随机事件的概率、古典概型和几何概型

考点 32 随机事件的概率、古典概型和几何概型 考点分类 热点一 随机事件的概率 1.从三男三女 6 名学生中任选 2 名（每名同学被选中的机会相等），则 2 名都是女同学的概率等于 _________. 2.现有某病毒记作 其中正整数 、 （ ）可以任意选取，则 、 都取到奇数的概率为 . 4.现有某病毒记作 其中正整数 、 （ ）可以任意选取，则 、 都取到奇数的概率为 . 5.个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为 0 的概率是（ ） A. B. C. D. 6.某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产 品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 4 9 1 3 2 9 1 9 m nX Y m n 7, 9m n≤ ≤ m n m nX Y m n 7, 9m n≤ ≤ m n质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (1) 用产品编号列出所有可能的结果; (2) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发生的概率. 【答案】(Ⅰ) 计算 10 件产品的综合指标 S，如下表： 产品编号 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 7.现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.试求： （I）所取的 2 道题都是甲类题的概率； （II）所取的 2 道题不是同一类题的概率. 8.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为 1，2.(Ⅰ)从以上五张 卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A9.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以 上 顾客数（人） 30 25 10 结算时间（分 钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％. （Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.（将频率视为概率） 【方法总结】 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率， 然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法 二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误． x y热点二 古典概型 10.从 1，2，3，4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 11.若集合 ， ，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是（ ） A． B． C． D． 12. 从 n 个正整数 1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于 5 的概率为 ，则 n=________. 13.盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数 的概率是___________（结果用最简分数表示）. 14.某艺校在一天的 6 节课 中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节，则在课表上的相邻 两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 （用数字作答）. 15．某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （1）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量 （单位：枝， ）的函数解析式. 1 2 1 3 1 4 1 6 { }2,3A = { }1,2,3B = 2 3 1 2 1 3 1 6 1 14 5 10 y n n N∈（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20[来源:Z.Com] 频数 10 20 16 16 15 13 10 （i）假设花店在这 100 内每天购进 17 枝玫瑰花，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； （ii）若花店一天购进 17 枝 玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不 少于 75 元的概率. 【方法总结】 计算古典概型事件的概率可分三步： ①算出基本事件的总个数 n；②求出事件 A 所包含的基本事件个数 m；③代入公式求出概率 P. 0.16 0.16 0.15 0.13 0.1 0.7P = + + + + =热点三 几何概型 16.已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ，则 =（ ） [来源 A. B. C. D. 17.节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 秒内任 一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不 超过 秒的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】设两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻分别为 ， ，则 ， 应满足 ，该不等式 组表示一正方形区域如图，而两串彩灯在第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒，∴ ，该不等式表示的平面 区域如图中阴影部分，故所求概率为 ，选 C. 18.如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分 别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若 在该矩形区域内随机 地选一地点, 则该地点无信号的概率是 （ ） (A) B) C) D) 19.在区间 上随机取一个数 ，使得 成立的概率为____. 1 2 AD AB 1 2 1 4 3 2 7 4 4 4 2 1 4 1 2 3 4 7 8 x y x y 0 4 0 4 x y ≤ ≤  ≤ ≤ | | 2x y− ≤ 1 2 2 2 321 4 4 4P × × × = − =× 1 4 π− 12 π − 2 2 π− 4 π [ ]3,3− x 1 2 1x x+ − − ≥ 1 2 D A C B E F20.利用计算机产生 之间的均匀随机数 ，则事件 的概率为_________. 21．设不等式组 ，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概 率是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】题目中 表示的区域如图正方形所示，而动点 D 可以存在的位置为正方 形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 ，故选 D. 22. 如图所示，在边长为 1 的正方形 中任取一点 ，则点 恰好取自阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 23 函数 f（x）=sin ( )的导函数 的部分图像如图 4 所示，其中，P 为图像与 y 轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. （1）若 ，点 P 的坐标为（0， ），则 ; （2）若在曲线段 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率 为 .    ≤≤ ≤≤ 20 ,20 y x 4 π 2 2 π − 6 π 4 4 π−    ≤≤ ≤≤ 20 20 y x 4 4 22 24 122 2 ππ −=× ⋅−× =P OABC P P 4 1 5 1 6 1 7 1 0 1 a 3 1 0a − > xω ϕ+ ( )y f x′= 6 πϕ = 3 3 2 ω = ABC24.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，领边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32cm2 的概率为（ ） (A) (B) (C) (D) 25. 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一 点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A. B. . C. D. 【方法总结】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用 概率的知识去解决.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出 试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域， 利用公式可求． 【考点剖析】 一．明确要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解互斥事件、对 立事件的意义及其运算公式. 2.理解古典概型及其概率计算公式．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的 概率. 1 6 1 3 2 3 4 5 21 π− 1 1 2 π− 2 π 1 π二．命题方向[来源:Z|xx|k.Com] 1．随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并 且常与统计知识放在一块考查． 2．借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、 对立事件的综合问题更是高考的热点．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决 问题的能力，难度以中档题为主． 3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面 几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容．新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题 以低、中档题为主． 三．规律总结 一条规律 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事 件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情 况，而互斥事件未必是 对立事件． 两种方法 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至 多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便． 一条规律 从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合 I，基本事件的个数 n 就是集合 I 的元素个数，事件 A 是集合 I 的一个包含 m 个元素的子集．故 P(A)＝ cardA cardI＝ m n. 两种方法 (1)列举法：适合于较简单的试验． (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的， 如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同． 一条规律 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要 掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 两种类型 (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标， 这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．考点模拟】 一．扎实基础 1.从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件 A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推 断正确的是（ ） A．事件 A 发生的概率等于 B．事件 A 发生的概率等于 C．事件 A 是不可能事件 D．事件 A 是必然事件 2. 把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，方程组 只有一组解 的概率是（ ） A． B． C. D． 3.在平面区域 内任取一点 ，若 满足 的概率大于 ，则 的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D） 4. 从 1，2，3，4，5，6 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为奇数”，事件 B 为“取到的 2 个数 均为奇数”，则 （ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 5. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 m，第二次出现的点数为 n，向量 ， ，则向量 与 共线的概率为（ ） A． B． C． D． 1 5 2 5 m n    =+ =+ 232 3 yx nymx 2 3 3 4 1 5 17 18 0 1, 0 1 x y ≤ ≤  ≤ ≤ ( , )P x y ( , )x y 2x y b+ ≤ 1 4 b ( ,2)−∞ (0,2) (1,3) (1, )+∞ ( )P B A = 1 5 1 4 2 3 1 3 ( , )p m n= (1,3)q = p q 1 3 1 6 1 12 1 186. 在正三棱锥 S-ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 ，若从三棱锥 6 条棱中任取两条棱，其中 两条棱垂直的概率是（ ） A． B． C． D． 7. 从分别写有 ， ， ， ， 的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上 只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） 8. 在棱长为 a 的正方体 中随机地取一点 P，则点 P 与正方体各表面的距离都大于 的概率为（ ） A． B． C． D． 3．A 9. 投掷两颗骰子，其向上的点数分别为 和 ，则复数 为纯虚数的概率为（ ） A． B． 　　　　 C． D． m n 2)( nim + 1 3 1 4 1 6 1 12 MN AM⊥ 1 5 2 5 4 15 3 5 1 2 3 4 5 5 4 25 16 25 13 5 2 1 1 1 1ABCD A B C D− 3 a 1 27 1 16 1 9 1 310. 从集合 中随机选取 3 个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 . 二．能力拔高 11. 将一枚质地均匀的硬币连掷 4 次，出现“至少两次正面向上”的概率是( ) A． 　 B． 　 C． 　 D． 12. 在区间[－1,1]上随机取一个数 ，则 的值介于 与 之间的概率为(　　) A． B． C． D． 13.已知 ， ，现从集合 A 中任取两个不同元素 m,n，则 的概率 是（ ） A． B． C． D． 14. 从 中随机选取一个数 ，从 中随机选取一个数 ，则关于 的方程 有两 个不相等的实根的概率是（ ） A． B． C． D． { }1,2,3,4,5 1 4 3 4 3 8 11 16 x sin 4 xπ 1 2 − 2 2 1 4 5 6 1 3 2 3 ( ) cos 4 xg x π= {1,2,3,4,5,6,7,8}A = ( ) ( ) 0g m g n = 5 8 15 28 13 28 7 8 {1,2,3,4,5} a {1,2,3} b x 2 22 0x ax b+ + = 1 5 2 5 3 5 4 515. 将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 ，则函数 在 上为增函数的概率是 （ ） A． B． C． D． ∴ . 16. 已知关于 的方程 ，若 ，记“该方程有实数根 且满足 ” 为事件 A，则事件 A 发生的概率为（ ） （A） 　 　（B） 　 　（C） 　 　（D） 17.评在区间 和 分别取一个数,记为 , 则方程 表示焦点在 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为（ ） A． B． C． D． nm , 13 2 3 +−= nxmxy [ )∞+,1 2 1 6 5 4 3 3 2 30 5 36 6P = = x 22 0x bx c− + + = { }01 2 3 4b c∈、 ，，，， 1 2x x、 1 21 2x x− ≤ ≤ ≤ 5 16 12 25 14 25 16 25 1 5,   2 4,   a b, 2 2 2 2 1x y a b + = x 3 2 1 2 15 32 17 32 31 3218. 已知直线 ： ，直线 ： ，其中 ， ．则直线 与 的交点位 于第一象限的概率为 ． 19.若随机事件 A、B 互斥，A、B 发生的概率均不等于 0,且分别为 ， ,则实数 z 的取值 范围为____. 20. 在面积为 1 的正方形 内部随机取一点 ，则 的面积大于 的概率是_________． 1l 2 1 0x y− − = 2l 1 0ax by− + = a { }1,2,3,4,5,6b∈ 1l 2l ( ) 2P A a= − ( ) 3 4P B a= − ABCD P PAB∆ 1 4三．提升自我 21. 有 10 本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层 3 本下层 7 本，现要从下层 7 本中任取 2 本再随机分别 调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的 2 本书不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 22.对于给定的实数 ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一颗质地均匀的骰子（一种各 面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为 ，如果 是偶数，则把 乘以 2 后再减去 2；如果 是奇数，则把 除以 2 后再加上 2，这样就可得到一个新的实数 ，对 仍按 上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 .当 时，甲获胜，否则乙获胜.若甲获胜的概率为 ，则 的值不可能是（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 23.一个口袋中有 2 个白球和 个红球（ ，且 ），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回 袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖. （1）试用含 的代数式表示一次摸球中奖的概率 P （2）若 ，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 ，当 为何值时， 取最大值. 3 5 3 10 1 2 2 5 1a m n、 m n+ 1a m n+ 1a 2a 2a 3a 3 1a a> 3 4 1a n 2n ≥ *n N∈ n 3n = ( )f p n ( )f p24. 一个袋中装 有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率； (Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 ， 求 ＋2 的概率． 命题阐释 本题两问中，一个是无放回取球，一个是有放回取球，试题通过这两个问题，考查列举基本事件个数、 找出所求的随机事件所含有的基本事件个数的数据处理能力以及运算求解能力． 思考流程 (Ⅰ)(条件)四个球中不放回取出两个球 ⇨ (目标)取出的球的编号之和不大于 4 的概率 ⇨ (方法)列举基 本事件的个数，从中找出随机事件“球的编号之和不大于 4”所包含的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行 计算；(Ⅱ)(条件)有放回地从四个球中取出两个球 ⇨ (目标)求解一个古典概型 ⇨ (方法)仍然是列举基本事件的 个数，再从中找出随机事件“ ＋2”所含有的基本事件的个数，根据古典概型的公式进行计算． 25. 一河南旅游团到安徽旅游．看到安徽有很多特色食品，其中水果类较有名气的有：怀远石榴、砀山梨、徽州 m n n < m n < m青枣等 19 种，点心类较有名气的有：一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等 38 种，小吃类较有名气的有：符离 集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等 57 种．该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买 6 种带给亲朋品 尝． （Ⅰ）求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数； （Ⅱ）若某游客从买回的 6 种特产中随机抽取 2 种送给自己的父母，[来源:gkstk.Com] ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的 2 种特产均为小吃的概率． 【考点预测】 1. 设不等式组 表示的平面区域为 ．在区域 内随机取一个点，则此点到直线 的距离大于 2 的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 Rt△ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC= 90°，AD⊥BC 于 D，E 在△ABC 内任意移动，则 E 于△ACD 内 的概率为（ ） A． B． C． D． 3. 从集合{－1，1，2，3}中随机选取一个数记为 m，从集合{－1，1，2}中随机选取一个数记为 n，则方程 ＝1 表示双曲线的概率为 . 2 2 , 4 2 x y x y − + ≥ ≥ −    0 ≤ ， D D +2=0y 4 13 5 13 8 25 9 25 3 5 3 4 16 25 4 5 2 2x y m n +4. 已知 的面积等于 ，在 的边 上任取一点 ，则 的面积不小于 的概率等 于 ． [ 5.设 和 都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意 ，都有 ，则称 和 是“友好函数”，设 . （1）若 ，求 和 是“友好函数”的概率； （2）若 ，求 和 是“友好函数”的概率． ( )f x ( )g x [ ]1,2x∈ ( ) ( ) 8f x g x+ ≤ ( )f x ( )g x ( ) , ( ) bf x ax g x x = = { } { }1,4 , 1,1,4a b∈ ∈ − ( )f x ( )g x [ ] [ ]1,4 , 1,4a b∈ ∈ ( )f x ( )g x ABC∆ S ABC∆ AB P PBC∆ 7 S 20 07 01 26