2020 年高考数学二模试卷（文科）
一、选择题
1．已知复数 z＝（1+i）（3﹣i）（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A．2 B．2i C．4 D．4i
2．已知集合 A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|x≥a}，若 A∪B＝R，则实数 a 的值可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
3．命题 p：m＝2，命题 q：直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0 与直线 mx+2y﹣3m＝0 垂直，则
p 是命题 q 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若 a＝log23，b＝log47，c＝0.74，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
5．已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a6+a3﹣a5＝3，则 S7＝（ ）
A．42 B．21 C．7 D．3
6．已知向量 ， ，若 ，则实数 m 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 BC1 的中点，则异面直线 DE 与 A1B1 所成角的正
切值为（ ）
A． B． C． D．
8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
9．设 F 为抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 + + ＝ ，则| |+|
|+| |为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
10．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵
爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含
四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄
实，利用 2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾 2+股 2＝弦 2，设
勾股中勾股比为 1： ，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在
黄色图形内的图钉颗数大约为（ ）
（参考数据 ≈1.732， ≈1.414）
A．130 B．134 C．138 D．142
11．已知函数 f（x）＝x3﹣x，则曲线 y＝f（x）过点（1，0）的切线的条数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
12．关于函数 f（x）＝cos|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）的图象关于 y 轴对称；②f（x）在[﹣π，π]有 3 个零点；
③f（x）的最小值为 ；④f（x）在区间 单调递减．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题
13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝60°，a2＝bc，则 sinBsinC
＝ ．14．已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z＝3x+y﹣1 的最大值为 ．
15．直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的顶点都在同一球面上，若 AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90
°，则此球的表面积等于 ．
16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0），M（﹣4，0），N（4，0），P（
0，﹣2），Q（0，2），H（4，2）．线段 OM 上的动点 A 满足
；线段 HN 上的动点 B 满足 ．直线 PA 与直线 QB 交于点 L，设直线 PA 的斜
率记为 k，直线 QB 的斜率记为 k'，则 k•k'的值为 ；当 λ 变化时，动点 L 一定在
（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．
三、解答题：共 70 分．解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～19 为必
考题，每个试卷考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
17．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱 PA 的中点，AB⊥AC，AC＝
BC，平面 PAB⊥平面 PAC．
（1）求证：AB⊥平面 PAC；
（2）若 AC＝2，求三棱锥 P﹣BMC 的体积．
18．等差数列{an}的公差为 2，a2，a4，a8 分别等于等比数列{bn}的第 2 项，第 3 项，第 4 项
．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足 ，求数列{cn}的前 2020 项的和．
19．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心．某市积极响应上级部
门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的
悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠
状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在 15～75
岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15
，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”
和“中老年人”的人数比为 19：21．其中“青少年人”中有 40 人对防控的相关知识了
解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是 2：1．
（1）求图中 a，b 的值；
（2）现采取分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取 8 名市民，从 8 人中任选 2 人
，求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率是多少？
（3）根据已知条件，完成下面的 2×2 列联表，并根据统计结果判断：能否有 99.9%的
把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？
了解全面 了解不全面 合计
青少年人
中老年人
合计
附表及公式：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d．
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2，P 是椭圆上的一点
，I 为△PF1F2 的内切圆圆心，S ＝2S ﹣S ，且△PF1F2 的周长为 6
．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）已知过点（0，1）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 2 ＝3（ + ），求四
边形 OAPB 面积的最大值．
21．已知函数 f（x）＝x﹣lnx﹣ ．
（1）求 f（x）的最大值；
（2）若 ﹣bx≥1 恒成立，求实数 b 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖
国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型
曲线．如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．图
中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 ρ＝1﹣sinθ（p＝1﹣sinθ，ρ＞0），M
为该曲线上的任意一点．
（1）当 时，求 M 点的极坐标；
（2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求|MN|的最大值．
[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 0 分）
23．函数 f（x）＝ （x+1）2．
（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；（2）若存在 x∈R，且 x≠﹣1，使得 +f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，求 m 取值范围．参考答案
一、选择题：共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．
1．已知复数 z＝（1+i）（3﹣i）（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A．2 B．2i C．4 D．4i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵z＝（1+i）（3﹣i）＝3+1﹣i+3i＝4+2i，
∴z 的虚部为 2，
故选：A．
2．已知集合 A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|x≥a}，若 A∪B＝R，则实数 a 的值可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣2
【分析】可以求出 A＝{x|x≤﹣1}，根据 A∪B＝R 即可得出 a≤﹣1，从而得出 a 的值可
以为﹣2．
解：∵A＝{x|x≤﹣1}，B＝{x|x≥a}，且 A∪B＝R，
∴a≤﹣1，
∴a 的值可以为﹣2．
故选：D．
3．命题 p：m＝2，命题 q：直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0 与直线 mx+2y﹣3m＝0 垂直，则
p 是命题 q 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先根据垂直求出参数，然后判断充要性．
解：∵直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0 与直线 mx+2y﹣3m＝0 垂直，
∴（m﹣1）m+（﹣1）×2＝0，解之得 m＝﹣1，m＝2，
∴m＝2 是 m＝﹣1，m＝2 的充分不必要条件，
故选：A．
4．若 a＝log23，b＝log47，c＝0.74，则实数 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】容易得出 ，而 ，且 0.74＜1，从而得出 a
，b，c 的大小关系．
解： ，0.74＜1；
∴a＞b＞c．
故选：A．
5．已知数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a6+a3﹣a5＝3，则 S7＝（ ）
A．42 B．21 C．7 D．3
【分析】利用等差数列通项公式求出 a1+3d＝3，再由 S7＝ ＝7（a1+3d），
能求出结果．
解：∵数列{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a6+a3﹣a5＝3，
∴a1+5d+a1+2d﹣a1﹣4d＝a1+3d＝3，
∴S7＝ ＝7（a1+3d）＝21．
故选：B．
6．已知向量 ， ，若 ，则实数 m 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据条件即可求出 ，而根据 即可得出
，从而求出 m 的值．
解： ；
∵ ；
∴ ＝ ；
∴解得 ．
故选：D．
7．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 BC1 的中点，则异面直线 DE 与 A1B1 所成角的正
切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图所示，由 DC∥A1B1，DC⊥B1C．可得：∠EDC 为异面直线 DE 与 A1B1 所成角．利用直角三角形的边角关系即可得出．
解：如图所示，
∵DC∥A1B1，DC⊥B1C．
∴∠EDC 为异面直线 DE 与 A1B1 所成角．
∴tan∠EDC＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】直接利用程序框图的循环结构的应用求出结果．解：根据程序框图，
在执行循环前：n＝6，i＝1，
执行第一次循环：n＝3，i＝2．
执行第二次循环时，n＝4，i＝3，
由于执行第三次循环时，n＝2，
故输出：i＝4，
故选：B．
9．设 F 为抛物线 y2＝2x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 + + ＝ ，则| |+|
|+| |为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由 + + ＝ 可得 F 为三角形 ABC 的重心，由 三角形的重心公式可得 A，
B，C 的横坐标之和，再由抛物线的性质，大焦点的距离等于到准线的距离，可得所求的
结果．
解：因为 + + ＝ ，所以可得 F 为三角形 ABC 的重心，所以 ＝xF
由抛物线的方程可得准线方程为：x＝﹣ ，焦点坐标 F（ ，0），
所以 xA+xB+xC＝
由抛物线的性质可得，| |+| |+| |为 A，B，C 到准线的距离之和，
所以| |+| |+| |＝xA+xB+xC+3× ＝ + ＝3，
故选：D．
10．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵
爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含
四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄
实，利用 2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾 2+股 2＝弦 2，设
勾股中勾股比为 1： ，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在
黄色图形内的图钉颗数大约为（ ）
（参考数据 ≈1.732， ≈1.414）A．130 B．134 C．138 D．142
【分析】设勾为 a，则股为 ，弦为 2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，
再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以 1000 得答案．
解：如图，
设勾为 a，则股为 ，∴弦为 2a，
则图中大四边形的面积为 4a2，小四边形的面积为 ＝（ ）a2，
则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为 ．
∴落在黄色图形内的图钉数大约为 1000 ≈134．
故选：B．
11．已知函数 f（x）＝x3﹣x，则曲线 y＝f（x）过点（1，0）的切线的条数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】设出切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程，代入点（1，0），求解切点的
横坐标，进而可得切线方程，则答案可求．
解：设切点为（，x0，y0），
f（x）＝x3﹣x 的导数为 f′（x）＝3x2﹣1，
则有切线的斜率为 3x02﹣1，
切线的方程为 y﹣ +x0＝（3x02﹣1）（x﹣x0），代入（1，0），可得﹣ +x0＝（3x02﹣1）（1﹣x0），
整理并解得：x0＝1 或 ，
则过点（1，0）的切线方程为 y＝2x﹣2 或 y＝﹣ x+ ，共两条．
故选：B．
12．关于函数 f（x）＝cos|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）的图象关于 y 轴对称；②f（x）在[﹣π，π]有 3 个零点；
③f（x）的最小值为 ；④f（x）在区间 单调递减．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和关系式的恒等变换的应用求出结果．
解：关于函数 f（x）＝cos|x|+|sinx|有下述四个结论：
对于①由于 x∈R，且 f（﹣x）＝f（x），所以函数为偶函数，故 f（x）的图象关于 y 轴
对称；故正确．
②由于函数 f（x）为偶函数，所以当 x＝ 时，函数的值为 0，所以在[﹣π，π]有 2
个零点；故错误．
③函数 f（x）在 x＝π 时，函数的最小值﹣1；故错误．
④由于 ，所以 x+ ，
则 f（x）＝cos|x|+|sinx|＝ 在区间 单调递减．故正确．
故选：C．
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将你的答案填在答题卡对应题号的位置
上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝60°，a2＝bc，则 sinBsinC
＝ ．
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可求解．
解：∵A＝60°，a2＝bc，
∴由正弦定理可得 sinBsinC＝sin2A＝（ ）2＝ ．故答案为： ．．
14．已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z＝3x+y﹣1 的最大值为 6 ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z＝2x+y
过点（2，1）时，z 最大值即可．
解：先实数 x，y 满足 ，画出可行域，
然后平移直线 0＝3x+y，
当直线 z＝3x+y﹣1 过点（2，1）时，z 最大值为 6．
故答案为：6．
15．直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的顶点都在同一球面上，若 AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90
°，则此球的表面积等于 17π ．
【分析】设球的半径为 R，球心为 O，利用勾股定理即可得出 R2，可得球的表面积．
解：设球点半径为 R，球心为 O，
则 R2＝ + ＝ ．
∴此球的表面积＝4πR2＝17π．
故答案为：17π．16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0），M（﹣4，0），N（4，0），P（
0，﹣2），Q（0，2），H（4，2）．线段 OM 上的动点 A 满足
；线段 HN 上的动点 B 满足 ．直线 PA 与直线 QB 交于点 L，设直线 PA 的斜
率记为 k，直线 QB 的斜率记为 k'，则 k•k'的值为 ；当 λ 变化时，动点 L 一定在
双曲线 （填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．
【分析】根据向量关系得到 A，B 的坐标，再根据斜率公式可得 kk′＝ ；设 P（x，y）
，根据斜率公式可得 P 点轨迹方程．
解：∵ ；∴A（﹣4λ，0），又 P（0，﹣2），∴k＝ ＝﹣
；
∵ ．∴B（4，2﹣2λ），∴k′＝ ＝﹣ ，∴kk′＝ ，
设 L（x，y），则 k＝ ，k′＝ ，∴kk′＝ • ＝ ，
∴ ＝ ，即 ﹣ ＝1．
故答案为： ， ﹣ ＝1．三、解答题：共 70 分．解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～19 为必
考题，每个试卷考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题
17．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱 PA 的中点，AB⊥AC，AC＝
BC，平面 PAB⊥平面 PAC．
（1）求证：AB⊥平面 PAC；
（2）若 AC＝2，求三棱锥 P﹣BMC 的体积．
【分析】（1）由已知证明 CM⊥AB，结合 AB⊥AC，利用线面垂直的判定可得 AB⊥平
面 PAC；
（2）由已知求得 AB，再由等积法求三棱锥 P﹣BMC 的体积．
【解答】（1）证明：在正三角形 PAC 中，∵M 为棱 PA 的中点，∴CM⊥PA，
∵平面 PAB⊥平面 PAC，平面 PAB∩平面 PAC＝PA，CM⊂平面 PAC，
∴CM⊥平面 PAB，得 CM⊥AB，
又 AB⊥AC，AC∩CM＝C，∴AB⊥平面 PAC；
（2）解：在 Rt△BAC 中，∵AC＝2，AC＝ BC，
∴BC＝4，则 AB＝ ．
，
∴ ．
18．等差数列{an}的公差为 2，a2，a4，a8 分别等于等比数列{bn}的第 2 项，第 3 项，第 4 项
．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足 ，求数列{cn}的前 2020 项的和．
【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得 a1＝2．则 an 可求
．设等比数列{bn}的公比为 q，求得 q 与 b2，则{bn}的通项公式可求；
（2）由（1）知， ．代入得 ，即可求得
数 列 {cn}d 的 通 项 公 式 ； 数 列 {cn} 的 前 2020 项 的 和
＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．
然后利用错位相减法求解．
解：（1）依题意得： ，
∴ ，
∴ ，
解得 a1＝2．
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．
设等比数列{bn}的公比为 q，∴ ，
又 b2＝a2＝4，∴ ；
（2）由（1）知， ．
∵ ，①
当 n≥2 时， ，②
由①﹣②得， ，即 ，
又当 n＝1 时， 不满足上式，
∴ ；数列{cn}的前 2020 项的和
＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．
设 ，③
则 ，④
由③﹣④得：
＝ ＝﹣4﹣2019×22022．
∴ ，
∴S2020＝ ．
19．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心．某市积极响应上级部
门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的
悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠
状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在 15～75
岁之间的 200 人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15
，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”
和“中老年人”的人数比为 19：21．其中“青少年人”中有 40 人对防控的相关知识了
解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是 2：1．
（1）求图中 a，b 的值；
（2）现采取分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取 8 名市民，从 8 人中任选 2 人
，求 2 人中至少有 1 人是“中老年人”的概率是多少？
（3）根据已知条件，完成下面的 2×2 列联表，并根据统计结果判断：能否有 99.9%的
把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？
了解全面 了解不全面 合计
青少年人
中老年人
合计
附表及公式：K2＝ ，其中 n＝a+b+c+d． P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）由频率分布直方图以及“青少年人”和“中老年人”的人数比为 19：21，
列出关于 a 和 b 的方程组，解之即可；
（2）根据频率分布直方图中的数据算出 8 人中属于“中老年人”的人数，然后结合对立
事件的概率求解即可；
（3）先补充完整 2×2 列联表，然后根据 K2 的公式计算即可．
解：（1）由频率分布直方图可知，（a+0.03+b+0.01+0.005+0.005）×10＝1 即 a+b＝
0.05①，
因为“青少年人”和“中老年人”的人数比为 19：21，
所以 ②，
由①②解得，a＝0.0325，b＝0.0175．
（2）年龄处于[25，35）和[45，55）的人数比为 ，
所以随机抽取的 8 人中，处于[45，55）年龄段的人数为 人，即 8 人中有 2 人是
“中老年人”，
故所求的概率为 ．
（3）200 人中属于“青少年人”的人数为 200×（0.0175+0.03）×10＝95 人，
属于”中老年人“的人数为 200﹣95＝105 人，
又因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是 2：1，
所以了解全面的有 ，了解不全面的有 105﹣70＝35 人，补充完成的 2×2 列联表如下所示，
了解全
面
了解不
全面
合计
青少年
人
40 55 95
中老年
人
70 35 105
合计 110 90 200
所以 ＞10.828．
故能够有 99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识．
20．已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2，P 是椭圆上的一点
，I 为△PF1F2 的内切圆圆心，S ＝2S ﹣S ，且△PF1F2 的周长为 6
．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）已知过点（0，1）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 2 ＝3（ + ），求四
边形 OAPB 面积的最大值．
【分析】（1）因为 S ＝2S ﹣S ，所以|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，即 a＝
2c①，结合△PF1F2 的周长为 6，可算得 a，c，b，进而得出答案．
（2）设直线 AB 的方程为 y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程消 y 可得
，（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，利用韦达定理得 ，因为 2 ＝3（
），所以 S 四边形 OAPB＝3S△OAB，从而可得 S 四边形 OAPB 面积表达式，逐步化简，求其最大
值．
解：（1）因为 S ＝2S ﹣S ，
所以|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，即 a＝2c①，
又因为△PF1F2 的周长为 6，所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝6，即 2a+2c＝6②，
由①②可得 a＝2，c＝1，则 b＝ ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）设直线 AB 的方程为 y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
则由 ，联立消 y 可得，（3+4k2）x2+8kx﹣8＝0，
，
因为 2 ＝3（ ），
所以 S 四边形 OAPB＝3S△OAB，
所以 S 四边形 OAPB＝ |x1﹣x2|＝ ＝ ，
令 ，
所以 k2＝ ，
所以 S 四边形 OAPB＝ ＝ ，
又因为 y＝2t+ 在区间[1，+∞）上单调递增，
所以 y≥3，
所以 S 四边形 OAPB≤2 ．
所以四边形 OAPB 的面积最大值为 2 ．
21．已知函数 f（x）＝x﹣lnx﹣ ．
（1）求 f（x）的最大值；
（2）若 ﹣bx≥1 恒成立，求实数 b 的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值即可．（ 2 ） ⇔ ， 令
， ，令 h（x）＝x2ex+lnx，h（x）在（0，
+∞）单调递增，h（x）在（0，1）存在零点 x0，即 ，推出 φ（
x）在（0，x0）减，在（x0，+∞）增，求出最小值得到 b≤2．
解：（1） ，定义域（0，+∞），
，
由 ex≥x+1＞x，f（x）在（0，1]增，在（1，+∞）减，f（x）max＝f（1）＝1﹣e．
（2） ⇔﹣lnx+x+xex ﹣bx
﹣1≥0 ，
令 ， ，
令 h（x）＝x2ex+lnx，h（x）在（0，+∞）单调递增，
x→0，h（x）→﹣∞，h（1）＝e＞0h（x）在（0，1）存在零点 x0，
即 ，
，
由于 y＝xex 在（0，+∞）单调递增，故 ，即 ，
φ（x）在（0，x0）减，在（x0，+∞）增，
，
所以 b≤2．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖
国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型
曲线．如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．图
中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 ρ＝1﹣sinθ（p＝1﹣sinθ，ρ＞0），M为该曲线上的任意一点．
（1）当 时，求 M 点的极坐标；
（2）将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求|MN|的最大值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换
．
（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
解：（1）设点 M 在极坐标系中的坐标 ，
由 ρ＝1﹣sinθ，得 ， ，
∵0≤θ＜2π，
∴ 或
所以点 M 的极坐标为 或
（1）由题意可设 M（ρ1，θ）， ．
由 ρ＝1﹣sinθ，得 ρ1＝1﹣sinθ， ．
＝ ＝ ＝
故 时，|MN|的最大值为 ．
[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 0 分）
23．函数 f（x）＝ （x+1）2．
（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；
（2）若存在 x∈R，且 x≠﹣1，使得 +f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，求 m 取值范围．【分析】（1）由函数 f（x）＝ （x+1）2≥0，能证明 f（x）+|f（x）﹣2|＝|f（x）|+|f（
x）﹣2|≥2．
（2） +f（x）≥2 ＝1，从而|m2﹣m﹣1|≥1，由此能求出 m 取值范
围．
解：（1）证明：∵函数 f（x）＝ （x+1）2．∴f（x）≥0，
∴f（x）+|f（x）﹣2|＝|f（x）|+|f（x）﹣2|≥|f（x）﹣[f（x）﹣2]|＝2．
∴f（x）+|f（x）﹣2|≥2．
（2）解：∵存在 x∈R，且 x≠﹣1，使得 +f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，f（x）＞0，
∴ +f（x）≥2 ＝1，
当且只当 ，即 f（x）＝ 时等号成立，
∴|m2﹣m﹣1|≥1，
∴m2﹣m﹣1≥1 或 m2﹣m﹣1≤﹣1，
解得 m 取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[2，+∞）．
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