仿真模拟卷(一)
数学(文)
(时间：120 分钟 分值：150 分)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.若集合 A＝{x|－3A. B. 或 C. D. 或
6.如图 F1－3，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 为 BD1 的中点，则△PAC 在该正方体各个
面上的正投影可能是
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
(2x 一 y≤0，
7.已知实数 x，y 满足 ，若 z＝3x＋y 的最大值为 5，则正实数 m 的值为
A.2 B. C.10 D.
8.函数 f(x)＝ 在[－π，π]，上的图像大致为
9.已知椭圆 的右顶点为 A，左、右焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，
且 B(－a，a)，C(－a，－a)，若过 A，B，C 三点的圆与直线 x＝ 相切，则此椭圆的离心
率为
A. B. C. D.
10.已知将曲线 y＝sin(2x＋ )向左平移 φ(φ>0)个单位长度后，得到的曲线 y＝g(x)经过点
( ，1)，有下列四个结论：
①函数 g(x)的最小正周期 T＝π；
3 6
2
+ 3 6
2
− 3 6
2
+ 3 6
2
− 3 6
2
+ 6 3
2
−
( )
2 0
2 0
0
x y
x y
y y m
− ≤
+ ≥
− ≤
1
2
1
10
2sin
x
x
e
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2a
c
−
1
3
1
2
2
2
2
3
6
π
12
π−②函数 g(x)在[ ， ]上单调递增；
③曲线 y＝g(x)关于直线 x＝ 对称；
④曲线 y＝g(x)关于点( ，0)对称。
其中所有正确的结论是
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
11.已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b＝a(cosC＋ sinC)，a＝2，c＝
，则 C＝
A. B. C. D.
12.已知函数 f(x)＝ ，若关于 x 的方程 有四个不等的实根，则实数 λ
的取值范围是
A.(0， ) B.(2，＋∞) C.( ＋ ，＋∞) D.( ，＋∞)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 a＝(2，－1)，b＝(1，3)，且 a⊥(a＋mb)，则 m＝ 。
14.已知函数 f(x)＝ex－x2 的图像在点(1，f(1))处的切线过点(0，a)，则 a＝ 。
15.已知 ，则 。
16.已知点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，AB＝BC＝ ，AC＝2，若四面体 ABCD 的
体积为 ，球心 O 恰好在棱 DA 上，则这个球的表面积为 。
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a2＝1，6Sn＝3an＋1－1。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 bn＝a2n，数列{bn}的前 n 项和与前 n 项积分别为 Rn 与 Tn，求 Rn 与 Tn。
11
12
π 17
12
π
6
π
2
3
π
3
3
2 6
3
3
4
π
3
π
6
π
4
π
2
xe
x
1( )
( )
f x
f x
λ+ =
2
e
2
e 2
e
2
2
4
4
e
e
+
tan( ) 24
π α+ = − 1 sin 2
cos2
α
α
− =
2
2 3
318.(12 分)某省确定从 2021 年开始，高考采用“3＋1＋2”的模式，取消文理分科，即“3”包
括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一科；“2”表示从生物、
化学、地理、政治中任选两科。某高中从高一年级 2000 名学生(其中女生 900 人)中，采用分
层抽样的方法抽取 n 名学生进行调查。
(1)已知抽取的 n 名学生中含男生 110 人，求 n 的值及抽取到的女生人数。
(2)学校计划在高二上学期开设物理和历史两个科目的选修课，为了了解学生对这两个科目的
选课情况，对在(1)的条件下抽取到的 n 名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必
须选择一个科目且只能选择一个科目)。下表是根据调查结果得到的 2×2 列联表，请将列联表
补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为选择的科目与性别有关?说明你的理由。
(3)在(2)的条件下，从抽取的选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中
随机抽取 2 人，对其选课原因进行深人了解，求选出的 2 人中至少有 1 名女生的概率。
附： ，其中 n＝a＋b＋c＋d。
19.(12 分)如图 F1－6 所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PBC⊥平面
ABCD，PB⊥PD。
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PCD；
(2)若 PB＝PC，E 为棱 CD 的中点，∠PEA＝90°，BC＝2，求三棱锥 A－PED 的体积。
20.(12 分)已知 f(x)＝sinx－ax2＋2a。
(1)若函数 f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线过点 P(1，2)，求 a 的值；
(2)当 a∈[ ，1]时，求证：f(x)< 。
21.(12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，抛物线 C 上的点 M(2，y0)到 F 的距离为
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
1
2
5
23。
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)已知斜率存在的直线 l 与抛物线 C 相交于相异的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1＋x2＝4，
若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 G，且 ＝5，求直线 l 的方程。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1 的参数方程为 (a 为参数)，以原点 O 为
极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin(θ＋ )＝4 。
(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；
(2)设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到曲线 C2 上点的距离的最小值，并求出此时点 P 的直角
坐标。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知 f(x)＝ 。
(1)求不等式 f(x)
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