江苏省南通市通州区 2020 届高三年级第二学期复学后联考
数学试卷
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则 A B＝ ．
2．已知复数 z 满足(z﹣2)i＝1＋i(i 为虚数单位），则 z 的模为 ．
3．根据如图所示的伪代码，则输出的 S＝ ．
4．函数 的单调减区间为 ．
5．从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的
三位数．其中无重复的个数为 ．
6．若函数 的图像在 处的切线 l 与两坐标轴分别 第 3 题
交于点 A，B，则线段 AB 的长为 ．
7．已知各项均不相等的数列 为等差数列，且 ， ， 恰为等比数列 的前三项，
若 ，则 ．
8．在△ABC 中，如果 sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则 sin C＝ ．
9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为 S1、S2，则 S1：S2
＝ ．
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”
诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某
处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标
系 xOy 中，设军营所在平面区域的边界为 x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为 x＋y﹣6＝
0，假定将军从点 P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的
最短路程为 ．
11 ． 在 △ ABC 中 ， ， ， ， AD 与 BE 交 于 点 F ． 若
， ，则 的值为 ．
12．已知 a＞0，b＞0，且 ，则 的最大值为 ．
2( ) lnf x x x= −
3( ) 2ln 2f x x x= − + 1x =
{ }na 1a 4a 10a { }nb
6bak = =k
AB AC 0⋅ = BD DC= AC 3AE=
AB 4= AC 3= BF AC⋅
3 112 6a b a b
+ + ≤ +
3
ab
a b+
13．已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率 ，A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是
椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为 、 ，则 的
值为 ．
14．已知函数 ， ，曲线 上总存在两点 M( ， )，
N( ， )使曲线 在 M、N 两点处的切线互相平行，则 的取值范围
为 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 为 棱 PD 的中点，PA⊥
平面 ABCD．
（1）求证：PB //平而 AEC；
（2）若四边形 ABCD 是矩形且 PA＝AD，求证：AE⊥平面 PCD．
16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB＝ ．
（1）若 c＝2a，求 的值；
（2）若 C﹣B＝ ，求 sinA 的值．
17．（本小题满分 14 分）
如图，圆 O 是一半径为 10 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2e =
α β cos( )
cos( )
α β
α β
−
+
4( ) lnf x x xx
λ= + − 2λ ≥ ( )y f x= 1x 1y
2x 2y ( )y f x= 1 2x x+
4
5
sin B
sin C
4
π
在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A，B 两点在⊙O
上，A，B，C，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在 A，B，C，D 四点处安装
四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在地下铺设 4 条到 A，B，C，D 四点线路 OA，OB，
OC，OD．
（1）若正方形边长为 10 米，求广场的面积；
（2）求铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值．
18．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 E： (a＞b＞0)的左、右顶点分
别为 A1、A2，上、下顶点分别为 B1、B2．设直线 A1B1 倾斜角的余弦值为 ，圆 C 与以
线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称．
（1）求椭圆 E 的离心率；
（2）判断直线 A1B1 与圆 C 的位置关系，并说明理由；
（3）若圆 C 的面积为 ，求圆 C 的方程．
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 ， ．
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
3
4π
2
1( )f x ax bx c= + + 2 ( ) xf x e=
（1）当 ， ， 时，设 ，且函数 在 R 上单
调递增．①求实数 m 的取值范围；②设 ，当实数 m 取最小值时，求
函数 的极小值．
（2）当 ， ， 时，证明：函数 有两个零点．
20．（本小题满分 16 分）
已知无穷数列 的前 项中的最大项为 ，最小项为 ，设 ．
（1）若 ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
（3）若数列 是等差数列，求证：数列 是等差数列．
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
1
2a = 1b = 0c = 2 1( ) ( ) ( )f x mf x f x= − ( )f x
2
2( ) ( 3 ) ( )h x x m f x= −
( )h x
0a = 1b > 1c = 2 1( ) ( ) ( )g x f x f x− −
{ }na n nA nB nnn BAb +=
2 1na n= − { }nb
nn
na 2
12 −= { }nb n nS
{ }nb { }na
A．选修 4—2：矩阵与变换
设 a，b∈R．若直线 l：ax＋y－7＝0 在矩阵 A=[3 0
－1b ] 对应的变换作用下，得到的直
线为 l′：9x＋y－91＝0．求实数 a，b 的值．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知 1， ， 9， ，线段 的垂直平分线 与极轴交于点
，求 的极坐标方程及 的面积．
C．选修 4—5：不等式选讲
已知实数 ， 满足 ，求证： ．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
(A 3
π
) (B 3
π
) AB l
C l ABC∆
a b | | 2a b+
2 2| 2 2 | 4(| | 2)a a b b a+ − + +
由数字 0,1,2,3,4 组成一个五位数 .
（1）若 的各数位上数字不重复，求 是偶数的概率；
（2）若 的各数位上数字可以重复，记随机变量 表示各数位上数字是 0 的个数，求
的分布列及数学期望.
23．（本小题满分 10 分）
如图，F 是抛物线 y2＝2px(p > 0)的焦点，过点 F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点 H，其中 y1>0,y1y2=-4．过点 H 作 y 轴的垂线交
抛物线于点 P，直线 PF 交抛物线于点 Q.
（1)求 p 的值；
（2)求四边形 APBQ 的而积 S 的最小值．
江苏省南通市通州区 2020 届高三年级第二学期复学后联考
数学试卷
α
α α
α X
X
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则 A B＝ ．
答案：{1，2，3，4}
考点：集合并集运算
解析：∵集合 A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，∴A B＝{1，2，3，4}．
2．已知复数 z 满足(z﹣2)i＝1＋i(i 为虚数单位），则 z 的模为 ．
答案：
考点：复数
解析： ，∴ ．
3．根据如图所示的伪代码，则输出的 S＝ ．
答案：21
考点：伪代码
解析：第一次：S＝1，i＝1；
第二次：S＝3，i＝2；
第三次：S＝7，i＝3；
第四次：S＝13，i＝4；
第五次：S＝21，i＝5．∴输出的 S＝21．
4．函数 的单调减区间为 ．
答案：( ， )
考点：利用导数研究函数的单调性
解析：首先定义域为(0， )，求导得 ，当 是，解得 ，
所以减区间为( ， )．
5．从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重
复的个数为 ．
10
1 2 3iz ii
+= + = − 10z =
2( ) lnf x x x= −
2
2
+∞
+∞ 1( ) 2f x xx
′ = − ( ) 0f x′ < 2 2x >
2
2
+∞
答案：30
考点：计数原理
解析：若从 0、2 中选一个数字是 0，则组成三位数有 12 个，若从 0、2 中选一个数字是 2，
则组成三位数有 18 个，故一共有 30 个．
6．若函数 的图像在 处的切线 l 与两坐标轴分别交于点 A，B，
则线段 AB 的长为 ．
答案：
考点：利用导数研究函数切线
解析：∵ ，∴ ，则 k＝1， ，
所以 ， ，与坐标轴两交点分别为(0，2)，(﹣2，0)，
故 AB＝ ．
7．已知各项均不相等的数列 为等差数列，且 ， ， 恰为等比数列 的前三项，
若 ，则 ．
答案：94
考点：等差数列与等比数列
解析：由 ， ， 恰为等比数列 的前三项，得公比 ，
∴ ， ，由 ， ， ，∴k＝94．
8．在△ABC 中，如果 sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则 sin C＝ ．
答案：
考点：正余弦定理
解析：∵sin A：sin B：sin C＝2：3：4，∴a：b：c＝2：3：4，
设 a＝2x，b＝3x，c＝4x，
则 ，
所以 sinC＝ ．
9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为 S1、S2，则 S1：S2
＝ ．
答案：3：2
考点：圆柱、球的表面积
3( ) 2ln 2f x x x= − + 1x =
2 2
3( ) 2ln 2f x x x= − + 2 2( ) 3f x x x
′ = − (1) 3f =
3 1y x− = − 2y x= +
2 2
{ }na 1a 4a 10a { }nb
6bak = =k
1a 4a 10a { }nb 10 4 24 1q
−= =−
4 12a a= 10 14a a= 6bak = ( 2)ka k d= + 6 96b d=
15
4
2 2 2 2 2 2 2
2
4 9 16 3 1cosC 2 2 2 3 12 4
a b c x x x x
ab x x x
+ − + − −= = = = −⋅ ⋅
2 151 cos C 4
− =
解析：设球的半径为 R，
则 S1：S2＝ ： ＝3：2．
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”
诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某
处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标
系 xOy 中，设军营所在平面区域的边界为 x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为 x＋y﹣6＝
0，假定将军从点 P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的
最短路程为 ．
答案： ﹣2
考点：对称点求法，两点间距离公式的计算
解析：设点 Q 与点 O 关于直线 x＋y﹣6＝0 对称，连接 PQ，则 PQ﹣2 即为所求最小值，
首先求得点 Q(6，6)，则 PQ＝ ，
∴PQ﹣2＝ ﹣2，则将军行走的最短路程为 ﹣2．
11 ． 在 △ ABC 中 ， ， ， ， AD 与 BE 交 于 点 F ． 若
， ，则 的值为 ．
答案：
考点：平面向量数量积
解析：以 A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，
则 A(0，0)，B(0，4)，C(3，0)，D(1.5，2)，E(1，0)，
求得直线 AD 为： ，BE： ，联立解得 ， ，
即 F( ，1)，∴ ＝( ，﹣3)， ＝(3，0)，故 ．
2(2 2 2 )R R Rπ π+ ⋅ 24 Rπ
73
2 2(6 3) [6 ( 2)] 73− + − − =
73 73
AB AC 0⋅ = BD DC= AC 3AE=
AB 4= AC 3= BF AC⋅
9
4
4
3y x= 4 4y x= − + 3
4x = 1y =
3
4 BF 3
4 AC 9BF AC 4
⋅ =
12．已知 a＞0，b＞0，且 ，则 的最大值为 ．
答案：
考点：基本不等式
解析：∵ ，∴ ，
∴ ，
即 ，当且仅当 a＝6b 取“＝”，
∴ ，解得 ，故 ．
13．已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率 ，A、B 分别是椭圆的左、右顶点，P 是
椭圆上不同于 A、B 的一点，直线 PA、PB 的倾斜角分别为 、 ，则 的
值为 ．
答案：
考点：椭圆的性质
解析：∵ ，∴ ，
∴ ．
14．已知函数 ， ，曲线 上总存在两点 M( ， )，
N( ， )使曲线 在 M、N 两点处的切线互相平行，则 的取值范围
为 ．
答案：(8， )
考点：利用导数研究函数的切线
解析：∵ ，∴ ，
∵曲线 上总存在两点 M( ， )，N( ， )使曲线在 M、N 两点处的切
线互相平行，
3 112 6a b a b
+ + ≤ +
3
ab
a b+
1
9
3 112 6a b a b
+ + ≤ + 3 112 6a b a b
+ ≤ + −
3 1 3 1 3 1( 12 )( ) [( ) 6]( )a b a b a b a b
+ + ≤ + − +
23 1 3 1 36( ) 6( ) 15 27a b
a b a b b a
+ − + ≥ + + ≥
23 1 3 1( ) 6( ) 27 0a b a b
+ − + − ≥ 3 1 9a b
+ ≥ 1
3 9
ab
a b
≤+
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2e =
α β cos( )
cos( )
α β
α β
−
+
1
7
1
2e =
2 2 2
2
2 2
3tan tan 1 4
b c a ea a
α β −⋅ = − = = − = −
31cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 14
3cos( ) cos cos sin sin 1 tan tan 71 4
α β α β α β α β
α β α β α β α β
−− + += = = =+ − − +
4( ) lnf x x xx
λ= + − 2λ ≥ ( )y f x= 1x 1y
2x 2y ( )y f x= 1 2x x+
+∞
4( ) lnf x x xx
λ= + − 21 1( ) 4( ) 1f x x x
λ′ = − + −
( )y f x= 1x 1y 2x 2y
∴ ，则 ，
∴ ，取不到等号是因为 ，
故 ，由 ，得 ，要使 恒成立，则 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 为 棱 PD 的中点，PA⊥
平面 ABCD．
（1）求证：PB //平而 AEC；
（2）若四边形 ABCD 是矩形且 PA＝AD，求证：AE⊥平面 PCD．
证明:（1）连接 交 于 ，
因为 是平行四边形，所以 是 的中点，
因为 为 的中点，所以 //
又因为 平面 ， 平面 ,所以 //平面 ………………6 分
（2）因为 且 是 的中点，所以
又因为 平面 ， 平面 ，所以
因为四边形 是矩形，所以 ，因为 平面 且
所以 平面 又因为 平面 ，所以
平面 且 ,所以 平面 ………………14 分
2 2
1 1 2 2
1 1 1 14( ) 1 4( ) 1x x x x
λ λ− + − = − + −
1 2
1 1 4
x x λ+ =
21 2
1 2 1 2
4 ( ) ( )2
x xx x x xλ
+= + < 1 2x x≠ 1 2 16x x λ+ > 2λ ≥ 16 8λ ≤ 1 2
16x x λ+ > 1 2 8x x+ >
BD AC O
ABCD O BD
E PD OE PB
PB ⊄ AEC OE ⊂ AEC PB AEC
PA AD= E PD AE PD⊥
PA⊥ ABCD CD ⊂ ABCD PA CD⊥
ABCD CD ⊥ AD ,PA AD ⊂ PAD PA AD A=
CD ⊥ PAD AE⊂ PAD CD AE⊥
,PD CD ⊂ PDC PD CD D= AE ⊥ PCD
16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB＝ ．
（1）若 c＝2a，求 的值；
（2）若 C﹣B＝ ，求 sinA 的值．
解：（1）解法 1：
在△ABC 中，因为 cosB＝4
5，所以a2＋c2－b2
2ac ＝4
5．………………2 分
因为 c＝2a，所以(\F(c,2))2＋c2－b2
2c × c
2
＝4
5，即b2
c2＝ 9
20，所以b
c＝ 3
10．………………4 分
又由正弦定理得sinB
sinC＝b
c，所以sinB
sinC＝ 3
10．………………6 分
解法 2：
因为 cosB＝4
5，B∈(0，π)，所以 sinB＝ 1－cos2B＝3
5．………………2 分
因为 c＝2a，由正弦定理得 sinC＝2sinA，
所以 sinC＝2sin(B＋C)＝6
5cosC＋8
5sinC，即－sinC＝2cosC．………………4 分
又因为 sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得 sinC＝2
5，
所以sinB
sinC＝ 3
10．………………6 分
（2）因为 cosB＝4
5，所以 cos2B＝2cos2B－1＝ 7
25．………………8 分
又 0＜B＜π，所以 sinB＝ 1－cos2B＝3
5，
所以 sin2B＝2sinBcosB＝2×3
5×4
5＝24
25．………………10 分
因为 C－B＝π
4，即 C＝B＋π
4，所以 A＝π－(B＋C)＝3π
4 －2B，
4
5
sin B
sin C
4
π
所以 sinA＝sin(3π
4 －2B)＝sin3π
4 cos2B－cos3π
4 sin2B＝31
50．………………14 分
17．（本小题满分 14 分）
如图，圆 O 是一半径为 10 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划
在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A，B 两点在⊙O
上，A，B，C，D 恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在 A，B，C，D 四点处安装
四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在地下铺设 4 条到 A，B，C，D 四点线路 OA，OB，
OC，OD．
（1）若正方形边长为 10 米，求广场的面积；
（2）求铺设的 4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值．
（1）连接 AB，∵AB＝10，∴正方形 ABCD 的面积为 100，
又 OA＝OB＝10，∴△AOB 为正三角形，则 ，
而圆的面积为 100π，∴扇形 AOB 的面积为 ，
又三角形 AOB 的面积为 .∴弓形面积为 ，
则广场面积为 100 （平方米）；………………6 分
（2）过 O 作 OK⊥CD，垂足为 K，过 O 作 OH⊥AD（或其延长线），垂足为 H，
设∠OAD＝θ（0＜θ ），则 OH＝10sinθ，AH＝10cosθ，
∴DH＝|AD﹣AH|＝|2OH﹣AH|＝|20sinθ﹣10cosθ|，
∴
OD .……………12
3AOB
π∠ =
100 50
6 3
π π=
1 10 5 3 25 32
× × = 50 25 33
π −
50 25 33
π+ −
4
π＜
2 2100 (20 10 ) 300 200 2 2 4sin sin cos sin
πθ θ θ θ = + − = − +
分
∴当 θ 时， .
∴4 条线路 OA，OB，OC，OD 总长度的最小值为
（米）. ………………14 分
18．（本小题满分 16 分）
在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 E： (a＞b＞0)的左、右顶点分
别为 A1、A2，上、下顶点分别为 B1、B2．设直线 A1B1 倾斜角的余弦值为 ，圆 C 与以
线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1B1 对称．
（1）求椭圆 E 的离心率；
（2）判断直线 A1B1 与圆 C 的位置关系，并说明理由；
（3）若圆 C 的面积为 ，求圆 C 的方程．
解：（1）设椭圆 E 的焦距为 2c（c>0），
因为直线 的倾斜角的余弦值为 ，所以 ，
于 是 ， 即 ， 所 以 椭 圆 E 的 离 心 率
8
π= ( )10 2 1minOD = −
( )2 10 2 1 20× − + = 20 2
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
3
4π
1 1A B 2 2
3 2 2
2 2
3
a
a b
=
+
2 28a b= 2 2 28( )a a c= −
………………4 分
（2）由 可设 ， ，则 ，
于是 的方程为： ，
故 的中点 到 的距离 ，
又以 为直径的圆的半径 ，即有 ，所以直线 与以 为直径的圆相
切．
因为圆 与以线段 为直径的圆关于直线 对称，
所以直线 与圆 相切．………………10 分
（3）由圆 的面积为 知，圆半径为 2，从而 ，
设 的中点 关于直线 ： 的对称点为 ，
则 解得 ．
所以，圆 的方程为 ．………………16 分
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 ， ．
（1）当 ， ， 时，设 ，且函数 在 R 上单
调递增．①求实数 m 的取值范围；②设 ，当实数 m 取最小值时，求
函数 的极小值．
2
2
147 .8 4
ce a
= = =
14
4e = ( )4 0a k k= > 14c k= 2b k=
1 1A B 2 2 4 0x y k− + =
2OA ( )2 0k, 1 1A B d = 2 4 23
k k k
+ =
2OA 2r k= d r= 1 1A B 2OA
C 2OA 1 1A B
1 1A B C
C 4π 1k =
2OA ( )2 0, 1 1A B 2 2 4 0x y− + = ( )m n,
2 1,2 4
2 2 2 4 02 2
n
m
m n
⋅ = − − + − ⋅ + = ．
8 22
3 3m n= =,
C ( ) ( )22 8 22 43 3x y− + =−
2
1( )f x ax bx c= + + 2 ( ) xf x e=
1
2a = 1b = 0c = 2 1( ) ( ) ( )f x mf x f x= − ( )f x
2
2( ) ( 3 ) ( )h x x m f x= −
( )h x
（2）当 ， ， 时，证明：函数 有两个零点．
（1）① ,得
由题意知 在 上恒成立， 在 R 上恒成立。
令 则
令 ，得 令 得
在 上单调递增，在 单调递减，
即实数 的取值范围是 ………………4 分
②当实数 取最小值时， .
，
令 解得 或
当 或 时， 当 时，
在 上单调递增，在（-3,1）上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 取得极小值，极小值为 ………………8 分
（2）当 时，函数
令 解得
当 ，时 在 上单调递减，当 时，
0a = 1b > 1c = 2 1( ) ( ) ( )g x f x f x− −
xxmexf x −−= 2
2
1)( ,1)( −−=′ xmexf x
0)( ≥′ xf R xe
xm 1+≥∴
xe
xx 1)(
+=ϕ ,)(,)( max xe
xxxm −=′≥ ϕϕ
0)( >xϕ ,0′ xh 13 −−==∴ bbbbbgxg
)1(1ln)( >−−= bbbbbp 0ln1ln1)( −= bbebt b 2)( −=′ bebt
,02)(,1 >−=′∴> bebtb
bebr b 2)( −=′∴ ( )+∞,1 ,0)( >′∴ br
)(br ( )+∞,1 ,0)( >br 0)( >bg
,1>b ,ln0 bb > 432 aaa
,16
7,8
5,4
3,2
1
141321 aaaaaa ===
,4
5,4
5,1 321 === bbb 4≥n ,2
12
4
3
nn
nb
−+=
,2
7,4
9,1 321 === sss
4≥n ,22
)1(
4
3
2
12
4
3
1 nnnn
bknbnknb
+−+−+=−+= −
,3,2 == bk nnnn
nnnb 2
32
2
12
4
3
2
12
4
3
1
+−++=−+= −
)2
32
2
12()2
13
2
11()2
11
2
9()3(4
3
2
7
15443 n
nnns nn
+−++⋅⋅⋅+−+−+−+= −
n
nn 2
32
2
9)3(4
3
2
7
3
+−+−+=
.2
32
4
3
8
19
n
nn +−+=
2
7,4
9,1 321 === sss 4≥n .2
32
4
3
8
19
nn
nns
+−+=
{ }nb d dBBAAbb nnnnnn =−+−=− +++ 111
nnnn BBAA ≤≥ ++ 11 ,
nn AAd >> +1,0 ∗∈ Nn
nnnn aAaA =>+=+ 11
{ }na
所以 ，所以
所以 是公差为 的等差数列；………………10 分
② 当 时， 对任意 都成立，
进而 ，
所以 是递减数列.
所以
所以 是公差为 的等差数列；………………14 分
③ 当 时，
因为 与 中至少有一个为 0，所以二者都为 0，
进而 为常数列,
综上所述，数列 等差数列. ………………16 分
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
设 a，b∈R．若直线 l：ax＋y－7＝0 在矩阵 A=[3 0
－1b ] 对应的变换作用下，得到的直
线为 l′：9x＋y－91＝0．求实数 a，b 的值．
解：在直线 l：ax＋y－7＝0 取点 A(0，7)，B(1，7－a)．
因为[3 0
－1b ][0
7 ]＝[0
7b ]，[3 0
－1b ][1
7－a ]＝[3
b(7－a)－1]，………………4 分
所以 A，B 在矩阵 A 对应的变换作用下分别得到点 A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)．
由题意，知 A′，B′在直线 l′：9x＋y－91＝0 上，
1, aBaA nnn == nnnnnn aaBBAAd −=−+−= +++ 111
{ }na d
0 ( )5
2
2
4 1 tS t
+=
( ) ( )( )4
3
2 1 3 2
'
t t
S x t
+ −
=
20 3t< < ( )' 0S x < ( )S x 2 3t > ( )' 0S x > ( )S x
2
3t = ( )2S x
55
27
( )S x 25 15
9
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