吉林省吉林市2020届高三数学（文）4月第三次调研试卷（Word版含答案）

数学文科 第 1 页（共 6 页） 吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求。 1. 已知集合 , ，则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ，则 = A. B. C. D. 3. 已知向量 ，若 ，则 A. B. C. D. 4. 双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. {-1,0,1,2}A = { | 1 0}B x x= − < A B = {2} { 1,0}− {0,1} { 1,0,1}− z iz 1 1= − z i1 1 2 2 − i1 1 2 2 + i1 1 2 2 − + i1 1 2 2 − − ( ,3), (3, 3)a x b= = a b⊥  x = 3− 3 1− 1 x yC a b 2 2 2 2: 1− = 3 0x y− = 3 2 5 3 ★ 保 密数学文科 第 2 页（共 6 页） 5. 已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件 是 A. ∥ B. ∥ C. ∥ ∥ D. 6. 等差数列 的前 项和为 ，若 , ,则 A. B. C. D. 7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 8. 已知函数 的一条对称轴为 ，则函数 的对称轴 不可能为 A. B. C. D. 9. 已知数列 为各项均为正数的等比数列，若 ，且 ，则 A. B. 或 C. D. 10. 已知 ，则 的大小关系是 A. B. m n, ,α β α β⊥ m n m n, ,α β⊂ ⊂ m n m n, ,α β⊥ ⊥ m n m,⊥ n,α β m n m,⊥ n,α β⊥ ⊥ na{ } n nS 53 4a a+ = 15 60S = 20a = 4 6 10 12 10 3 3 8 3 7 3 ( ) cos(2 )(| | )2f x x πϕ ϕ= − < 3x π= ( )f x 6x π= − 5 6x π= 4 3x π= 6x π= na{ } a a a76 8 26+ + = a a5 9 36⋅ = a a a76 8 1 1 1+ + = 13 18 13 18 19 36 13 9 13 6 ba b c a0.2 1 2 1( )2 , log 0.2,= = = a b c, , a b c< < c a b< < 2 2 2 1 正视图 俯视图 侧视图数学文科 第 3 页（共 6 页） C. D. 11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽为《周碑算经》一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角 三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造 如图（2）所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小正三角形组成的一个大 正三角形，设 ,若在大正三角形中随机取一点，则此点取自小正三角形的概率 为 A. B. C. D. 12. 设点 为椭圆 上一点， 、 分别是椭圆 的左、右焦点，且 的重心为点 ，如果 ，那么 的面积为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 若点 在角 的终边上，且 （点 为坐标原点），则点 的坐标为 . 14. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，得到 5 组 数据 根据收集到的数据可知 ，由最小 二乘法求得回归直线方程为 ，则 . 15. 已知两圆相交于两点 ，若两圆圆心都在直线 上，则 的 值是 . a c b< < b c a< < AC C A′ ′ ′= 3 3 1 3 7 7 1 7 P 2 2 : 125 16 x yC + = 1F 2F C 1 2PF F∆ G 1 2| |:| | 2 : 3PF PF = 1GPF∆ 4 2 3 2 2 8 2 3 3 2 P 5 6 π | | 2OP = O P 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),x y x y x y x y x y 60y = ˆ 0.6 48y x= + 1 2 3 4 5x x x x x+ + + + = ( ,3), ( 1,1)A a B − x y b 0+ + = a b+ A B C A B C 图（1） 图（2）数学文科 第 4 页（共 6 页） 16. 已知函数 ，若实数 满足 ， ,则 的取值范围为 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17.（12 分） 在 中，角 的对边分别为 ，且 的面积为 . （1）求角 的大小； （2）若 求 ． 18.（12 分） 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学 生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对 高三年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 小时的有 19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 ，统计成绩后得到如下 列联表： 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 4 19 线上学习时间不足 5 小时 合计 45 （1）请完成上面 列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学 生线上学习时间有关”； （2）在上述样本中从分数不少于 120 分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习 时间不少于 5 小时和线上学习时间不足 5 小时的学生共 5 名，若在这 5 名学生中随机抽取 2 人，求至少 1 人每周线上学习时间不足 5 小时的概率. （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2 ln , 1 ( ) 1 3 , 12 2 x x f x x x + ≥=  + F C A B | | 8AB = C ,A B C 2( ) ln ( 1) 1( , ).f x x ax a b x b a b R= − + − − + + ∈ 0a = ( )f x 1[ , ]x ee ∀ ∈ ( ) 0f x ≤ a A B CD EF P数学文科 第 6 页（共 6 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为 极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）设 为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 ,射线 交曲线 分别于 ，求 面积的最小值，并求此时四边形 的面积. 23.（10 分） 已知 均为正实数，函数 的最小值为 . 证明：（1） ； （2） . xOy 1C 3cos sin x y α α  = = α O x 2C sin( ) 26 πρ θ + = 1C 2C ,A B 1C 2AOB π∠ = ,OA OB 2C ,D C AOB∆ ABCD , ,a b c 22 2 1 1 1( ) | | | | 4f x x x ca b = + + − + 1 2 2 24 9a b c+ + ≥ 1 1 1 12 2ab bc ac + + ≤数学文科 第 7 页（共 6 页） 吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第三次调研测试 文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B A B D C A D A B D C 二、填空题 13. ; 14. 100； 15. -1； 16. 三、解答题 17.解： (1) 由 已 知 得 = ------------------------------------------2 分 , ---------------------------------------------4 分 -----------------------------------------------------------6 分 (2) 由 正 弦 定 理 得 即 --------------------------------------------8 分 ( )3,1− [ )3 2ln 2,− +∞ 2 2 23 ( )4 a c b+ − 1 sin2 ac B 2 2 2 3 sin2 a c b Bac + −∴ = tan 3,B = (0, ), 3B B ππ∈ ∴ = sin sin a b A B = 3sin 4A =数学文科 第 8 页（共 6 页） --------------------------------------------10 分 . -----------12 分 18.解： （1） 分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计 线上学习时间不少于 5 小时 15 4 19 线上学习时间不足 5 小时 10 16 26 合计 25 20 45 --------------------------------------------------------3 分 ------------------------------------------5 分 有 99% 的 把 握 认 为 “ 高 三 学 生 的 数 学 成 绩 与 学 生 线 上 学 习 时 间 有 关 ” ---------------- --6 分 （2）依题意，抽到线上学习时间不少于 5 小时的学生 人，设为 , , ，线上学 习时间不足 5 小 时 的 学 生 2 人 ， 设 为 , -----------------------------------------------------8 分 所有基本事件有： , , , , , , , , , 共 10 种 --------------------------------------------------------------------10 分 至少 1 人每周线上学习时间不足 5 小时包括： , , , , , , 共 7 种 2cos 1 sinA B A A< ∴ = − 13 4 = [ ]sin sin ( )C A Bπ∴ = − + sin( )3A π= + 3 1 13 3 4 2 4 2 = × + × 3 39 8 += 2 2 45(15 16 10 4) 7.29 6.63525 20 19 26K × − ×= ≈ >× × × ∴ 155 325 × = 1A 2A 3A 1B 2B 1 1( , )B A 1 2( , )B A 1 3( , )B A 2 1( , )B A 2 2( , )B A 2 3( , )B A 1 2( , )B B 1 2( , )A A 1 3( , )A A 2 3( , )A A 1 1( , )B A 1 2( , )B A 1 3( , )B A 2 1( , )B A 2 2( , )B A 2 3( , )B A 1 2( , )B B数学文科 第 9 页（共 6 页） 故 至 少 1 人 每 周 线 上 学 习 时 间 不 足 5 小 时 的 概 率 为 （ 或 0.7 ） ------------------------12 分 19. （1）证明：连接 交 于 ，连接 . ≌ ----------------------3 分 面 面 面 ---------------5 分 （2）取 中点 ，连 ， , .由 ， . 又 面 面 ， 面 ， 即 为 与 底 面 所 成 角 ---------------------------------7 分 设 ， 则 ， . 又 由 ， ------------8 分 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得 -------------10 分 ------------------------------------------------11 分 即 与 底 面 所 成 角 的 正 弦 值 为 ----------------------------------------12 分 20. 解： 7 10 AC BE H FH , ,AB CE HAB HCE= ∠ = ∠ BHA CHA∠ = ∠ ABH∴∆ CEH∆ AH CH FH PC∴ = ∴  FH ⊂ ,FBE PC ⊄ FBE PC∴  FBE AD O PO OB OC PA PD= PO AD∴ ⊥  PAD ⊥ ABCD PO∴ ⊥ ABCD PCO∴∠ PC 2AD = 1PO OD= = 4DC = 60DAB∠ =  120ODC∴∠ =  ODC∆ 2 2 2 2 cosOC OD DC OD DC ODC= + − ∠ 21= 2 2 22PC PO OC∴ = + = 1 22sin 2222 PCO∴ ∠ = = PC ABCD 22 22 A B CD EF P HO数学文科 第 10 页（共 6 页） （1）由题意设直线 的方程为 ，令 、 ， 联 立 得 -----------------------------------------------2 分 -------------------------------------------------------------------3 分 根 据 抛 物 线 的 定 义 得 --------------------------------------4 分 又 ， 故 所 求 抛 物 线 方 程 为 -------------------------------------5 分 （2）由（1）知 ， 的 中 点 为 ， 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 即 ----------7 分 设过点 的圆的圆心为 ， 该圆与 的准线 相切， 半 径 -----------------------------------------------------------------9 分 圆心 到直线 的距离为 ， 解 得 或 --------------------------------11 分 圆心的坐标 为，半径为 ，或圆心的坐标为 ，半径为 圆 的 方 程 为 或 AB 2 py x= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2 py x x py  = +  = 2 2 3 04 py py− + = 1 2 3y y p∴ + = 1 2 4AB y y p p= + + = 8AB = 4 8, 2p p∴ = = 2 4x y= 1 2 3 6y y p+ = = 1 2 1 2 4x x y y p+ = + − = AB∴ (2,3)M AB 3 ( 2)y x− = − − 5y x= − + ,A B ( ,5 )a a−  C 1y = − ∴ 6r a= − ( ,5 )a a− : 1AB y x= + 2 4 2 ad −= , 8AB = 2 2 22 4( ) 4 (6 ) 2 a a −∴ + = − 6a = − 2a = ∴ ( 6,11)− 12 (2,3) 4 2 2( 6) ( 11) 144x y+ + − = 2 2( 2) ( 3) 16x y− + − =数学文科 第 11 页（共 6 页） ---------------------12 分 21. 解： （ 1 ） 依 题 意 ， 当 时 ， ----------------------------------1 分 ① 当 时 ， 恒 成 立 ， 此 时 在 定 义 域 上 单 调 递 增 ； ---------------------3 分 ②当 时，若 ， ；若 ， 故 此 时 的 单 调 增 、 减 区 间 分 别 为 、 ----------------------5 分 (2)由 ，又 ， 故 在 处 取 得 极 大 值 ， 从 而 ， 即 ------------7 分 进 而 得 -------------------------------------8 分 当 时 ， 若 ， 则 ； 若 ， 则 。 所 以 故 符 合 题 意 -------------------------------------------------------------10 分 当 时，依题意，有 即 ，故此时 综 上 所 求 实 数 的 范 围 为 ----------------------------------------------12 分 0x > 0a = 1( ) ( 1)f x bx ′ = − + 1b ≤ − ( ) 0f x′ > ( )f x 1b > − 10, 1x b  ∈ +  ( ) 0f x′ > 1 ,1x b  ∈ +∞ +  ( ) 0f x′ < ( )f x 10, 1b    +  1 ,1b  +∞ +  1( ) 2 1f x ax a bx ′ = − + − − (1) 0f = ( )f x 1x = (1) 0f ′ = 1 2 1 0,a a b− + − − = b a= − 1( ) 2 2 1f x ax ax ′ = − + − = (2 1)( 1)ax x x + − − 0a ≥ 1 ,1x e  ∈   ( ) 0f x′ > ( ]1,x e∈ ( ) 0f x′ < ( ) = (1) 0f x f =最大值 0a ≥ 0a < 1 12 ( ) 0 a f e − >  ≤ 2 1 2 2 ( 1) a ea e  > − − ≥ − 2 2 0( 1) e ae − ≤  ∴ 2 2 2 1 1 1( ) 4f x x xa b c = + + − + 2 2 2 1 1 1( ) 4x xa b c ≥ + − − +数学文科 第 13 页（共 6 页） -------------------------------------------------------------------------------------3 分 由柯西不等式得 当 且 仅 当 时 取 “=” 。 ----------------------------------------------5 分 （2） （ 以 上 三 式 当 且 仅 当 时 同 时 取 “=” ） ------------------------------------------------------7 分 将以上三式相加得 即 --------------------------------------------------------------------------------------10 分 2 2 2 1 1 1 4a b c = + + ∴ 2 2 2 1 1 1 4a b c + + 1= 2 2 2( 4 )a b c+ + 2 2 2 1 1 1( )4a b c + + 2(1 1 1) 9≥ + + = 2 3a b c= = = ∴ 2 2 24 9a b c+ + ≥ 2 2 1 1 2 ,a b ab + ≥ 2 2 1 1 1 ,4b c bc + ≥ 2 2 1 1 1 4a c ac + ≥ 2 3a b c= = = 2 1 1 ab bc ac + + ≤ 2 2 2 1 1 12( ) 24a b c + + = 1 1 1 12 2ab bc ac + + ≤