数学
一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1.直线 l： 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由直线的斜率 ，又 ，再求解即可.
【详解】解：由直线 l： ，
则直线的斜率 ，
又 ，
所以 ，
即直线 l： 的倾斜角为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了直线倾斜角的求法，属基础题.
2.圆心为 且过原点的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】D
【解析】
试题分析：设圆的方程为 ，且圆过原点，即 ，
.
3 0x y+ − =
6
π
4
π 3
4
π 5
6
π
tan 1k α= = − [ )0,α π∈
3 0x y+ − =
tan 1k α= = −
[ )0,α π∈
α = 3
4
π
3 0x y+ − = 3
4
π
( )1,1
( ) ( )2 21 1 1x y− + − =
( ) ( )2 21 1 1x y+ + + =
( ) ( )2 21 1 2x y+ + + =
( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
( ) ( )2 21 1 ( 0)x y m m− + − = > ( ) ( )2 20 1 0 1 ( 0)m m− + − = >得 ，所以圆的方程为 .故选 D.
考点：圆的一般方程.
3.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理即可计算得解．
【详解】 ， ， ，
由正弦定理 ，可得： ．
故选 D．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.与直线 关于 轴对称的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设对称直线上的点为 ，求它关于 轴的对称点并代入已知直线的方程，所得方程即为所求的直线方
程.
【详解】设对称直线上的点为 ，
则其关于 轴的对称点 在直线 上，
所以 即 ，选 A.
【点睛】若直线 ，那么 关于 轴的对称直线的方程为 ，
.
2m = ( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
ABC∆ A B C a b c 45A = ° 120B = ° 6a = b =
2 6 3 2 3 3 3 6
45A = 120B = 6a =
∴
sin sin
a b
A B
= sin 6 sin120 3 6sin sin45
a Bb A
⋅ ×= = =
2 1 0x y− + = x
2 1 0x y+ + = 2 1 0x y− − =
2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + =
( ),P x y x
( ),P x y
x ( ),Q x y− 2 1 0x y− + =
( )2 1 0x y− − + = 2 1 0x y+ + =
( )2 2: 0 0l Ax By C A B+ + = + ≠ l x 0Ax By C− + =关于 轴的对称直线的方程为 ，关于直线 对称的直线的方程 .
5.圆 与圆 的公共弦长为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 ，圆 的半径 ，圆心 到直线 的
距离 ，则弦长 ．故选 ．
6. 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得．
详解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故选 C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．
7.已知点 ，若直线 与线段 有交点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
y 0Ax By C− − = y x= 0Bx Ay C+ + =
2 2 4x y+ = 2 2 2 6 0x y y+ + − =
3 2 3
1y = 2 2 4x y+ = 2R = ( )0,0 1y =
1d = 2 22 2 3l R d= − = D
ABC A B C， ， a b c ABC
2 2 2
4
a b c+ −
C =
π
2
π
3
π
4
π
6
1
2ABCS absinC=
2 2 2 2a b c abcosC+ − =
2 2 21
2 4ABC
a b cS absinC
+ −= =
2 2 2 2absinCa b c+ − =
2 2 2 2a b c abcosC+ − =
sinC cosC=
( )C 0,π∈
C 4
π∴ =
( )2, 2 , ,3( )1A B − 1 0kx y− − = AB k
3( , 4) ,2
−∞ − +∞
34, 2
− C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知 A、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集
即可．
【详解】根据题意，若直线 l：kx﹣y﹣1＝0 与线段 AB 相交，
则 A、B 在直线的异侧或在直线上，
则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，
即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得 k≤﹣4 或 k≥ ，
即 k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）．
故选 C．
【点睛】本题考查直线与线段 AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．
8.若圆 上有且仅有两点到直线 的距离等于 1，则实数 r 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为圆心(5,1)到直线 4x＋3y＋2＝0 的距离为 ＝5，又圆上有且仅有两点到直线 4x＋3y＋2＝0
的距离为 1，则 4
8a = 10c = 60B °= ABC∆
2 2 2sin sin sinA B C+ < ABC∆
ABC∆
sin 2 sin 2A B= 2 2A B= 2 2A B π+ =
2A B
π+ =
A B> a b>
sin sin
a b
A B
= sin sinA B>
2 2 18 10 2 8 10 2
+ − × × × 84
2 2 2sin sin sinA B C+ < 2 2 2a b c+ <
2 2 2
cos 02
a b cC ab
+ −= <
ABC∆
xOy C 2 2 4 0x y x+ − = ( )1y k x= + P P
k
1 2 3 4【解析】
【分析】
先得到 的轨迹方程为圆，与直线 有交点，得到 的范围，得到答案.
【详解】
所作的圆的两条切线相互垂直，所以 ，圆点 ，两切点构成正方形
即
在直线 上，圆心距
计算得到
故答案选 AB
【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到 的轨迹方程是解题的关键.
三、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.过点 且与直线 l： 垂直的直线方程为______.（请用一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】
与直线 垂直的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入运算即可得解.
【详解】解：与直线 l： 垂直的直线方程可设为 ，
又该直线过点 ，
则 ，
则 ，
即点 且与直线 l： 垂直的直线方程为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了与已知直线垂直的直线方程的求法，属基础题.
14.平行直线 和 之间的距离为______.
【答案】
P ( )1y k x= + k
2 2 2 24 0 ( 2) 4x y x x y+ − = ∴ − + =
P P C
2 2=PC 2 2( 2) 8x y− + =
P ( )1y k x= +
2
2 0 2 2
1
k kd
k
− += ≤
+
2 2 2 2k− ≤ ≤
P
( )2, 3A − 2 3 0x y− − =
2 1 0x y+ − =
0Ax By n+ + = 0Bx Ay m− + =
2 3 0x y− − = 2 0x y m+ + =
( )2, 3A −
2 2 3 0m× − + =
1m = −
( )2, 3A − 2 3 0x y− − = 2 1 0x y+ − =
2 1 0x y+ − =
2 3 0ax y+ − = 2 1 2 0x ay a+ + − =
2
2【解析】
【分析】
先根据两直线平行求出 的值，再求两平行直线之间的距离.
【详解】由两直线平行得 ，
当 时，两直线重合，经检验 .
所以两直线为 和 ，
所以两平行直线之间的距离为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查两直线平行的性质和距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15.直线 ∶ 与圆 ∶ 交于 两点，则当弦 最短时直线 的方程
为______；当弦 最长时直线 的方程为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）先求出直线 l 过定点 ，当 时，弦心距最长，AB 最短，再求出直线 l 的方程；（2）
当直线通过圆心时，AB 最长，再求出此时直线 l 的方程.
【详解】由题得 ，所以直线 l 过定点 ，
（1）当 时，弦心距最长，AB 最短. 此时 ,
此时直线 l 的方程为 ，即 .
（2）当直线通过圆心时，AB 最长，所以 .
所以此时直线 l 的方程为 .
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查直线的定点问题，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生
对这些知识的理解掌握水平.
a
2 2 0, 2a a a× − × = ∴ = ±
2a = 2a = −
2 2 3 0x y− + = 2 2 5 0x y− + =
2 2
| 5 3| 2 2
22 22 ( 2)
− = =
+ −
2
2
l 2 1 0mx y m+ − − = C 2 2( 2) 4x y+ − = ,A B AB l
AB l
2 4 3 0x y− + = 2 2 0x y+ − =
1( ,1)2P PC AB⊥
(2 1) 1 0m x y− + − = 1( ,1)2P
PC AB⊥
1 1 1
2 1 2
10 2
AB
PC
k k
= − = − =−
−
1 11 ( )2 2y x− = − 2 4 3 0x y− + =
2 0 2 1 0 1m m m× + − − = ∴ =，
2 2 0x y+ − =
2 4 3 0x y− + = 2 2 0x y+ − =16.设 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ，则
的外接圆半径为________.
【答案】
【解析】
【分析】
等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简求出 sinB 的值，从而求出 B 的度
数，由正弦定理得出结果．
【详解】在 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ，
化简得： •tanB＝cosB•tanB＝sinB＝ ，∵ ，∴B＝ 或 B＝ ．
且 ，由正弦定理得 ， .
故答案为：
【点睛】本题考查了余弦定理和正弦定理的应用，以及同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
四、解答题：（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，18—22 题每题 12 分，共 70 分）
17.求圆 上与直线 的距离最小的点的坐标.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出过圆心且与直线 垂直的直线方程，再联立圆方程 即得解.
的ABC∆ ( )2 2 2 tan 3a c b B ac+ − = 2b = ABC∆
2 33
ABC∆ ( )2 2 2 tan 3a c b B ac+ − =
2 2 2
2
a c b
ac
+ − 3
2
( )0,B π∈
3
π 2
3
π
2b =
2 4 3 2sin 33
2
b RB
= = = 2 33R∴ =
2 33
2 2 4x y+ = 4 3 12 0x y+ − =
8 6,5 5P
4 3 12 0x y+ − =
2 2 4
3 4 0
x y
x y
+ =
− =【详解】
过圆心且与直线 垂直的直线方程为 ，
联立圆方程 得交点坐标为 ， ，
又因为与直线 的距离最小，所以 .
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.在 中，角 的对边分别是 ，已知 ， ，且 ．
（1）求 的面积；
（2）若角 为钝角，点 为 中点，求线段 的长度．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由 ，根据正弦定理可证得 ， ，利用面积公式求得结果；
（2）运用公式 即可求得结果.
【详解】（1） ，
，
4 3 12 0x y+ − = 3 4 0x y− =
2 2 4
3 4 0
x y
x y
+ =
− =
8 6,5 5
8 6,5 5
− −
4 3 12 0x y+ − = 8 6,5 5P
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3c = sin 2sinB C= 1cos2 2A = −
ABC∆
A D BC AD
3 32
3
2
2sinB sinC= 2b c= 22 1 2cos A sin A= −
2
2
2
AB ACAD
+=
sin 2sin 2 2 3B C b c= ∴ = =
2 1 3cos2 1 2sin sin2 2A A A= − = − ∴ =（2）由 为钝角可得 ，
【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理求三角形边长，再运用面积公式求出三角形面
积，在求解过程中要注意公式的运用，尤其是边角的互化，熟练掌握公式是本题的解题关键
19.已知圆 ： ，圆 关于直线 对称，圆心在第二象限，半径为
.
（1）求圆 的方程；
（2）直线 与圆 相切，且在 轴、 轴上的截距相等，求直线 的方程.
【答案】（1） （2） 或 .或
【解析】
分析】
（1）通过圆 关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为 ，得到关于 的方程组，求解方
程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到
直线距离等于半径求解直线方程．
【详解】（1）由 知圆心 的坐标为 ，
圆 关于直线 对称， 点 在直线 上，
则 ，又 ，圆心 在第二象限， ， ，
所求圆 的方程为
（2） 当切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，可设 的方程为 ，
圆 的方程可化为 ，圆心 到切线的距离等于半径 ，
【
1 3 3sin2 2S bc A= =
A 1cos 2A = −
2 2 22 2 cos 9
2 4 4
AB AC b c bc AAD
+ + += = =
3.2AD∴ =
C 2 2 3 0x y Dx Ey+ + + + = C 1 0x y+ − = 2
C
l C x y l
2 2 2 4 3 0x y x y+ + − + = 3 0x y+ − = 1 0x y+ + = ( )2 6y x= ±
C 2 ,D E
2 2 3 0x y Dx Ey+ + + + = C ,2 2
D E − −
C 1 0x y+ − = ∴ ,2 2
D E − − 1 0x y+ − =
2D E+ = −
2 2 12 24
D E+ − = C ∴ 2D = 4E = −
∴ C 2 2 2 4 3 0x y x y+ + − + =
1 l x y a+ =
C ( ) ( )2 21 2 2x y+ + − = ( )1,2C − 2即 ， ，或
当切线在两坐标轴上的截距为零，设 ，求得：
所求切线方程 或 或
【点睛】本题易错点为假设直线方程时，忽略截距相等中的截距为零的情况，造成求解不完整．
20.在 中， ，边 上的高 所在的直线方程为 ，边 上中线 所在
的直线方程为 .
（1）求点 坐标；
（2）求直线 的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 AC 边上的高 BE 所在的直线方程可得 kAC．利用点斜式可得 AC 方程,与 CM 方程联立解得 C 坐标．
（2）设 B 点坐标，可得中点 M 坐标代入 CM 方程，与 BE 方程联立，可得点 B 坐标，利用点斜式即可得出
所求直线方程．
【详解】（1） 边上的高为 ，故 的斜率为 ，
所以 的方程为 ，
即 ，
因为 的方程为
1 2 2
2
a− + − = 1a∴ = − 3a =
2 y kx= ( )2 6y x= ±
3 0x y+ − = 1 0x y+ + = ( )2 6y x= ±
ABC∆ ( 1,2)A − AC BE 7 4 46 0x y+ − = AB CM
2 11 54 0x y− + =
C
BC
( )6 6C ， 2 18 0x y+ − =
AC 7 4 46 0x y+ − = AC 4
7
AC ( )42 17y x− = +
4 7 18 0x y− + =
CM 2 11 54 0x y− + = 解得
所以 .
（2）设 ， 为 中点，则 的坐标为 ，
解得 ，
所以 ， 又因为 ，
所以 的方程为
即 的方程为 .
【点睛】本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能
力，属于基础题．
21.如图所示，一辆汽车从 市出发沿海岸一条直公路以 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在
市南偏东方向距 市 且与海岸距离为 的海上 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件
送给这辆汽车的司机.
（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？
（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 所成的角.
【答案】（1）快艇至少以 的速度行驶才能把稿件送到司机手中；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设快艇以 的速度从 处出发，沿 方向， 后与汽车在 处相遇，
过 作 的垂线 ，利用余弦定理求出 ，再利用二次函数求解即可；（
2）求出 ， ， ，由余弦定理得 ，即得解.
【详解】（1）设快艇以 的速度从 处出发，沿 方向， 后与汽车在 处相遇，
2 11 54 0
4 7 18 0
x y
x y
− + =
− + =
，
，
6
6
x
y
=
=
( )6 6C ，
( )0 0,B x y M AB M 0 01 2,2 2
x y− +
0 0
0 0
1 22 11 54 02 2
7 4 46 0
x y
x y
− + − + =
+ − =
0
0
2
8
x
y
=
=
( )2,8B ( )6,6C
BC ( )8 66 62 6y x
−− = −−
BC 2 18 0x y+ − =
A 100 /km h A
A 500km 300km B
AB
60 /km h 90°
/vkm h B BC th C
B AC BD 2
2
250000 80000 10000v t t
= − +
500AB = 625AC = 375BC = 90ABC∠ = °
/vkm h B BC th C过 作 的垂线 ，则 ，
在 中， ， ， ，
设 ，则 ， .
由余弦定理，得 ，
∴ .
整理得：
.
当 ，即 时， 取得最小值 3600，∴ ，
∴快艇至少以 的速度行驶才能把稿件送到司机手中.
（2）当 时，在 中，
， ， ，
由余弦定理，得 ，
∴ ，
∴快艇以最小速度行驶时的行驶方向与 所成的角为 .
【点睛】本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
平.
22.在平面直角坐标系 中，已知直线 ∶ 和圆 ∶ ， 是直线 上一点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 .
（1）若 ，求点 坐标；
（2）若圆 上存在点 ，使得 ，求点 的横坐标的取值范围；
B AC BD 300BD =
ABC∆ 500AB = 100AC t= BC vt=
BAC α∠ = 3sin 5
BD
AB
α = = 4cos 5
α =
2 2 2 2 cosBC AC AB AB AC α= + − ⋅
2 2 2 2 4(100 ) 500 2 500 100 5v t t t= + − × × ⋅
2
2
250000 80000 10000v t t
= − +
2
1 8 1250000 25 25t t
= − +
21 4250000 360025t
= − +
1 4
25t
= 25
4t = 2v ( )min 60 /v km h=
60 /km h
60 /v km h= ABC∆
500AB = 25100 6254AC = × = 2560 3754BC = × =
2 2 2
cos 02
AB BC ACABC AB BC
+ −∠ = =⋅
90ABC∠ = °
AB 90°
xOy l 4 0x y− + = O 2 2 4x y+ = P l
P C ,M N
PM PN⊥ P
O ,A B 60APB∠ = ° P（3）设线段 的中点为 ， 与 轴的交点为 ，求线段 长的最大值.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先求出 到圆心的距离为 ，设 ，解方程 即得解；（2）设
， 若 圆 上 存 在 点 ， 使 得 ， 分 析 得 到 ， 即
， 解 不 等 式 得 解 ； （ 3 ） 设 ， 可 得 所 在 直 线 方 程 ：
， 点的轨迹为： ，根据 求出最大
值得解.
【详解】（1）若 ，则四边形 为正方形，
则 到圆心的距离为 ，
∵ 在直线 上，设
故 ，解得 ，故 ；
（2）设 ，若圆 上存在点 ，使得 ，
过 作圆的切线 ， ，∴ ，∴ ，
在直角三角形 中，∵ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ ，解得 ，
∴点 横坐标的取值范围为： ；
MN Q l x T TQ
( )2,2P − [ ]4,0− 3 2
P 2 2 ( ), 4P x x + 2 2( 4) 2 2x x+ + =
( ), 4P x x + O ,A B 60APB∠ = ° 30 90CPO° ≤ ∠ < °
2 22 ( 4) 4x x< + + ≤ ( )0 0, 4P x x + MN
( )0 0 4 4x x x y+ + = Q
2 21 1 1
2 2 2x y + + − = | | | | 3 2TQ TC R+ =
PM PN⊥ PMON
P 2 22 2 2 2+ =
P 4 0x y− + = ( ), 4P x x +
2 2| | ( 4) 2 2OP x x= + + = 2x = − ( )2,2P −
( ), 4P x x + O ,A B 60APB∠ = °
P PC PD 60CPD∠ ≥ ° 30CPO∠ ≥ °
CPO∆ 30 90CPO° ≤ ∠ < °
1 sin 12 CPO≤ ∠ < 1 2 12 OP
≤ < 2 4OP< ≤
2 22 ( 4) 4x x< + + ≤ 4 0x− ≤ ≤
P [ ]4,0−（3）设 ，则以 为直径的圆的方程为
化简得 ，与 联立，
可得 所在直线方程： ，
联立 ，得 ，
∴ 的坐标为 ，
可得 点的轨迹为： ，
圆心 ，半径 .其中原点 为极限点（也可以去掉）.
由题意可知 ，∴ .
∴ .
∴线段 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆中的轨迹问题的解法，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力.
( )0 0, 4P x x + OP
( )22 2 2
0 00 0 44
2 2 4
x xx xx y
+ ++ − + − =
( )2 2
0 0 4 0x x x x y y− − + + = 2 2 4x y+ =
MN ( )0 0 4 4x x x y+ + =
( )0 0
2 2
4 4
4
x x x y
x y
+ + =
+ =
( )2 2 2
0 0 0 0 04 8 4 8 64 120 0x x x x x x x+ + − − − − =
Q 0 0
2 2
0 0 0 0
2 2 8,4 8 4 8
x x
x x x x
+
+ + + +
Q
2 21 1 1
2 2 2x y + + − =
1 1,2 2C −
2
2R = ( )0,0
( )4,0T −
2 21 1 5 2| | 4 2 2 2TC = − + + =
| | | | 3 2TQ TC R+ =
TQ 3 2
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