数学理科 第 1 页（共 6 页）
吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第三次调研测试
理科数学
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试
题卷一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求。
1. 已知集合 , ，则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 =
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ，则向量 在向量 方向上的投影为
A. B. C. D.
4. 已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件
是
A. ∥ B. ∥
{-1,0,1,2}A = { | lg(1 )}B x y x= = − A B =
{2} { 1,0}− { 1}− { 1,0,1}−
z iz
1 1= − z
i1 1
2 2
+ i1 1
2 2
−
i1 1
2 2
− + i1 1
2 2
− −
a b( 3,1), (3, 3)= − = b a
3− 3 1− 1
m n, ,α β α β⊥
m n m n, ,α β⊂ ⊂ m n m n, ,α β⊥ ⊥
★ 保 密数学理科 第 2 页（共 6 页）
C. ∥ ∥ D.
5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
6. 函数 的对称轴不可能为
A. B. C. D.
7. 已知 为定义在 上的奇函数，且满足 当 时，
, 则
A. B. C. D.
8. 已知数列 为等比数列，若 ，且 ，则
A. B. 或 C. D.
9. 椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 的大小为
A. B. C. D.
10. 已知 ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，
介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 个全等的直角三
角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如
图（2）所示的图形，它是由 个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正
六边形，设 ,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率
为
A. B.
m n m,⊥ n,α β m n m,⊥ n,α β⊥ ⊥
10
3 3
8
3
7
3
f x x 2( ) cos(2 )3
π= +
x 5
6
π= − x 3
π= − x 6
π= x 3
π=
f x( ) R f x f x( 4) ( ),+ = x (0,2)∈
f x x2( ) 2= f (3) =
18− 18 2− 2
na{ } a a a76 8 26+ + = a a5 9 36⋅ =
a a a76 8
1 1 1+ + =
13
18
13
18
19
36
13
9
13
6
x y2 2
19 2
+ = F F1 2, P PF2| | 2= F PF1 2
∠
150° 135° 120° 90°
ba b c a0.2
1
2
1( )2 , log 0.2,= = = a b c, ,
a b c< < c a b< < a c b< < b c a< <
4
6
A F F A2′ ′ ′=
2 13
13
4
13
A B
C
DE
F
A
B
C
D
E
F
图1 图2
2 2
2
1
正视图
俯视图
侧视图数学理科 第 3 页（共 6 页）
C. D.
12. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点，点 是其一条渐近线上一点，
且以 为直径的圆经过点 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 二项式 的展开式中 的系数为（用数字作答） .
14. 已知两圆相交于两点 ，若两圆圆心都在直线 上，则 的
值是 .
15. 若点 在直线 上，则 的值等于 .
16. 已知数列 的前 项和 且 ，设 ，则
的值等于 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）
在 中，角 的对边分别为 ，若 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 外一点， ,求四边形 面积的最大值.
2 7
7
4
7
F F1 2, x yC a b
2 2
2 2: 1− = P
F F1 2 P PF F1 2
∆ b22 3
3
3 2 5 3
x 5(2 )− x3
A a B( ,3), ( 1,1)− x y b 0+ + = a b+
P(cos ,sin )α α y x2= cos(2 )2
πα +
na{ } n n nS a1
4
λ= − + 1
1
4a = x xf x e e2( ) 1−= − +
f a f a f a72 1 2 2 2(log ) (log ) (log )+ + +
ABC∆ A B C, , a b c, , a b C C3 (sin 3cos )= +
B
A 3
π= D ABC∆ DB CD2, 1= = ABDC数学理科 第 4 页（共 6 页）
18.（12 分）
在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励
学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，
对高三年级随机选取 45 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于 5 小时的有
19 人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 ，统计成绩后得到如下
列联表：
分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计
线上学习时间不少于 5 小时 4 19
线上学习时间不足 5 小时
合计 45
（1）请完成上面 列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学
生线上学习时间有关”；
（2）（Ⅰ）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于 120 分和分数不足 120 分
的两组学生中抽取 9 名学生，设抽到不足 120 分且每周线上学习时间不足 5 小时的人数是 ，
求 的分布列（概率用组合数算式表示）；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于 120 分的学生中随
机抽取 20 人，求这些人中每周线上学习时间不少于 5 小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式 其中 ）
8
13 2 2×
2 2×
X
X
2
0( )P K k≥
0k
n ad bcK
a b c d a c b d
2
2 ( )
( )( )( )( )
−=
+ + + + n a b c d= + + +数学理科 第 5 页（共 6 页）
19.（12 分）
如图所示，在四棱锥 中， ∥ , ，点
分别为 的中点.
（1）证明： ∥面 ；
（2）若 ，且 ，面 面 ,求二面角 的余弦
值.
20.（12 分）
已知倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 相交于 、
两点,且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 为抛物线 上任意一点（异于顶点），过 做倾斜角互补的两条直线 、 ，
交抛物线 于另两点 、 ，记抛物线 在点 的切线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角
为 ，求证： 与 互补.
21.（12 分）
已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，
P ABCD− AB CD AD AB CD DAB1 , 602
= = ∠ = °
E F, CD AP,
PC BEF
PA PD⊥ PA PD= PAD ⊥ ABCD F BE A− −
4
π 2: 2 ( 0)C x py p= > F C A
B | | 8AB =
C
P C P 1l 2l
C C D C P l α CD
β α β
2( ) ln ( 1) 1( , ).f x x ax a b x b a b R= − + − − + + ∈
0a = ( )f x
0 2, 1a b< < = 1 2,x x 2( )f x m ax= −
A B
CD
EF
P数学理科 第 6 页（共 6 页）
求证： .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为
极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设 为曲线 上位于第一，二象限的两个动点，且 ,射线
交曲线 分别于 ，求 面积的最小值，并求此时四边形 的面积.
23.（10 分）
已知 均为正实数，函数 的最小值为 .
证明：（1） ；
（2） .
1 2
1 1 4 2ax x
+ > −
xOy 1C 3cos
sin
x
y
α
α
= =
α O
x 2C sin( ) 26
πρ θ + =
1C 2C
,A B 1C 2AOB
π∠ = ,OA OB
2C ,D C AOB∆ ABCD
, ,a b c 22 2
1 1 1( ) | | | | 4f x x x ca b
= + + − + 1
2 2 24 9a b c+ + ≥
1 1 1 12 2ab bc ac
+ + ≤数学理科 第 7 页（共 6 页）
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理科数学参考答案与评分标准
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B A D A D C A C B D B
二、填空题
13. - 40； 14. -1; 15. ； 16. 7
三、解答题
17. 解：
（1） ,由正弦定理得:
， 即
-----------------3 分
即
-----------------------------------------------------------------------------------6 分
（2）在 中，
又 ， 则 为 等 边 三 角 形 ，
-------------------8 分
4
5
−
3 (sin 3 cos )a b C C= +
3sin sin (sin 3 cos )A B C C= +
3sin( ) sin sin 3sin cosB C B C B C+ = + 3 cos sin sin sinB C B C=
sin 0, 3 cos sinC B B≠ ∴ = tan 3B =
(0, ), 3B B
ππ∈ ∴ =
BCD 2, 1BD CD= = 2 2 21 2 2 1 2 cosBC D∴ = + − × × × 5 4cos D= −
3A
π= ABC 21 sin2 3ABCS BC
π= × =
5 3 3 cos4 D−数学理科 第 8 页（共 6 页）
又 ，
--------------------------------------------10 分
当 时 ， 四 边 形 的 面 积 取 最 大 值 ， 最 大 值 为 .
------------------------------12 分
18.解：
（1）
分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计
线上学习时间不少于 5 小时 15 4 19
线上学习时间不足 5 小时 10 16 26
合计 25 20 45
---------------------------------------------------------3 分
有 99% 的 把 握 认 为 “ 高 三 学 生 的 数 学 成 绩 与 学 生 线 上 学 习 时 间 有 关 ”
----------------------------5 分
（ 2 ）（ I ） 由 分 层 抽 样 知 ， 需 要 从 不 足 120 分 的 学 生 中 抽 取 人
--------------------------------6 分
的可能取值为 0，1,2,3,4.
, ,
, ---------------------8 分
（II）从全校不少于 120 分的学生中随机抽取 1 人
此人每周上线时间不少于 5 小时的概率为 -----------10 分
设从全校不少于 120 分的学生中随机抽取 20 人，这些人中每周线上学习时间不少于 5 小
时 的 人 数 为 ， 则 ， 故 ,
1 sin sin2BDCS BD DC D D= × × × =
5 3 sin 3 cos4ABCDS D D∴ = + − = 5 3 2sin( )4 3D
π+ −
∴ 5
6D
π= ABCD 5 3 24
+
2
2 45(15 16 10 4) 7.29 6.63525 20 19 26K
× − ×= ≈ >× × ×
∴
209 445
× =
X
4
4
4
20
( 0) CP X C
= =
3 1
4 16
4
20
( 1) C CP X C
= =
2 2
4 16
4
20
( 2) C CP X C
= =
1 3
4 16
4
20
( 3) C CP X C
= =
4
16
4
20
( 4) CP X C
= =
15 0.625
=
Y (20,0.6)Y B ( ) 20 0.6 12E Y = × =数学理科 第 9 页（共 6 页）
--------------------12 分
19．解“
（1）证明：连接 交 于 ，连接
≌
----------------------------------------------2 分
面 面
面 -------------------------------------4 分
（2）取 中点 ，连 ， .由 ，
面 面
面 ，又由 ，
以 分 别 为 轴 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系
----------------------------------------6 分
设 ，则 ， , ,
， -------------------8 分
为面 的一个法向量 ------------------------9 分
设面 的法向量为 ，
依题意， 即
令 ，解得 -----------------------10 分
( ) 20 0.6 (1 0.6) 4.8D Y = × × − =
AC BE H FH
, ,AB CE HAB HCE= ∠ = ∠ BHA CHA∠ = ∠
ABH∴∆ CEH∆
AH CH FH PC∴ = ∴
FH ⊂ ,FBE PC ⊄ FBE
PC∴ FBE
AD O PO OB PA PD= PO AD∴ ⊥
PAD ⊥ ABCD
PO∴ ⊥ ABCD 60DAB∠ = AD AB=
OB AD∴ ⊥
, ,OA OB OP , ,X Y Z
2AD = (1,0,0)A (0, 3,0)B ( 1,0,0)D − 1 1(0,0,1), ( ,0, )2 2P F
(2,0,0)EB DA= = 1 1( , 3, )2 2BF = −
1 (0,0,1)n = BEA
FBE 2 0 0 0( , , )n x y z=
2
2
0
0
EB n
BF n
⋅ = ⋅ =
0
0 0 0
2 0
1 13 02 2
x
x y z
= − + =
0 3y = 0 26. (0, 3,6)z n= =
1 2
1 2
1 2
, 6 2 39cos , 1339
n nn n
n n
= = =
⋅
A B
CD
EF
P
x y
z
HO数学理科 第 10 页（共 6 页）
因为二面角为锐角，故其余弦值为 --------------------12 分
20.解：
（1）由题意设直线 的方程为
令 、 ，联立 得 ----------3 分
，
根据抛物线的定义得 ，又 ，
故所求抛物线方程为 ----------------------5 分
（2）依题意，设 ， ，
设 的方程为 ，与 联立
消去 得 ----------------------------------7 分
，同理 -------------------------------------8 分
，直线 的斜率 = ---10 分
切线 的斜率 。由 ，得 与 互补 ---------12 分
21. 解：
（1）依题意 ，当 时， -------------------1 分
2 39
13
AB 2
py x= +
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
2
2
py x
x py
= +
=
2
2 3 04
py py− + =
1 2 3y y p∴ + =
1 2 4AB y y p p= + + = 8AB = 4 8, 2p p∴ = =
2 4x y=
2
0
0( , )4
xP x
2
( , )4
C
C
xC x
2
( , )4
D
D
xD x
1l
2
0
0( )4
xy k x x− = − 2 4x y=
y 2 2
0 04 4 0x kx kx x− + − =
0 4Cx x k∴ + = 0 4Dx x k+ = −
02C Dx x x∴ + = − CD
2 2
2 1
2 14( )CD
x xK x x
−= −
1 ( )4 C Dx x+ 0
1
2 x= −
l 0 0
1
2l x xK y x=′= = 0l CDK K+ = α β
0x > 0a = 1( ) ( 1)f x bx
′ = − +数学理科 第 11 页（共 6 页）
①当 时， 恒成立，此时 在定义域上单调递增；----------3 分
②当 时，若 ， ；若 ，
故此时 的单调增、减区间分别为 、 ------------5 分
（2）方法 1：由 得
令 ，则 --------7 分
依题意有 ， ------- 8 分
要证 ，只需证 （不妨设 ），
即证 --------------------10 分
令 ， ，
在 单调递减， ，从而有 ----12 分
方法 2：由 得
令 ，则 ， ----7 分
当 时 ， 时 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减， ---------8 分
不妨设 ，则 ，
1b ≤ − ( ) 0f x′ > ( )f x
1b > − 10, 1x b
∈ + ( ) 0f x′ > 1 ,1x b
∈ +∞ + ( ) 0f x′ <
( )f x 10, 1b
+
1 ,1b
+∞ +
2( )f x m ax= − ln ( 2) 2 0x a x m+ − + − =
( ) ln ( 2) 2g x x a x= + − + 1 2( ) ( )g x g x m= =
1 1 2 2ln ( 2) ln ( 2)x a x x a x+ − = + −
2
1
1 2
ln
2
x
xa x x
∴ − = −
1 2
1 1 4 2ax x
+ > −
2
1 2 1
1 2 1 2
2ln
2(2 )
x
x x xax x x x
−+ > − = − 1 2x x<
1 2 2
2 1 1
2lnx x x
x x x
− < −
2
1
( 1)x t tx
= > 1( ) 2ln ,g t t t t
= − + 2
2
2 1 1( ) 1 ( 1) 0 g t t t t
′ = − − = − − <
( )g t∴ (1, )+∞ ( ) (1) 0g t g∴ < =
1 2
1 1 4 2ax x
+ > −
2( )f x m ax= − ln ( 2) 2 0x a x m+ − + − =
( ) ln ( 2) 2g x x a x= + − + 1 2( ) ( )g x g x m= = 1( ) (2 )g x ax
′ = − −
1(0, )2x a
∈ − ( ) 0g x′ > 1( , )2x a
∈ +∞− ( ) 0g x′ <
( )g x 1(0, )2 a−
1( , )2 a
+∞−
1 2x x< 1 2
10 2x xa
< < − 2
1
2(4 2 ) 1
xx a x
< − −
2
2
1(0, )(4 2 ) 1 2
x
a x a
∈− − −
2
1
2
( ) ( )(4 2 ) 1
xg x g a x
< − −
2
2
2
( ) ( )(4 2 ) 1
xg x g a x
< − −
( ) ( ) ( )(4 2 ) 1
xh x g x g a x
= − − −
1
2x a
> −
( ) 2
1( ) ( ) ( )(4 2 ) 14 2 1
xh x g x g a xa x
′ ′ ′= + − −− −
( ) 2
1 (2 ) 1 (2 ) 1
4 2 1
a x a x
x xa x
− − − − + − −
( )
( )
2
2
4(2 ) 2 1 0
4 2 1
a a x
a x
− − − − <
− −
( )h x∴ 1 ,2 a
+∞ −
1( ) ( ) 02h x h a
∴ < =−
1
2x a
> − ( ) ( )(4 2 ) 1
xg x g a x
< − − 1 2
1 1 4 2ax x
+ > −
1C 3 cos
sin
x
y
α
α
= =
α 2
2 13
x y+ =
2C sin( ) 26
πρ θ + = sin cos cos sin 26 6
π πρ θ ρ θ+ =
3 4 0x y+ − =
1C
2 2
2 2cos sin 13
ρ θ ρ θ+ =
1( , )A ρ θ 2( , )2B
πρ θ + 3( , )D ρ θ 4( , )2C
πρ θ +
2 2
2 21
1
cos sin 13
ρ θ ρ θ+ =
2 2
2 22
2
sin cos 13
ρ θ ρ θ+ = 2 2
1 2
1 1 4
3ρ ρ+ =数学理科 第 13 页（共 6 页）
，当且仅当 （即 ）时取“=” -------------8 分
故 ，即 面积的最小值为 -------------------9 分
此时
故所求四边形的面积为 -----------------------10 分
23. 证明
（ 1 ） ，
------------------------------------3 分
由柯西不等式得
当且仅当 时取“=”。 ----------5 分
（2）
（以上三式当且仅当 时同时取“=”） ------------------7 分
将以上三式相加得
即 ----------------------------------10 分
2 2
1 2 1 2
2 1 1 4
3ρ ρ ρ ρ∴ ≤ + = 1 2
ρ ρ=
4
πθ =
1 2
1 3
2 4AOBS ρ ρ∆ = ≥ AOB∆ 3
4
3 4
1 1 2 2
2 2 sin( ) cos( )4 6 4 6
CODS ρ ρ π π π π∆ = =
+ +
4 8
cos 3
π= =
3 298 4 4
− =
, , 0a b c > ∴ 2 2 2
1 1 1( ) 4f x x xa b c
= + + − + 2 2 2
1 1 1( ) 4x xa b c
≥ + − − +
2 2 2
1 1 1
4a b c
= + +
∴
2 2 2
1 1 1
4a b c
+ + 1=
2 2 2( 4 )a b c+ +
2 2 2
1 1 1( )4a b c
+ + 2(1 1 1) 9≥ + + =
2 3a b c= = = ∴ 2 2 24 9a b c+ + ≥
2 2
1 1 2 ,a b ab
+ ≥ 2 2
1 1 1 ,4b c bc
+ ≥ 2 2
1 1 1
4a c ac
+ ≥
2 3a b c= = =
2 1 1
ab bc ac
+ + ≤ 2 2 2
1 1 12( ) 24a b c
+ + =
1 1 1 12 2ab bc ac
+ + ≤
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