广东省揭阳市2019-2020学年高三下学期线上教学摸底测试数学（理）试题（解析版）

揭阳市 2020 年高三数学（理科）线上教学摸底测试 说明：本自测题共 16 题，分为两个部分，第一部分（1-12 题），第二部分（13-16 题），均 为单项选择题.其中第 1 小题 5 分，其余 15 小题每题 3 分，满分 50 分，测试时间 40 分钟. 第一部分（1-12 题） 1.已知集合 A 为自然数集 N，集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得集合 ，再根据集合的交并运算求得结果. 【详解】因为 ， 故可得 . 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交运算和并运算，属基础题. 2.已知复数 z 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的运算求得复数 ，再求其共轭复数即可. 【详解】因为 ，故可得 . 故可得 . 故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算以及共轭复数的求解，属基础题. 3.已知平面向量 , , 且 , 则 ( ) { }2| 3,B x x x N= > ∈ {1}A B∩ = { }0,1A B∪ = A B B∪ = A B A∪ = B { }2| 3,B x x x N= > ∈ { }2,3,4,=  ,A B B A B A∩ = ∪ = (1 )( 1) 3 2i z i− + = + z = 5 2 i− 5 2 i+ 1 5 2 i− − 1 5 2 i− + z (1 )( 1) 3 2i z i− + = + ( )( ) ( )( ) 3 2 13 2 1 51 11 1 1 2 2 i iiz ii i i + ++= − = − = − +− − + z = 1 5 2 2 i− − ( )a 1,2= ( )b 2,m = − a / /b b =A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据向量 ，列出方程求得 的值，得到向量 的坐标，再由模的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，向量 ，则 ，解得 ，即 ， 所以 ，故选 D． 【点睛】本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的 计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4.已知等差数列 中， 为其前 项的和， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列前 n 项和的性质得到 = ， = ， ，联立两式 可得到公差，进而得到结果. 【 详 解 】 等 差 数 列 中 ， 为 其 前 项 的 和 ， = ， = , ,联立两式得到 故答案为 C. 【点睛】本题考查了等差数列前 n 项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用 ；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 5.已知正数 a、b 满足 ，则 ab 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【 3 5 2 2 2 5 / /a b  m b / /a b  1 2 2 m =− 4m = − ( 2, 4)b = − − 2 2( 2) ( 4) 2 5b = − + − = { }na nS n 4 5S = 9 20S = 7a = 3− 5− 3 5 4S ( )2 32 a a+ 9S 59a 5 2 3 5 20 5, 2 59 2a a a a d= + = = − { }na nS n 4 5S = ( )2 32 a a+ 9 20S = 59a 5 2 3 5 20 5, 2 59 2a a a a d= + = = − 7 ,18d = 7 5 +2 3.a a d= = nS na na 1nS − 2 3 6a b+ = 1 9 1 4 1 3 1 2【分析】 根据基本不等式，即可容易求得结果. 【详解】因为正数 a、b 满足 ， 故可得 ， 当且仅当 时，即 时取得最大值. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求乘积的最大值，属基础题. 6.已知函数 ，则下列判断： ① 的定义域为 ； ② 值域为 ； ③ 是奇函数； ④ 在（0,1）上单调递增.其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数型复合函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性即可容易判断. 【详解】因为 ， 则其定义域为 且 ，解得 ，故①正确； 因为 ，故 ，则②错误； 因为其定义域不关于原点对称，故不是奇函数，则③错误； 当 ， 单调递减，又 也单调递减， 故 单调递增，故④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，属基础题. 7.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足 ，则 的大 的 2 3 6a b+ = ( ) ( ) ( )21 1 1 12 3 2 36 6 4 4ab a b a b= × × ≤ × + = 2 3 ,2 3 6a b a b= + = 6 6,4 6a b= = 1 2 ( ) logf x = ( 1)x x + ( )f x (0, )+∞ ( )f x [ )1,− +∞ ( )f x ( )f x 1 2 ( ) logf x = ( 1)x x + 1 0x x + > 0x ≠ 0x > 1 2x x + ≥ ( ) 1f x ≤ − ( )0,1x∈ 1y x x = + 1 2 logy x= ( )f x 2 cos cos + cosb B a C c A= B小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角形中的射影公式，即可容易求得结果. 【详解】因为 ，即 ， 解得 ，又因为 ，故可得 . 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中的射影公式，本质是利用正弦定理将边化角，属基础题. 8.要得到 的图象，只需把 的图象（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用降幂扩角公式把 化简，再利用函数平移进行处理即可. 【详解】因为 ； ， 故只需将 向左平移 个单位即可得到 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用降幂扩角公式进行三角化简，以及函数图像平移问题，属综合基础题. 9.我国古代数学名著《九章算术》有“勾股容圆” 曰：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”. “勾股 容圆”相当于给出了一个直角三角形的两条直角边长（勾 8 股 15），求其内切圆直径的问题.若在“勾股容圆” 问题中，从直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率是（ ） 2 π 3 π 4 π 6 π 2 cos cos + cosb B a C c A= 2bcosB b= 1 2cosB = ( )0,B π∈ 3B π= 2( ) 2cosg x x= ( )x R∈ 2( ) (sin cos )f x x x= + ( )x R∈ 4 π 4 π 2 π 2 π ( ) ( ),f x g x 2( ) (sin cos )f x x x= + 2 1sin x= + ( ) 22cos 2 1 sin 2 12g x x cos x x π = = + = + +   ( )f x 4 π ( )g xA. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先计算内切圆半径和面积，再根据几何概型的概率计算公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，可得直角三角形的三边长分别为 ， 设其内切圆半径为 ，根据等面积法可得 ， 解得 ，故内切圆面积为 ，三角形面积为 ， 直角三角形内随机取一点，则此点取自其内切圆的概率 . 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，属基础题. 10.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 在给定区间内 ，根据指对幂函数的单调性，即可容易判断. 【详解】因为 ，故可得 根据指数函数 是减函数，故可得 ； 根据幂函数 是增函数，故可得 ； 根据 是单调减函数，且 ，故可得 ； 由上述判断可知， ，则 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对幂函数的单调性，比较大小，属综合中档题. 10 π 3 20 π 5 π 4 π 8,15,17 r ( )1 18 15 8 15 172 2 r× × = + + × 3r = 2 9rπ π= 1 8 15 602 × × = 9 3 60 20P π π= = ( , )4 2x π π∈ sina x= cosb x= a ba a> a aa b< log 1a b < b aa b> sinx cosx> ( , )4 2x π π∈ 1 0a b> > > xy a= a ba a< ay x= a aa b> logay x= ( )0,1b∈ log log 1a ab a> = b a aa a b> > b aa b>11.已知抛物线 和椭圆 （ ），直线 l 与抛物线 M 相切，其倾斜角为 ， l 过椭圆 N 的右焦点 F，与椭圆相交于 A、B 两点， ，则椭圆 N 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，利用导数的几何意义求出 的方程，以及点 坐标，则可得到 方程，求得 ，则离心率 得解. 【详解】根据题意，作图如下： 因为 ，故可得 ， 根据直线斜率为 ，解得切点为 ， 故直线 的方程为 ，整理得 故可得椭圆 右焦点坐标为 . 过 点作 轴 垂直，垂足为 ， 则在 中，由 ，容易得 ， 则可得 ，又 点在椭圆上， 故可得 ，结合 ， 解得 ，故离心率为 . 的 的 2: 12M x y= 2 2 2 2: 1x yN a b + = 0a b> > 4 π 2AF BF= < 1 2 2 2 3 3 3 2 l A ,a b , ,a b c 2 12x y= 21 1,12 6y x y x= =′ tan 14 π = ( )6,3 l 3 6y x− = − 3y x= − ( )3,0F A x H AHF 2, 45AF AFH= ∠ = ° 1FH AH= = ( )4,1A A 2 2 16 1 1a b + = 2 2 2 , 3a b c c= + = 3 2, 3a c= = 3 2 23 2 c a = =故选：B. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，利用导数几何意义求切线方程，涉及抛物线方程，属综合困难题. 12.已知△ABC 中，∠B=90º，DC⊥平面 ABC，AB=4，BC=5，CD=3，则三棱锥 的外接球表面积 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，将满足题意的几何体在长方体中截取，根据其外接球与长方体外接球相同，即可容易求得. 【详解】根据题意，在长方体中截取满足题意的几何体，如下所示： 如图所示，该长方体长宽高分别为 ，且棱锥的几何特点均满足题意要求， 故三棱锥 与长方体有相同外接球. 故可得外接球半径 . 则其表面积 . 故选：C. 【点睛】本题考查几何体外接球的求解，属中档题；本题的难点在于从长方体中截取满足题意的几何体. 第二部分（13-16 题） 13.已知偶函数 满足 ，则 在 上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增 【答案】A D ABC− 50 3 π 25π 50π 125 2 3 π 4,5,3 D ABC− 2 2 23 4 5 5 2 2 2r + += = 24 50S rπ π= = ( )f x 2( ) 2 xf x x −= + ( 0)x ≤ ( )f x (0, )+ ∞【解析】 【分析】 先判断函数在 的单调性，再根据函数奇偶性即可求得 上的单调性. 【详解】当 时， 都是单调减函数，故可得 也是单调减函数； 又因为 是偶函数，故可得 在区间 上单调递增. 故选：A. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及指数函数的单调性，属基础题. 14.已知数列 满足 ，则 值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据对数运算，求得 ，再利用等比数列的前 项和公式，即可求得结果. 【详解】因 ，故可得 ， 故可得 是首项为 ，公比为 的等比数列， 则 为数列 的前 项和， 则 . 故选：D. 【点睛】本题考查对数的运算，以及等比数列求和，属综合中档题. 15.抛出 4 粒骰子（每粒骰子的六个面分别有 1~6 共六个不同的点数），恰有 3 粒向上的点数不小于 5 的概 率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 为 0x ≤ ( )0,+∞ 0x ≤ 2 , 2 xy x y −= = ( )f x ( )f x ( )f x ( )0,+∞ { }na 2 2log log 3na n= + 2 4 6 20a a a a+ + + + 113 (2 4)× − 123 (2 4)× − 114 4 5 − 114 4− na n 2 2log log 3na n= + 2log 32 3 2n n na += = × { }2na 12 4 2 4 6 20a a a a+ + + + { }2na 10 ( )10 10 12 1 4 1 4S − = =− 114 4− 2 81 4 81 8 81 4 27先求出抛掷一粒骰子点数不小于 5 的概率，再根据二项分布的概率计算公式即可求得. 【详解】抛掷一粒骰子点数不小于 5 的概率为 ， 故可得抛掷 4 粒骰子，恰有 3 粒点数不小于 5 的概率为 . 故选：C. 【点睛】本题考查二项分布的概率计算，属基础题. 16.在三角形 中， 、 分别是边 、 的中点，点 在线段 上（不含端点），且 ，则代数式 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量基本定理，求得 之间的关系式，构造函数，利用导数求其最大值即可. 【详解】根据题意，作图如下： 设 ， ，故可得 ， 故可得 ， ，则 ，且 ，则 ， 构造函数 ， 则 ，令 ，解得 ， 故 在区间 单调递增，在区间 单调递减， 2 1 6 3 = 3 3 4 1 2 8 3 3 81C    ⋅ ⋅ =       OAB M N OA OB R MN OR xOA yOB= +   ln x ey+ 2 2 e− 21 e − 12 e − 22 e − ,x y MR MNλ=  ( )0,1λ ∈ 1 1 2 2 2 2 2OR OA AB OA OB λ λ λ = + = − +        1 2 2x λ= − 2y λ= 1 2x y+ = 1, 0, 2x y  ∈   1 2y x= − ( ) 1 1 2 2h x lnx e x lnx ex e = + − = − +   ( ) 1 exh x x =′ − ( ) 0h x′ = 1x e = ( )h x 10, e      1 1, 2e     故可得 . 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，以及利用导数求函数的最值，属综合困难题；本题的关键在于寻 找到 之间的等量关系，且要注意参数的范围. ( ) 1 22max eh x h e  = = −   ,x y