理科数学试卷一
总分：150 分 时量:120 分钟
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 P= ，Q= ，则 P Q=____（桃源县
第四中学）
A、 B、
C、 D、
答案：由已知得 Q=[-1，6] P=（-5，6）故 P Q=[-1，6]故选 C
2.设复数 满足 ，则下列说法正确的是 ( ) (桃源一中)
A. 的虚部为 B. 为纯虚数
C. D. 在复平面内， 对应的点位于第二象限
答案：C 由 得 ，
3.设等差数列 的前 项的和为 ，若 ， ，则 ( ) (桃源
一中)
A. 37 B.16 C. 13 D. -9
答案：B 设等差数列 的公差为 d，由 得：
，
将 代入上式解得 ，故
（法二： ，又 ，所以 ，由 得 ，
故
4.如图是某市连续 16 日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质
量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污
染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)
A．这 16 日空气重度污染的频率为 0.5
B．该市出现过连续 4 天空气重度污染
C．这 16 日的空气质量指数的中位数为 203
D． 这 16 日的空气质量指数的平均值大于 200
答案：D 这 16 日空气重度污染的频率为 故 A 正确；12 日，13 日，14
日，15 日连续 4 天空气重度污染，故 B 正确；中位数为 ，故 C
正确；
，（也可根据图形判断，8 个数据大
{ 65| ( )f x
( , )x eÎ +¥ ( ) 0f x¢ < ( )f x ( )f x
( )f x
( )f x 1k
0
0
0
ln( , )xP x x 2
ln 1 ln( )x x
x x
-¢ =，解得
在 处的切线 的斜率为 ，
因为 零点个数，即函数 与 的交点个数，
由图可知： 时，有 1 个交点； 时，有 2 个交点； 时，有 3
个交点；
时，有 4 个交点； 时，有 3 个交点.所以 ②不正确；③④正
确.
（说明：显然 是 的零点，x 0 时，也可转化为 零点的个数问题，
也可以画图得出答案）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中对应
题号后的横线上）
13.已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程为__
__.(桃源一中)
14 已知实数 满足约束条件 则 的最小值为 -2
15.已知数列 的各项为正，记 为 的前 项和，若 ，
，
则 ___121________.(桃源一中)
16. 已知双曲线 C: ， 是坐标原点， 是 的右焦点，过
的直线与 的两条渐近线的交点分别为 且 为直角，记 和
的面积分别为 和 ，若 ，则双曲线 的离心率为
答案：. 或
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
0
2 2
0
0
0
2
0
1 ln
ln
xk x
x
xk x
ì -ïï =ïïïïïíïïïï =ïïïî
0 1
1, 2x e k e= =
( )f x 0x = 2l 2
2 0 0
1 1 1 1( ) | (2 ) |6 6 6 2x xk x x x e= =¢= + = + = <
( ) ( )g x f x ax= - ( )y f x= y ax=
1
2a e
> 1
2a e
= 1 1[ )6 2a e
∈ ，
1(0 )6a∈ ， ( ,0]a∈ −∞
0x = ( )g x ≠ ( )f x ax =
( ) ln( 1)xf x xe x= + + ( )y f x= 0x = 2y x=
,x y
1 0
3 3 0,
1 0
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
+ − ≥ =3 2z x y−
{ }na nS { }na n
2
1
1
3 ( )2
n
n
n n
aa n Na a
*
+
+
= Î-
1 1a =
5S =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
O F C F
C , ,A B OAB∠ OAF∆ OAB∆
OAFS∆ OABS∆
1
3
OAF
OAB
S
S
∆
∆
=
C
2 6
3
2 3
317．（本小题 12 分）已知向量 m ，n ，且函数 mn.
(Ⅰ)若 ，且 ，求 的值；
(Ⅱ)在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，
且 ，求 的周长. (桃源一中)
解：(Ⅰ) mn
………………(2 分）
，
又 ， ，
……………………(4 分）
所以 ……………………(6 分）
(Ⅱ)因为 ，所以 ，即
由正弦定理可知 ，又 所以 ……………………(8 分）
由已知 的面积 ，可得 ，又
……………………(10 分）
由余弦定理得 ，故 ，从而
所以 的周长为 ……………………(12 分）
18．（本小题 12 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面
是直角梯形， ， ， ， 是 的中点．
(Ⅰ)在线段 上找一点 ，使得 平面 ，并证明；
(Ⅱ)在(1)的条件下，若 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的
余弦值．(桃源一中)
解：(Ⅰ) 是线段 PA 的中点，……………………(1 分）
证明：连接 BE，OE，OB，
∵O 是 AD 的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，……………………(3
分）
又∵底面 是直角梯形， ，∴ ，
(sin 3)x= -， =(1 cos )x， ( )f x =
5(0 )6
πx Î ， 2( ) 3f x = sin x
ΔABC A B C， ， a b c， ， a ，= 4 ΔABC 4 3
1( ) sin3 2
πf A c B+ = ΔABC
( )f x = (sin 3)x= -， (1 cos )x× ， sin 3 cosx x= -
2sin( )3
πx= -
2( ) 3f x = \
1sin( )3 3
πx- =
5(0 )6
πx Î ， ( )3 3 2
π π πx\ - Î - ， 2 2cos( )3 3
πx- =
1 1 2 2 3 1 2 6sin sin[( ) ]3 3 3 2 3 2 6
π πx x += - + = × + × =
1( ) sin3 2
πf A c B+ =
12sin sin2A c B= 4sin sinA c B=
4a bc= a = 4 bc =16
ΔABC 1 sin 4 32 bc A =
3sin 2A = (0 )2
πAÎ ，
\ 3
πA =
2 2 2 cos 1b c bc A+ - = 2 2 32b c+ = 2( ) 64b c+ =
ΔABC 12
P ABCD− PAD ⊥ ABCD ABCD
AD BC∥ AB AD⊥ 2 2AD BC AB= = O AD
PA E BE∥ PCD
2PA PD AD= = = OBE POC
E
OE PD∥
OE ⊄ PCD PD ⊂ PCD OE∥ PCD
ABCD 2 2AD BC AB= = OB CD∥又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，……………………(4
分）
∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴平面 平面 ，
又 平面 ，∴ 平面 ．……………………(6 分）
（也可通过线线平行来证明线面平行）
(Ⅱ)∵平面 平面 ， ，
∴ ，∴ 平面 ，且 ， ，
以 为原点，如图建立空间直角坐标系 ，……………………(8 分）
得 ， ， ， ，
，
得 ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，得 ，取 ，
得 ，……………………(10 分）
又易知 是平面 的一个法向量，设平面 与平面 所成的锐
二面角为 ，
则 ，
即平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为
．……………………(12 分）
19．（本小题 12 分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018 年中国快递量世界第
一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取
费的标准是：不超过 1kg 的包裹收费 8 元；超过 1kg 的包裹，在 8 元的基础上，每超过 1kg(不
足 1kg，按 1kg 计算)需再收 4 元．
该公司将最近承揽(接收并发送)的 100 件包裹的质量及件数统计如下(表 1)：
表 1：
公司对近 50 天每天承揽包裹的件数(在表 2 中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围
及天数，列表如下(表 2)：
表 2：
包裹质量（kg) （0，1] （1，2] （2，3] （3，4] （4，5]
包裹件数 43 30 15 8 4
件数范围 (0，100] (100，200] (200，300] (300，400] (400，500]
天数 5 10 25 5 5
每天承揽包裹的件数 50 150 250 350 450
OB ⊄ PCD CD ⊂ PCD OB∥ PCD
OE ⊂ OBE OB ⊂ OBE OE OB O=
OBE∥ PCD
BE ⊂ OBE BE∥ PCD
PAD ⊥ ABCD 2PA PD AD= = =
PO AD⊥ PO ⊥ ABCD 1OC = 3PO =
O O xyz−
( )0,0,0O ( )1, 1,0B − ( )0,0, 3P ( )1,0,0C
1 30, ,2 2E
−
1 30, ,2 2OE
= −
( )1, 1,0OB = −
( ), ,m x y z= OBE
m OE
m OB
⊥ ⊥
3 0
0
y z
x y
− + = − = 3x =
( )3, 3,1m =
( )0,1,0n = POC OBE POC
θ
3 21cos cos , 77 1
m n
m n
m n
θ
⋅
= = = =
⋅⋅
OBE POC
21
7(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来 3 天内恰有 1 天揽件数在(100，300]内的概率；
(Ⅱ) ①根据表 1 中最近 100 件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的
平均值：
②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余
用作其他费用．目前，前台有工作人员 5 人，每人每天揽件数不超过 100 件，日工资 80
元．公司正在考虑是否将前台人员裁减 1 人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；
若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员 1 人? (桃
源一中)
解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为 ，
频率为 ，故该公司 1 天揽件数在(100，300]内的概率为 ………(2 分）
未来 3 天包裹件数在(100，300]内的天数 X 服从二项分布，即
所以未来 3 天内恰有 1 天揽件数在[100，299]内的概率为：
………(5 分）
(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：
所以每件
包裹收取
快递费的平均值为
………(7 分）
②根据题意及①，揽件数每增加 1，公司快递收入增加 12（元）
若不裁员，则每天可揽件的上限为 500 件，公司每日揽件数情况如下：
每天承揽包裹的件数 Y 的期望
E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240
公司每日利润的期望值为 元………(9 分）
若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 400 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹质量（kg) （0，1] （1，2] （2，3] （3，4] （4，5]
快递费
（元）
8 12 16 20 24
包裹件
数
43 30 15 8 4
件数范围 (0，100] (100,200] (200,300] (300，400] (400，500]
天数 5 10 25 5 5
每天承揽包裹的
件数 Y
50 150 250 350 450
概率 P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1
件数范围 (0，100] (100，200] (200，300] (300，400] (400，500]
天数 5 10 25 5 5
每天承揽包裹
的件数 Y
50 150 250 350 400
10 25 35+ =
35 7
50 10f = = 7
10
7(3 )10X B ，
1 2
3
7 3 189( )( )10 10 1000P C= =
( )1 43 8 30 12 15 16 8 20 4 24 12100
× + × + × + × + × =
∴
∴ 1240 12 5 80 5603
× × − × =每天承揽包裹的件数 Y 的期望
E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235
公司每日利润的期望值为 元………(11 分）
因为 560 14 4k k
+ ≥ 3 30, 4t
∈
k 0< 14 4k k
+ ≤ − 3 3 ,04t
∈ −
T | |TP TQ= t 3 3 3 3,0 0,4 4
− ∪ 21 ′
( ) ( ln )xf x xe a x x= − + 2.71828e =
( ) 1f x ≥ a 2 (2 ln ) 2(1 sin )xx e x x x> + − −
0a ≤ 1 1 1( ) ( ln ) ln 12 2 2 2 2 2 2
e e e eh a a= − + = − ≤ < ( ) 1f x ≥
0a > ( 1)( )'( )
xx xe af x x
+ −= ( ) xx ah ex = − '( ) ( 1) 0xh x x e= + >
( )h x (0, )+∞ (0) 0h a= − < ( ) ( 1) 0a ah a ae a a e= − = − >
0 (0, )x ∈ +∞ 0( ) 0h x = 0
0
xx e a= 0 0 ln nl x x a=+
0(0, )x x∈ ( ) 0h x < '( ) 0f x < ( )f x
0( , )x x∈ +∞ ( ) 0h x > '( ) 0f x > ( )f x
0
min 0 0 0 0( ) ( ) ) nn l(lxe a a af x f x x a x x= = − = −+
2
2
2
3
4 1 1
4 3
4 1
k tk k
k
k
− −+ ⋅ = −
+故 ，即 ，令 ，
则 ，知 在 上递增，在 上递减，
所以 ，要使 ，当且仅当
综上，实数 的值为 1
法二： ，令
则 等价于 ，对任意 恒成立，令 ，
当 时， 与 恒成立矛盾，不合题意；
当 时， ， 与 恒成立矛盾，不合题意；
当 时， ， 在 上递减，在 上递增，
所以 的最小值为
令 ，则 ，知 在 上递增，在 上递减，
所以 ，要使 ，当且仅当
（2）由（1）知，当 时， ，即 ，
所以 ，
下面证明 ，即证：
令 ，
当 时，显然 单调递增， ，
所以 在 上单调递减， ，
当 时，显然 ，即
故对一切 ，都有 ，即
故原不等式 成立
22．(本小题满分 10 分)
在平面直角坐标系 中，直线 ： ，曲线 ： ( 为参数,
)，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(Ⅰ)说明 是哪一种曲线，并将 的方程化为极坐标方程.
(Ⅱ)曲线 的极坐标方程为 ( )，其中 ，且曲线 分别交
， 于点 ， 两点，若 ，求 的值. (桃源一中)
解：(Ⅰ) 由 消去参数 得：
( ) 1f x ≥ ln 1 0a a a− − ≥ ( ) ln 1a a a aϕ = − −
'( ) lna aϕ = − ( )aϕ (0,1) (1, )+∞
max( ) (1) 0aϕ ϕ= = ( ) ln 1 0a a a aϕ = − − ≥ 1a =
a
ln( ) ( ln ) ( ln )x x xf x xe a x x e a x x+= − + = − + ln ,t x x t R= + ∈
( ) 1f x ≥ 1 0te at− − ≥ t R∈ ( ) 1th t e at= − −
0a <
1
0( ) 2 2 0ah t e e= − < − < ( ) 0h t ≥
0a = ( ) 1th t e= − 1 1( 1) 1 1 0h e e
−− = − = − < ( ) 0h t ≥
0a > '( ) t ah t e= − ( )h t ( ,ln )a−∞ (ln , )a +∞
( )h t (ln ) ln 1h a a a a= − −
( ) ln 1a a a aϕ = − − '( ) lna aϕ = − ( )aϕ (0,1) (1, )+∞
max( ) (1) 0aϕ ϕ= = ( ) ln 1 0a a a aϕ = − − ≥ 1a =
1a = ln 1xxe x x− − ≥ ln 1xxe x x≥ + +
2 2 lnxx e x x x x≥ + +
2 ln (2 ln ) 2(1 sin )x x x x x x x+ + > + − − 2 2 2sin 0x x x− + − >
2( ) 2 2sing x x x x= − + − '( ) 2 1 2cosg x x x= − −
0 1x< ≤ '( )g x '( ) '(1) 1 2cos1 1 2cos 03g x g
π≤ = − < − =
( )g x (0,1] ( ) (1) 2 2sin1 0g x g≥ = − >
1x > 2 ,2 2sin 0x x x− > − ≥ ( ) 0g x >
(0, )x∈ +∞ ( ) 0g x > 2 ln (2 ln ) 2(1 sin )x x x x x x x+ + > + − −
2 (2 ln ) 2(1 sin )xx e x x x> + − −
xOy 1C 1 0x y+ - = 2C
+=
=
ϕ
ϕ
sin1
cos
ay
ax ϕ
0>a O x
2C 2C
3C 0θ α= 0>ρ 0tan 2α = ， 0 (0 )2
πα Î ， 3C
1C 2C A B 3 + 5OB OA= a
+=
=
ϕ
ϕ
sin1
cos
ay
ax ϕ的普通方程为 ，……………………（2 分）
则 是以 为圆心， 为半径的圆. ……………………（3 分）
∵ ，
∴ 的极坐标方程为 ，
即 的极坐标方程为 ，……………………（5 分）
(Ⅱ)曲线 极坐标方程为 ( )， ，且
所以曲线 的直角坐标方程为
由 解得： ， ……………………（7 分）
， ……………………（8 分）
故点 B 的极坐标为 ，
代入 得 ……………………（10 分）
23．(本小题满分 10 分) [选修 4-5：不等式选讲]
设函数 .
(I)若 ，求不等式 的解集;
(II)已知关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取
值范围.
解：( I) 时， ，
由 得不等式的解集为 . …………(5
分)
(II)由题知 在 上恒成立，
且当 时， ，
，
，
2C 222 )1( ayx =−+
2C )10( ， a
θρθρ sin,cos == yx
2C 222 )1sin()cos( a=−+ θρθρ
2C 01sin2 22 =−+− aθρρ
3C 0θ α= 0>ρ 0tan 2α = 0
2sin
5
α =
3C 2y x= )0( >x
1 0
2
x y
y x
ì + - =ïïíï =ïî
1
3
2
3
x
y
ìïï =ïïïíïï =ïïïî
1 2( )3 3A\ ，
5
3OA\ = 2 5OB\ =
0(2 5 )α，
01sin2 22 =−+− aθρρ 13a =
( ) | | | 1|f x x a x= + + +
1a = − ( ) 3f x ≤
x ( ) | 2| 6f x x x+ + ≤ + [ ]1,1x∈ − a
1a = −
2 1
( ) | 1| | 1| 2 1 1
2 1
x x
f x x x x
x x
− < −
= − + + = − ≤ ≤
>
( ) 3f x ≤
3 3
2 2x x − ≤ ≤
| | | 1| | 2 | 6x a x x x+ + + + + ≤ + [ ]1,1x∈ −
[ ]1,1x∈ − | 1| 1,| 2 | 2x x x x+ = + + = +
| | 3x a x∴ + ≤ −
3 3x a x x∴ − ≤ + ≤ −， …………(7
分)
又函数 在 上的最小值为 ，
，即 的取值范围是 . …………(10
分)
3 3 2a x∴− ≤ ≤ −
3 2y x= − [ ]1,1x∈ − 1
3 1a∴− ≤ ≤ a [ ]3,1−
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