2020 年高考数学二模试卷(文科)
一､选择题
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
集合 ,
所以 ，故选 B.
2.若复数 （ ）是纯虚数，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
分析】
化简复数 ，由它是纯虚数，求得 ，从而确定 对应的点的坐标．
【详解】 是纯虚数，则 ， ，
，对应点为 ，在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
3.在平行四边形 中， ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
分析】
根据 是平行四边形得 ， ，然后代入数量积结合 即
可求出结论.
【详解】解：∵ ，
【
【
( )A { | lg 2 }x y x= = − { }2 2B x x= − ≤ ≤ A B∩ =
{ | 2}x x ≥ − { | 2 2}x x− ≤ < { }2 2x x− < < { }2x x <
{ }A | 2x x= < { }B | 2 2x x= − ≤ ≤
A B { | 2 2}x x∩ = − ≤ <
2 2
1
a i
i
+
+ a R∈ 2 2a i+
2 2
1
a i
i
+
+ a 2 2a i+
2 2
1
a i
i
+
+
2( )(1 ) 1 (1 )(1 )(1 )
a i i a a ii i
+ −= = + + −+ −
1 0
1 0
a
a
+ =
− ≠ 1a = −
2 2 2 2a i i+ = − + ( 2,2)−
ABCD 2, 1AB AD= = AC BD⋅
3− 2−
ABCD AC AB AD= + BD BA AD= + 2, 1AB AD= =
2, 1AB AD= =∴ .
故选：A.
【点睛】本题考查向量的数量积，解题时利用向量的加减法法则用 表示出 ，再由数量积的
运算律计算．
4.定义运算 ，则函数 的图象是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由已知新运算 的意义就是取得 中的最小值，
因此函数 ，
只有选项 中的图象符合要求，故选 A.
5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛
马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各
畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人
要求赔偿五斗粮食（1 斗=10 升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗
是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A. B. C. D.
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1AC BD AB AD BA AD AB AD AB AD AD AB⋅ = + ⋅ + = + ⋅ − + = − = 22 3− = −
,AB AD ,AC BD
( )
( )
a a ba b b a b
≤⊕ = > ( ) 1 2xf x = ⊕
a b⊕ ,a b
( ) 1, 01 2 2 , 0
x
x
xf x x
>= ⊕ = ≤
A
25 50 100, ,7 7 7
25 25 50, ,14 7 7
100 200 400, ,7 7 7
50 100 200, ,7 7 7【答案】D
【解析】
【分析】
设羊户赔粮 升,马户赔粮 升,牛户赔粮 升,易知 成等比数列, ,结合等
比数列的性质可求出答案.
【 详 解 】 设 羊 户 赔 粮 升 , 马 户 赔 粮 升 , 牛 户 赔 粮 升 , 则 成 等 比 数 列 , 且 公 比
,则 ,故 , , .
故选:D.
【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
6.若 P 是 的充分不必要条件，则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
由 p 是 的充分不必要条件知“若 p 则 ”为真，“若 则 p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，
“若 q 则 ”为真，“若 则 q”为假，故选 B．
考点：逻辑命题
7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为 ，则①处应填的数字为
1a 2a 3a 1 2 3, ,a a a 1 2 32, 50q a a a= + + =
1a 2a 3a 1 2 3, ,a a a
1 2 32, 50q a a a= + + = 1(1a q+ )2 50q+ = 1 2
50 50
1 2 2 7a = =+ + 2 1
1002 7a a= = 2
3 1
2002 7a a= =
q¬ ¬
q¬ q¬ q¬
p¬ p¬
31A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求 S
的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S i 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 3 2 是
第二圈 7 3 是
第三圈 15 4 是
第四圈 31 5 否
故最后当 i＜5 时退出，
故选 B．
8.已知 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4 5 6 7
,x y
0
0
1
x y
x y
x
−
+
3
2
y
x
−
−
3 ,42
(1,2] ( ,0] [2, )−∞ +∞ ( ,1) [2, )−∞ ∪ +∞【答案】C
【解析】
【分析】
设 ，则 的几何意义为点 到点 的斜率，利用数形结合即可得到结论.
【详解】解：设 ，则 的几何意义为点 到点 的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图可知当过点 的直线平行于 轴时，此时 成立；
取所有负值都成立；
当过点 时， 取正值中的最小值， ，此时 ；
故 的取值范围为 ；
故选：C.
【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意
义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．
9.抛物线方程为 ，一直线与抛物线交于 两点，其弦 的中点坐标为 ，则直线的方程为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
3
2
yk x
−= − k ( , )x y (2,3)
3
2
yk x
−= − k ( , )P x y (2,3)D
D x 3 02
yk x
−= =−
3
2
yk x
−= −
A 3
2
yk x
−= −
1 (1,1)0
x Ax y
= ⇒ − =
3 1 3 22 1 2
yk x
− −= = =− −
3
2
y
x
−
− ( ,0] [2, )−∞ +∞
2 4y x= A B、 AB (1,1)
2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y− − − =【解析】
【分析】
设 ， ，利用点差法得到 ，所以直线 的斜率为 2，又过点 ，再
利用点斜式即可得到直线 的方程.
【详解】解：设 ，∴ ，
又 ，两式相减得： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的斜率为 2，又∴过点 ，
∴直线 的方程为： ，即 ，
故选：A.
【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代
入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．
10.已知变量 x 与变量 y 的取值如下表所示，且 ，则由该数据算得的线性回归方程可能是（
）
x 2 3 4 5
y 2.5 m n 6.5
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由回归方程必过样本中心 ，且 ，以及正负相关性，代
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2
1 2
4 22
y y
x x
− = =− AB (1,1)
AB
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 2y y+ =
2
1 1
2
2 2
4
4
y x
y x
=
=
( )2 2
1 2 1 24y y x x− = −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 24y y y y x x+ − = −
1 2
1 2
4 22
y y
x x
− = =−
AB (1,1)
AB 1 2( 1)y x− = − 2 1 0x y− − =
2.5 6.5m n< < <
ˆ 0.8 2.3y x= + ˆ 2 0.4y x= + ˆ 1.5 8y x= − + ˆ 1.6 10y x= − +
( ),x y ( ) ( )13.5 6.5 2.5 3.5 5.54x y m n= = × + + + ∈， ，入选项即可得到结果．
【详解】由回归方程必过样本中心 ， ，
又 ，所以 ，由表格，可得为正相关，排除 C，D；代入选项 A，B，可知 A
满足． 故选：A．
【点睛】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．
11.已知点 ，若点 在曲线 上运动，则 面积的最小值为（ ）
A. 6 B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得直线 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得 位于 ，结合点到直线的距离公式和
两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.
【详解】解：曲线 表示以原点 为圆心，1 为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线 的方程为 ，
可得 ，由圆与直线的位置关系知 在 时， 到直线 距离最短，即为
，
则 的面积的最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的
最小值，这由数形结合思想易得．
( ),x y ( )13.5 6.5 2.54x y m n= = × + + +，
2.5 6.5m n< < < 3.5 5.5y∈（ ， ）
( 3,0), (0,3)A B− P 21y x= − − PAB△
9 3 22 2
− 9 3 22 2
+
AB P ( 1,0)−
21y x= − − O
AB 3 0x y− + =
| | 3 2AB = P ( 1,0)− P AB
| 1 0 3| 2
2
− − + =
PAB△ 1 3 2 2 32
× × =12.f(x)是 R 上 偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2，则函数 y＝f(x)－|log5x|的零点个数
为( )
A. 4 B. 5
C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得函数 的周期为 2，再结合函数为偶函数可画出函数 的图象，然后根据函数 的图
象和函数 的图象的公共点的个数进行判断即可．
【详解】∵f(x＋2)＝f(x)，
∴函数 的周期为 2．
由题意可得 ，
在同一坐标系内画出函数 和 的图象，如下图，
由图象得，两函数图象有 5 个交点，
所以函数 y＝f(x)－|log5x|共有 5 个零点．
故选 B．
【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题
出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．
二､填空题(共 4 小题)
13.函数 ( ，且 )恒过点_____.
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
令对数的真数等于 1，求得 的值，即为定点 的坐标.
的
( )f x ( )f x ( )f x
5y log x=
( )f x
( ) 5f x log x=
( )y f x= 5y log x=
2log ( 5) 1ay x= − + 0a > 1a ≠
(4,1) (6,1)
x y、 P【详解】解：令 得， 或 6，
此时 ，
所以函数过定点 或 ，
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，掌握对数函数的性质是解题关键．
14.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 的顶点 A(－6,0)和 C(6,0)，若顶点 B 在双曲线 的左支
上，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
由定义得到 ， 结合正弦定理角化边即可得出结论.
【详解】由条件知 ，且 .又在△ABC 中，有 (R 为△ABC
外接圆的半径)，从而 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用双曲线的定义以及正弦定理的角化边的应用，属于中档题.
15.在直三棱柱 内有一个与其各面都相切的球 ，若 ， ，则球
的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
三棱柱的内切球的半径等于底面三角形的内切圆的半径，由题意求出三角形的内切圆的半径即可求解结论.
【详解】解：由题意知内切球的半径为 与底面三角形的内切圆的半径相等，
而三角形 为直角三角形， ，所以 ，
设三角形内切圆的半径为 ，由面积相等可得： ，所以 ，
2( 5) 1x − = 4x =
1y =
(4,1) (6,1)
(4,1) (6,1)
2 2
125 11
x y− =
sin sin
sin
A C
B
− =
5
6
10BC BA− = 12AC =
10BC BA− = 12AC = 2sin sin sin
BC AB AC RA C B
= = =
sin sin 5
sin 6
BC ABA C
B AC
−− = =
5
6
1 1 1ABC A B C− 1O , 3AB BC AB⊥ = 4BC = 1O
4π
R
ABC , 3, 4AB BC AB BC⊥ = = 5AC =
r 1 1(3 4 5) 3 42 2R + + = × × 1R =所以内切球的表面积 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查三棱柱内切球问题，确定内切球的半径为 与底面三角形的内切圆的半径相等是解题关
键．
16.在数列 中， ，则数列 的通项公式 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，又 ，数列 的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，对
分奇数和偶数两种情况，分别求出 ，从而得到数列 的通项公式 .
【详解】解：∵ ，
∴ ①， ②，
①﹣②得： ，又∵ ，
∴数列 的奇数项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，
∴当 为奇数时， ，
当 为偶数时，则 为奇数，∴ ，
∴数列 的通项公式 ，
故答案为： .
24 4S Rπ π= =
4π
R
{ }na 1 11, 2n na a n a+= = − { }na na =
,
1,
n n
n n
−
为奇数
为偶数
1 1 2 ( 2)n na a n+ −− = 1 1a = { }na n
na { }na ,
1,n
n na n n
= −
为奇数
为偶数
1 2n na n a+ = −
1 2n na a n+ + = 1 2( 1) ( 2)n na a n n−+ = −
1 1 2 ( 2)n na a n+ −− = 1 1a =
{ }na
n na n=
n 1n − 12( 1) 2( 1) ( 1) 1n na n a n n n−= − − = − − − = −
{ }na ,
1,n
n na n n
= −
为奇数
为偶数
,
1,
n n
n n
−
为奇数
为偶数【点睛】本题考查求数列 通项公式，解题关键是由已知递推关系得出 ，从而确定
数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．
三､解答题
17.从某高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 和 之间，
将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组 ，第 2 组 ，…，第 6 组 ，如图是
按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）由频率分布直方图估计该校高三年级男生身高的中位数；
（2）在这 50 名男生身高不低于 的人中任意抽取 2 人，则恰有一人身高在 内的概率.
【答案】（1） .（2）
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图得 频率为 0.48， 的频率为 0.32，由此能求出中位数.
（2）在这 50 名男生身高不低于 的人中任意抽取 2 人， 中的学生人数为 4 人，
中的学生人数为 2 人，可用列举法求出基本事件总数，恰有一人身高在 内包含的基本
事件个数，再由概率公式计算出概率.
【详解】解：（1）由频率分布直方图得 频率为：
，
的频率为： ，
∴中位数为： .
（2）在这 50 名男生身高不低于 的人中任意抽取 2 人，
的 1 1 2 ( 2)n na a n+ −− =
160cm 184cm
[160,164) [164,168) [180,184]
176cm [180,184]
168.25 8
15
[160,168) [168,172)
176cm [176,180)
[180,184) [180,184]
[160,168)
(0.05 0.07) 4 0.48+ × =
[168,172) 0.08 4 0.32× =
0.5 0.48168 4 168.250.32
−+ × =
176cm中的学生人数为 人，编号为 ，
中的学生人数为 人，编号为 ，
任意抽取 2 人的所有基本事件为 ， ， ， 共
15 个，
恰有一人身高在 内包含的基本事件有 ， ， ， 共 8 个，
∴恰有一人身高在 内的概率 .
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查中位数的概念，及古典概型，古典概型问题的关键是求出所求概
率事件含有的基本事件的个数．可用列举法写出所有基本事件，然后计数．
18.已知函数 .
（1）当 时，求函数的值域；
（2） 的角 的对边分别为 且 ， ，求 边上的高 的最大值.
【答案】（1） .（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.
（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得 的最大值，可得 边上的高 的最大值
.
【详解】解：（1）∵函数 ，
当 时， ， .
（2） 中， ， ∴ .
由余弦定理可得 ，当且仅当 时，取等号，
即 的最大值为 3.
[176,180) 0.02 4 50 4× × = , , ,A B C D
[180,184) 0.01 4 50 2× × = ,a b
, , , ,AB AC AD Aa Ab , , ,BC BD Ba Bb , ,CD Ca Cb , ,Da Db ab
[180,184] ,Aa Ab ,Ba Bb ,Ca Cb ,Da Db
[180,184] 8
15P=
23 1( ) sin cos , ( )2 2 2
xf x x x R= + − ∈
[0, ]x π∈
ABC , ,A B C , ,a b c 3c = ( ) 1f C = AB h
1 ,12
−
3
2
ab AB h
23 1 3 1 cos 1( ) sin cos sin sin2 2 2 2 2 2 6
x xf x x x x
π+ = + − = + − = +
[0, ]x π∈ 7,6 6 6x
π π π + ∈
1sin ,16 2x
π + ∈ −
ABC 3c = ( ) 1 sin 6f C C
π = = + 3c
π=
2 2 2 2 23 2 cosc a b ab C a b ab ab= = + − ⋅ = + − a b=
ab再根据 ，故当 取得最大值 3 时， 取得最大值为 .
【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所
用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．
19.如图 1，等腰梯形 中， ， 是 的中点.将 沿
折起后如图 2，使二面角 成直二面角，设 是 的中点， 是棱 的中
点.
（1）求证： ；
（2）求证：平面 平面 ；
（3）判断 能否垂直于平面 ，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3） 与平面 不垂直，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明 ，只需证明 平面 ，利用 与 E 是等边三角形，即可证明；
（2）证明平面 平面 ，只需证明 平面 ，只需证明 平面 即可；
（3） 与平面 不垂直.假设 平面 ，则 ，从而可证明 平面 ，可得
，这与 矛盾.
【详解】（1）证明：设 中点为 ，连接 ，
∵在等腰梯形 中， ， ， ， 是 的中点，∴ 与
都是等边三角形.
∴ ， .
∵ ， ､ 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
（2）证明：连接 交 于点 ，∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴
1 13 sin2 2 3ABCS h ab
π= ⋅ ⋅ = ⋅
ab h 3
2
ABCD / / , , 60AD BC AB AD ABC °= ∠ = E BC ABE△ AE
B AE C− − F CD P BC
AE BD⊥
PEF ⊥ AECD
DE ABC
DE ABC
AE BD⊥ AE ⊥ BDM ABE△ ADE
PEF ⊥ AECD PN ^ AECD BM ⊥ AECD
DE ABC DE ⊥ ABC DE AB⊥ DE ⊥ ABE
DE AE⊥ 60AED °∠ =
AE M BM
ABCD / / AD BC AB AD= 60ABC °∠ = E BC ABE△
ADE
BM AE⊥ DM AE⊥
BM DM M∩ = BM DM ⊂ BDM
AE ⊥ BDM
BD ⊂ BDM AE BD⊥
CM EF N / / ME FC ME FC= MECF N是线段 的中点.
∵ 是 的中点，∴ .
∵ 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，
∴平面 平面 .
（3）解： 与平面 不垂直.
证明：假设 平面 ，则 ，∵ 平面 ，∴ .
∵ ， ､ 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ ，这与 矛盾.
∴ 与平面 不垂直.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定
理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.
20.
设椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率 ，右准线为 ， 是 上的两
个动点， ．
（Ⅰ）若 ，求 的值；
CM
P BC //PN BM
BM ⊥ AECD PN ^ AECD
PN ⊂ PEF
PEF ⊥ AECD
DE ABC
DE ⊥ ABC DE AB⊥ BM ⊥ AECD BM DE⊥
=AB BM B AB BM ⊂ ABE DE ⊥ ABE
AE ⊂ ABE DE AE⊥ 60AED °∠ =
DE ABC
( )2 2
2 2 1, 0x y a ba b
+ = > > 1 2,F F 2
2e = l ,M N l
1 2 0F M F N⋅ =
1 2 2 5F M F N= = ,a b（Ⅱ）证明：当 取最小值时， 与 共线．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
由 与 ，得 ，
， 的方程为 ．
设 ，
则 ，
由 得
． ①
（Ⅰ）由 ，得
， ②
， ③
由①、②、③三式，消去 ，并求得 ，
故 ．
（Ⅱ） ，
当且仅当 或 时， 取最小值 ，
MN 1 2F M F N+
1 2F F
2, 2a b= =
2 2 2a b c− = 2
2
ae c
= = 2 22a b=
1 2
2 20 02 2F a F a
−
， ， ， l 2x a=
( ) ( )1 22 2M a y N a y， ， ，
1 1 2 2
3 2 2
2 2F M a y F N a y
= =
， ， ，
1 2 0F M F N⋅ =
2
1 2
3 02y y a= − ＜
1 2 2 5F M F N= =
2
2
1
3 2 2 52 a y
+ =
2
2
2
2 2 52 a y
+ =
1 2,y y 2 4a =
22, 2
2
a b= = =
( )22 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 6MN y y y y y y y y y y y y a= − = + − ≥ − − = − =
1 2
6
2y y a= − = 2 1
6
2y y a= − = MN 6
2 a此时， ，
故 与 共线．
21.设函数 ， .
（1）求函数 最大值；
（2）求证： 恒成立.
【答案】（1） .（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导函数，通过导数判断单调区间，进而求最值，
（2）由（1）知函数 的最大值，通过单调性求不等式另一边 的最小值，进而得证.
【详解】解：（1） ，
令 ，解之得 ，
当 ，函数单调递增；
当 ，函数单调递减；
∴ 时， 取最大值 ，
（2）由（1）知 ，
而且函数 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 恒成立.
【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，考查用导数求函数的最值．掌握导数怀单调性的关系是解题
关键．在证明不等式 时，证明 也是一种方法，实际上这种不等式一般是证
明 ．
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
3 2 2 2 2 , 2 2 ,0 22 2F M F N a y a y a y y a F F
+ = + = + = =
， ，
1 2F M F N+
1 2F F
( ) 1 lnf x x x x= − − ( )2( ) 1 xg x e e−= +
( )f x
( ) ( )f x g x<
21 e−+
( )f x ( )g x
( ) 1 ln 2 2 ln , ( 0)f x x x x′ = − − − = − − >
( ) 0f x′ = 2x e−=
( )20, , ( ) 0x e f x− ′∈ >
( )2 , , ( ) 0x e f x− ′∈ +∞ <
2x e−= ( )f x ( )2 2 2 2 21 ln 1f e e e e e− − − − −= − − = +
2( ) 1f x e−+
( )2( ) 1 xg x e e−= + (0, )+∞
( ) ( )2 2 0 21 1 1xe e e e e− − −+ > + = +
( ) ( )f x g x<
( ) ( )f x g x< max min( ) ( )f x g x<
( ) ( ) 0f x g x− 1t 2t
t 1 2 1 2 2 5MA MB t t t t+ = + = + =
( ) | | | |f x x a x b= + + − 0a > 0b >
( )f x M（2）若 ，求证： .
【答案】（1） .（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值 ；
（2）利用分析法，只需证明 ，两边平方后结合 即可得证.
【详解】（1） ，当且仅当 时
取等号，
∴ 的最小值 ；
（2）证明：依题意， ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证
，即证 ，又 可知， 成立，故原不
等式成立.
【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过
执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．
2c M> 2 2c c ab a c c ab− − < < + −
+a b
M
2| |a c c ab− < − 2 , 0c a b a> + >
( ) | | | | |( ) ( ) | | |f x x a x b x a x b a b a b= + + − + − − = + = + ( )( ) 0x a x b+ −
( )f x M a b= +
2 0c a b> + >
2 2c c ab a c c ab− − < < + − 2| |a c c ab− < − 2 2 22a ac c c ab− + < −
2 2 0a ac ab− + < ( 2 ) 0a a c b− + < 2 , 0c a b a> + > ( 2 ) 0a a c b− +
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