2{ 2, 1,0,1,2}, { | 6 0}A B x x x= − − = − − < A B = { }3,2,1,0,1,2 −− { }2,1,0,1,2 −− { }2,1,0,1− { },1,0,1,2 −− 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 4 3y x= 5 3 4 3 5 4 3 2 2y x= 1, 1x x= − = x ABCD 1000 303 0.698 0.606 第 3 题图C． D． 6．函数 的图像大致为 A． B． C． D． 7．20 世纪产生了著名的“ ”猜想：任给一个正整数 ， 如果 是偶数，就将它减半；如果 是奇数，则将它乘 加 ， 不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 .如图 是验证“ ”猜想的一个程序框图，若输入正整数 的 值为 ，则输出的 的值是 A． B． C． D． 8．已知 ， A． B． C． D． 9．四棱锥 所有棱长都相等， 分别为 的中点，下列说法错误的是 A． 与 是异面直线 B． 平面 C． D． 10．在 中，角 的平分线交边 于 ， ，则 的面积是 A． B． C． D． 11．过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ，交抛物线的准线于点 ，若 ，则 A. B. C. D. 12．若定义在 上的偶函数 满足 .当 ， ，则 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．函数 的零点个数为_________. 14．已知 为奇函数，则 _________. 15 ． 在 中 ， 已 知 是 边 的 垂 直 平 分 线 上 的 一 点 ， 则 ＝ _________. 16．已知圆锥的顶点为 ，过母线 ， 的切面切口为正三角形， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_________． 0.303 0.151 π( ) cos( )2f x x x= − 3 1x + x x x 3 1 1 3 1x + m 40 n 11 10 9 8 π 1tan( )2 4 2 θ − = =θsin 3 10 10 5 5 3 5 1 3 ABCDP − NM , CDPA, MN PD //MN PBC ACMN // PBMN ⊥ ABC∆ A BC D 2,8,4 === BDACAB ABD∆ 15 153 1 3 yx 122 = F ,A B C FBAF 3= =BC 4 34 6 8 R )(xf 0)2()( =−+ xfxf [ ]1,0∈x 21)( xxf −= )3(log)2 5()2(log 2 3 1 fff >> )3(log)2(log)2 5( 2 3 1 fff >> )2 5()3(log)2(log 2 3 1 fff >> )2(log)3(log)2 5( 3 12 fff >> 3 21 4( ) 2 33 3f x x x x= + + + mxxxf ++= sin)( π( )2f = ABC∆ 3, 2,AB AC P= = BC BC AP⋅  S SA SB SA 30° SAB∆ 4 3 第 7 题图 第 5 题图三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17．（12 分） 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速 度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感 每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高 峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春 期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据： 年龄（ ） 患病人数（ ） （1）求 关于 的线性回归方程； （2）计算变量 的相关系数 （计算结果精确到 ），并回答是否可以认为该幼儿园去 年 春 期 患 流 感 人 数 与 年 龄 负 相 关 很 强 ？ （ 若 ， 则 相 关 性 很 强 ； 若 ，则 相关性一般；若 ，则 相关性较弱.） 参考数据： 参考公式: ，相关系数 18.（12 分） 已知数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 . ．(12 分) 将 棱 长 为 的 正 方 体 截 去 三 棱 锥 后得到如图所示几何体， 为 的中点. （1）求证 平面 ； （2）求几何体 的体积. 20．(12 分) 已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； x 2 3 4 5 6 y 22 22 17 14 10 y x yx, r 01.0 [ ]1,75.0∈r yx, [ )75.0,3.0∈r yx, [ ]25.0,0∈r yx, 477.530 ≈ xbya xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii ˆˆ, )( ))(( ˆ 1 22 1 1 2 1 −= − − = − −− = ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ∑∑ ∑ == = −− −− = n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 )()( ))(( { }na 1 2 3 1 2 3 2 5 2 5 2 5 2 5 3n n n a a a a + + + + =− − − − { }na 1 1 n na a +       n nT nT 19 2 1111 DCBAABCD − ACDD −1 O 11CA //OB 1ACD 111 DAACB 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( 1,0)F − 2 2 C 第 19 题 图（2）设 为坐标原点， 为直线 上一点，过 作 的垂线交椭圆于 .当四边 形 是平行四边形时，求四边形 的面积． 21．（12 分） 已知函数 . 证明： （1）函数 在 上是单调递增函数； （2）对任意实数 ，若 ，则 ． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。 22．(10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系 中，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方 程为 ，设 与 交于 两点， 中点为 , 的垂直平分线交 于 .以 为坐标原点，极轴为 轴正半轴，建立直角坐标系 . （1）求 的直角坐标方程及点 的直角坐标； （2）求证： . 23．(10 分）[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）若存在实数 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围． 宜宾市普通高中 2017 级高三第二次诊断试题(文科数学)参考 答案 说明： O T 2x = − F TF ,P Q OPTQ OPTQ 21( ) e 2 xf x x x= − + ( )f x R 1 2,x x 1 2( ) ( ) 2f x f x+ = 1 2 0x x+ < Ox C 2 2 sin 2 sin ρ ρ θ ρ θ = + − l ( )cos sin 1ρ θ θ− = l C ,A B AB M AB C ,E F O x xOy C M MFMEMBMA ⋅=⋅ 321)( +−−= xxxf 1)( ( )f x′ ( ) 0f x′′ < 0x < ( )f x′ min( ) (0) 2 0f x f′ = = > ( )f x R 1 2( ) ( ) 2f x f x+ = 0 2( )f = ( )f x R 1 20x x< < 2( ) ( ) ( ) e e ( 0)x xg x f x f x x x−= + − = + − < ( ) e e 2x xg x x−′ = − − ( ) e e 2 0x xg x −′′ = + − ≥ ( )( 0)y g x x′= < ( ) (0) 0g x g′ ′< = ( )( 0)y g x x= < 1 0,x < 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) (0) 2 ( ) ( )g x f x f x g f x f x= + − > = = + 1 2( ) ( )f x f x− > ( )f x R 1 2x x− > 1 2 0x x+ < 2 2 2 2: 2 2, + 12 xC x y y+ = =即 : 1l y x= −联立 的方程得; ,解得 . . ∙∙∙5 分 （2）由（1）得 . 又设 的垂直平分线 代入 的方程得： ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23 解：（1） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 当 时， 解得 . 当 时， 解得 . 当 时， 解得 . 综上得 或 . ∴不等式的解集为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）∵存在实数 ，不等式 成立, ∴存在实数 ，不等式 成立. ∴存在实数 ，不等式 成立. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 又∵ , ∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ∴ ,解得 .∴ 的范围是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 C l与 23 4 0x x− = ( ) 4 10, 1 , ( , )3 3A B− 2 1( , )3 3M∴ − 2 2 ,3MA MB= = 9 8=⋅∴ MBMA AB 2 2 ,3 2: 1 2 ,3 2 x t EF y t  = −  = − + C 23 4 2 4 02 3 3t t− − = 9 8 2 3 3 4 = − =⋅∴ MFME MFMEMBMA ⋅=⋅∴ 7, 1 ( ) 1 2 3 3 5, 3 1 7, 3 x x f x x x x x x x − − ≥ = − − + = − − − <