2020届高考数学（文）百校联考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷试题（解析版）

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷·文数（二） 第Ⅰ卷 一、选择题 1.已知集合 且 ，则 的非空真子集的个数为( ) A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合 A，再根据非空真子集的个数与集合 A 的元素个数间的关系求解. 【详解】因为集合 且 ， 所以 的非空真子集的个数为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题. 2.复数 满足 ，则 （ ） A. 2 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求出复数 z，再求出模长|z|． 【详解】 ，故 . 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的乘除运算与模长计算问题，是基础题． 3.在 中， 为原点， ， ，则 点坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 { | 6A x x= < }*Nx∈ A { | 6A x x= < } { }*N 1,2,3,4,5x∈ = A 52 2 30− = z ( )1 1 3z i i⋅ + = + z = 5 ( )( )1 3 11 3 21 2 i iiz ii + −+= = = ++ 5z = ABCO O ( )1, 2A − ( )2,3C B ( )3,1 ( )1, 5− − ( )1,5 ( )3, 1− −【分析】 设 ，根据四边形为平行四边形，则有 求解。 【详解】设 ，因为 ， ， 所以 ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，属于基础题. 4.袋中有 4 个球，3 个红色，1 个黑色，从中任意摸取 2 个，则恰为 2 个红球的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 3 个红球分别为 ， ， ，黑球为 .列举出所有不同的取法，再找出所有 2 个红球的取法，代入古典 概型的概率公式求解. 【详解】设 3 个红球分别为 ， ， ，黑球为 . 所有不同的取法有 6 种： ， ， ， ， ， ， 所有 2 个红球 取法有 3 种： ， ， . 故所求概率为 . 故选：D 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 5.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 的 ( ),B x y OB OA OC= +   ( ),B x y ( )1, 2A − ( )2,3C ( ) ( ) ( ), , 1, 2 , 2, 3OB x y OA OC= = − =   OB OA OC= +   3 1 x y =  = ( )3,1B 1 3 2 3 1 4 1 2 a b c m a b c m ab ac bc am bm cm ab ac bc 3 1 6 2 = 3 1sin 2 3 π α + =   cosα = 1 3 1 3 − 2 2 3 2 2 3 −【答案】B 【解析】 【分析】 直接由诱导公式计算即可. 【详解】由诱导公式可得： ，故 . 故选：B. 【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题. 6.双曲线 ： 的渐近线与圆 ： 相切，则双曲线 的渐近线方 程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 双曲线 的一条渐近线方程为 ，根据渐近线与圆 ： 相切，则有 求解. 【详解】双曲线 的一条渐近线方程为 ， 圆心 到渐近线的距离为 1， 即 ，得 即 . 所以双曲线 的渐近线方程为： 故选;D 3sin 2 π α +   1cos 3 α= − = 1cos 3 α = − 1C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2C ( )2 22 1x y− + = 1C 1 2y x= ± 1 3y x= ± 2 2y x= ± 3 3y x= ± 1C 0bx ay− = 2C ( )2 22 1x y− + = 2 2 2 1= + b a b 1C 0bx ay− = ( )2,0 2 2 2 1= + b a b 2 23a b= 3 3 b a = 1C 3 3y x= ±【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7.已知等差数列 的前 项和 满足： ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根 据 ， 利 用 性 质 可 得 ， 然 后 由 求解. 【详解】因为 ， ， 所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前 n 项和公式及性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8.李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋 元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆 和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直 行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通 弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点 处，乙向东行走到 处，甲向南行走到 处，甲看到乙，便 从 走到 处，甲乙二人共行走 1600 步， 比 长 80 步，若按如图所示的程序框图执行求 ，则 判断框中应填入的条件为( ) { }na n nS 37 23S S a− = 60S = 4a 30 7 a 5a 40 7 a 37 23 24 25 37 − = + +⋅⋅⋅+S S a a a ( )24 37 7 + = aa a ( )1 60 60 24 3760 302 += ⋅ = +a aS a a 37 23 24 25 37 − = + +⋅⋅⋅+S S a a a ( )24 37 24 3714 72 += ⋅ = + =a a a a a ( )1 60 60 24 37 3060 302 7 a aS a a a += ⋅ = + = C B A A B AB AC AB A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 题 意 得 ， 则 ， 所 以 ，再根据 为直角三角形 求解. 【详解】由题意得， 则 ， 所以 ， 符合程序框图所示: 又 为直角三角形，且 ， 所以 . 故选：A 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9.已知函数 的图象在 上有且仅有两条对称轴，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 2 2 2 ?x z y+ = 2 2 2 ?x y z+ = 2 2 2 ?y z x+ = ?x y= , , ,AC x AB y BC z= = = 1600, 80x y z y x+ + = = + 1520 2z x= − ABC 90C = ∠ , , ,AC x AB y BC z= = = 1000, 80x y z y x+ + = = + 1520 2z x= − ABC 90C = ∠ 2 2 2x z y+ = ( ) ( )sin 06f x x πω ω = + >   ( )0,π ω 31, 2     4 3,3 2      4 7,3 3      71, 3     【解析】 【分析】 根据正弦函数的对称轴，令 ， ，则 ， . 再根据 的图象在 上有且仅有两条对称轴，令 求解. 【详解】令 ， ， 则 ， . 因为 的图象在 上有且仅有两条对称轴， 所以 则 解得 . 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10.已知 在 上为增函数. ， ，则 ， 的大 6 2x k π πω π+ = + k Z∈ 3 k x π π ω + = k Z∈ ( ) sin 6f x x πω = +   ( )0,π ( ) ( ) ( ) 13 0, 3 0, 13 , 23 , k k k k π π ω π π ω π π πω π π πω  + − ≤   + >  + +   + +    > +   ≤ +  4 7,3 3 ω  ∈   ( ) 2 2 2 1, 1 , 1 x a xf x x a x  + − >=  + ≤ R ( )M f a= ( )4 4log 3 log 5N f= ⋅ ⋅ M N小关系是( ) A. B. C. D. ， 大小不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 根 据 在 上 为 增 函 数 ， 则 有 ， 解 得 ， 所 以 ，而 ，再根据单调性求解. 【详解】因为 在 上为增函数 所以 ， 而 ， 故 . 所以 故选：B 【点睛】本题主要考查实数比较大小，还考查了函数的单调性和基本不等式的应用，属于中档题. 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C M N= M N> M N< M N ( ) 2 2 2 1, 1 , 1 x a xf x x a x  + − >=  + ≤ R 21 2 1 1+ − ≥ +a a 1a = ( ) ( )1= =M f a f 2 2 4 4 4 4 4 log 3 log 5 log 16log 3 log 5 12 2 +   ⋅ < < =       ( ) 2 2 2 1, 1 , 1 x a xf x x a x  + − >=  + ≤ R ( )221 2 1 1 1 0 1a a a a+ − ≥ + ⇒ − ≤ ⇒ = 2 2 4 4 4 4 4 log 3 log 5 log 16log 3 log 5 12 2 +   ⋅ < < =       ( ) ( ) ( )4 41 log 3 log 5f a f f= > ⋅ M N> 2 3 2 2 6【解析】 【分析】 根据三视图知该几何体是一个三棱锥，在正方体中还原几何体，结合图中数据及勾股定理求出各条棱长即 可得出结论． 【详解】根据三视图知，该几何体是一个三棱锥， 画出图形如图所示： 正方体的棱长为 2，A、C 为所在棱的中点， 则 CD=1，BC=AD= ，BD=BE=CF= ， 结合图形可得, △AEB，△AFC，△AFD 为直角三角形， 由勾股定理得 AB ，AC= ， 最长的棱为 AB= ， 故选：C. 【点睛】本题由三视图求几何体棱长，需先还原几何体，棱锥还原通常借助正方体或者长方体，可以看成 由长方体(或正方体)切割而截成的，属于中等题. 12.已知 ，则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 5 2 2 2 2= 8 1 3BE AE+ = + = 2 2 = 5+1= 6CF AF+ 3 ( ) ( ) ( ) 12 , 2 11 2 , 2 x x f x f x f x x  ≤=   − − − > ( )2019f = 1− 2−根据 ，转化变形推出 ，得到函数 的周期为 6 再求解. 【详解】因为 ， 所以 所以 所以 ， 所以 ， 所以函数 的周期为 6， 故 故选： B. 【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了变形转化解决问题的能力，属于中档题. 第Ⅱ卷 二、填空题 13.过 上一点 作曲线的切线，则切线方程为_____________. 【答案】 或 【解析】 【分析】 设切点为 ，表示出切线方程，再将点 代入方程，解出 或 ，即可求出切线方程. 【详解】由题可得， 设该切线切点为 ，则切线斜率为 ， 因此切线方程为 ， 又 点 在切线上， ， 整理得， ， 解得 或 ， ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x= − − − ( ) ( )6f x f x+ = ( )f x ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x= − − − ( ) ( ) ( )1 1f x f x f x+ = − − ( ) ( )1 2f x f x+ = − − ( ) ( )3f x f x+ = − ( ) ( )6f x f x+ = ( )f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02019 6 336 3 3 2 1 1 0 1 0 2 1= × + = = − = − − = − = − = −  f f f f f f f f f 3 23y x x= − (2, 4)− 9 4 2 0x y+ − = 4y = − ( )0 0,x y (2, 4)− 0 2x = 0 1 2x = 23 6y x x′ = − ( )0 0,x y 2 0 03 6x x− ( )( ) ( )( )2 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 03 6 3 6 3y x x x x y x x x x x x= − − + = − − + −  (2, 4)− ∴ ( )( )2 3 2 0 0 0 0 03 6 2 3 4x x x x x− − + − = − ( ) ( )2 0 02 2 1 0x x− − = 0 2x = 0 1 2x =代入切线方程，化简得 或 ， 整理得， 或 ， 故答案为： 或 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题的关键在于分 清所给点是否为切点，注意区分在某点处和过某点的切线，考查了运算能力，属于基础题. 14.已知 ， 满足线性约束条件 目标函数 的最大值为 2，则实数 的取值范围 是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 ， 满足线性约束条件 ，且直线 过定点 ，将目标函数化为 ，平移直线 ，根据 时，最优解在直线 上，而 在可行域内，且 满足 结合图形求解. 【详解】 ， 满足线性约束条件 ，直线 ，过定点 目标函数化为 ，平移直线 ，在 y 轴上截距最大时，目标函数值最大， 当 时，可知：最优解在直线 上， 而 在可行域内，且满足 . 所以最大值点为 如图所示： 4y = − 9 1 4 2y x= − + 4y = − 9 4 2 0x y+ − = 9 4 2 0x y+ − = 4y = − x y 2 0 2 2 0 x y x kx y + − ≥  ≤  − + ≥ 2z x y= − + k ( ]1,2− x y 2 0 2 2 0 x y x kx y + − ≥  ≤  − + ≥ 2 0kx y− + = ( )0,2 2y x z= + 2y x= 2z = 2 2 0x y− + = ( )0,2 2 2 0x y− + = x y 2 0 2 2 0 x y x kx y + − ≥  ≤  − + ≥ 2 0kx y− + = ( )0,2 2y x z= + 2y x= 2z = 2 2 0x y− + = ( )0,2 2 2 0x y− + = ( )0,2所以实数 的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查了数形结合的方法，属于中档题. 15.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右焦点 与抛物线 ： 的焦点重合.椭圆 与抛物线 交于 ， 两点， ， ， 三点共线，则椭圆 的离 心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用椭圆与抛物线的对称性，根据椭圆 与抛物线 交于 ， 两点， ， ， 三点共线，则有 ， ，再由 求解. 【详解】因为椭圆 与抛物线 交于 ， 两点， ， ， 三点共线， 所以 ， ， k ( ]1,2− ( ]1,2− C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F 2F E ( )2 2 0y px p= > C E A B A 2F B C 2 1− C E A B A 2F B 2 2 bAF pa = = 1 2 2F F c p= = 2 2 1 2 12 b AF a cFF = = C E A B A 2F B 2 2 bAF pa = = 1 2 2F F c p= =， 即 ， 所以 ， 所以 ， 解得 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查椭圆与抛物线的对称性和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.数列 满足： ，且 恒成立，则 的最小 值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】 先利用数列的通项公式与前 n 项和的关系，由 ，求得 ， 再根据 恒成立，利用错位相减法求 ，再求其最大值即可。 【详解】当 时，由 ， 得： . 两式相减得： ， 当 时， . 故 . 2 2 1 2 12 b AF a cFF = = 2 2b ac= 2 22 0c ac a− − = 2 2 1 0e e− − = 2 1e = − 2 1− { }na 1 2 132 5 3 1 2 n n aa a n + +⋅⋅⋅+ = −− ( )* 1 2 Nna a a m m+ +⋅⋅⋅+ ≤ ∈ m 1 2 132 5 3 1 2 n n aa a n + +⋅⋅⋅+ = −− 3 1, 2,2 5, 1, n n n na n − ≥=   = ( )* 1 2 Nna a a m m+ +⋅⋅⋅+ ≤ ∈ 1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+ 2n ≥ 1 2 132 5 3 1 2 n n aa a n + +⋅⋅⋅+ = −− 11 2 1 132 5 3 4 2 n n aa a n − −+ +⋅⋅⋅+ = −− ( )1 23 1 2 n n a nn = ≥− 1n = 1 1 5 52 2 a a= ⇒ = 3 1, 2,2 5, 1, n n n na n − ≥∴ =   = 1 2 2 3 5 8 3 15 2 2 2 −+ +⋅⋅⋅+ = + + +⋅⋅⋅+n n na a a 1 2 2 5 3 14 2 2 2 −= + + + n n令 ， 则 . 两式相减得： ， 故 . 而当 时， ， 故 的最小值为 9. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前 n 项和的关系以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.在 中， . （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ，求 周长的最大值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 ，得 ，再切化弦利用两角和的 正弦得到 求解. （Ⅱ）根据（1）利用正弦定理得 ，再角化为边，得到 ，再利用两角和的正弦得到 求解. 【详解】（Ⅰ）由 ， 得 ， 1 2 1 2 5 3 4 3 1 2 2 2 2n n n nS − − −= + +⋅⋅⋅+ + 2 3 1 1 2 5 3 4 3 1 2 2 2 2 2n n n nS + − −= + +⋅⋅⋅+ + 2 1 1 1 1 3 11 32 2 2 2 + − = + +⋅⋅⋅+ −  n n nS 1 5 3 5 2 2 + += − n n 3 55 2 += − n nS 1 2 3 54 9 92n n na a a S ++ +⋅⋅⋅+ = + = − < 5n = 5 3 5 59 82 × +− > m ABC tan2cos cos tan tan CA B A B = + C 3c = ABC 3 π 3 3 tan2cos cos tan tan CA B A B = + ( )tan 2cos cos tan tan= +C A B A B 1cos 2C = 2sin sin sin a b c A B C = = = 2sin 2sin 3+ + = + +a b c A B 2 3sin 36 π + + = + +  a b c A tan2cos cos tan tan CA B A B = + ( )tan 2cos cos tan tan= +C A B A B所以 ， 所以 . 因为 ， 所以 . （Ⅱ）由正弦定理得 ， ， ， . 当 时， 周长取最大值为 . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.如图，在四棱锥 中， ， ， ， . 为锐 角，平面 平面 . （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ） 与平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 的表面积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）作 于 ，根据平面 平面 得到 平面 . ，取 中点 为 ，则 ，且 ，得到 ，有 ，由线面垂直的判定定 理，得到 平面 ，再由 得证. ( ) ( )2 sin cos cos sin 2sin 2sin+ = + =A B A B A B C 1cos 2C = 0 C π< < 3C π= 2sin sin sin a b c A B C = = = 22sin 2sin 3 2sin 2sin 33 π + + = + + = + − +  a b c A B A A 3 12sin 2 cos sin 32 2  = + − +    A A A 3sin 3 cos 3 2 3sin 3 3 36 π = + + = + + ≤  A A A 3A π= ABC 3 3 P ABCD− 2AD = 1AB BC CD= = = //BC AD 90PAD∠ = ° PBA∠ PAB ⊥ PBD PA ⊥ ABCD AD PBD 2 4 P ABD− 3 3 6 2 + + AM PB⊥ M PAB ⊥ PBD AM ⊥ PBD AM BD⊥ AD Q =BC QD //BC QD 1= = = =BQ CD QD QA BD AB⊥ DB ⊥ PAB DB PA⇒ ⊥ PA AD⊥（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 平面 ，根据线面角的定义，故 即为 与平面 所成角，所 以有 ，三棱锥的四个面都是直角三角形，由三角形的面积公式求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示： 作 于 ， 因为平面 平面 所以 平面 . 所以 取 中点为 ， 则 ，且 所以 所以 ， 又 为锐角， 点 与点 不重合. 所以 平面 . 又 ， 与 为平面 内两条相交直线， 故 平面 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 平面 ， 故 即为 与平面 所成角， . 在 中， ， 故 ， ， ， . 而 ， AM ⊥ PBD ADM∠ AD PBD 2 2 4 2 AM AMAD = ⇒ = AM PB⊥ M PAB ⊥ PBD AM ⊥ PBD AM BD⊥ AD Q =BC QD //BC QD 1= = = =BQ CD QD QA 90ABD∠ = ° BD AB⊥ PBA∠ ∴ M B DB ⊥ PAB DB PA⇒ ⊥ PA AD⊥ DB AD ABCD PA ⊥ ABCD AM ⊥ PBD ADM∠ AD PBD 2 2 4 2 AM AMAD = ⇒ = Rt PAB 2 452AM PBA= ⇒ ∠ = ° 1PA = 1 2PABS =△ 1PADS =△ 3 2 2ABD AB BDS ⋅= =△ 90PBD∠ = °所以 故所求表面积为： . 【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化和几何体表面积的求法，还考查了转化化归 的思想和运算求解的能力，属于中档题. 19.西部某贫困村，在产业扶贫政策的大力支持下，在荒山上散养优质鸡，城里有 7 个饭店且每个饭店一年 有 300 天需要这种鸡， 饭店每天需要的数量是 14～18 之间的一个随机数，去年 饭店这 300 天里每天需 要这种鸡的数量 （单位：只）如下表： 14 15 16 17 18 频数 45 60 75 60 60 这 300 天内，假定这 7 个饭店的情况一样，只探讨 饭店当天的需求量即可.这 300 天内，鸡厂和这 7 个饭 店联营，每天出栏鸡是定数 ，送到城里的这 7 个饭店，从饲养到送到饭店，每只鸡的成本 是 40 元，饭店给鸡厂结算每只 70 元，如果 7 个饭店用不完，即当天每个饭店的需求量 时，剩下的鸡 只能以每只 元的价钱处理. （Ⅰ）若 ，求鸡厂当天在 饭店得到的利润 （单位：元）关于 饭店当天需求量 （单位：只， ）的函数解析式； （Ⅱ）若 ，求鸡厂当天在 饭店得到的利润（单位：元）的平均值； （Ⅲ） 时，以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求鸡厂当天在 饭店得到的利 润大于 479 元的概率. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）465 元；（Ⅲ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据每只鸡的成本是 40 元，饭店给鸡厂结算每只 70 元，如果 7 个饭店用不完，即当天每个饭店的 需求量 时，剩下的鸡只能以每只 元的价钱处理，建立分段利润函数模型..再将 代入求解. 2 3 6 2 2 2△ ⋅ ×= = =PBD PB BDS 1 3 6 3 3 612 2 2 2 + ++ + + = A A x x A ( )7 14 18a a≤ ≤ x a< 56 a− 15a = A y A x *Nx ∈ 16a = A 17a = A ( )*29 15, 15 N450, 15 x xy xx + 1 2,t t 1 2( ) 2( )( )x xh x e t e t′ = − − 1( ,ln )t−∞ ( ) 0h x′ > 1 2(ln ,ln )t t ( ) 0h x′ < 2(ln , )t +∞ ( ) 0h x′ > 1 2 1 2 1 2 0 t t t t  + =  < ( )h x 2B xOy l 2 cos 1 sin x t y t ϕ ϕ = +  = + t x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 的极坐标方程为 . （Ⅰ）当 时，把直线 的参数方程化为普通方程，把椭圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 中点为 ，求直线 的斜率. 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据直线 的参数方程为 ，且 ，消去 t 即可直线的的普通方程.根据椭圆 的极 坐标方程 ，变形为 ，再利用 求解. （Ⅱ）将直线 的参数方程代入椭圆 的直角坐标方程整理得 ，利用 ， 中点为 ，且直线过 ，利用参 数的几何意义求解. 【详解】（Ⅰ）因为直线 的参数方程为 ，且 ， 所以 ， 消去 t 得 ， 所以直线 的普通方程为： ； 因为椭圆 极坐标方程为 . 所以 ， ， 椭圆 的直角坐标方程为： . 的 C 2 2 2 48 3cos 4sin ρ θ θ= + 3 πϕ = l C l C A B A B ( )2,1M l 3 1 2 3 0x y− + − = 2 2 116 12 x y+ = 3 2 − l 2 cos 1 sin x t y t ϕ ϕ = +  = + 3 πϕ = C 2 2 2 48 3cos 4sin ρ θ θ= + 2 2 2 23 cos 4 sin 48ρ θ ρ θ+ = cos , sinx yρ θ ρ θ= = l C ( ) ( )2 23 sin 12cos 8sin 32 0t tϕ ϕ ϕ+ + + − = A B ( )2,1M ( )2,1M l 2 cos 1 sin x t y t ϕ ϕ = +  = + 3 πϕ = 12 2 31 2 x t y t  = +  = + 3 1 2 3 0x y− + − = l 3 1 2 3 0x y− + − = C 2 2 2 48 3cos 4sin ρ θ θ= + 2 2 2 23 cos 4 sin 48ρ θ ρ θ+ = 2 23 4 48x y+ = C 2 2 116 12 x y+ =（Ⅱ）将直线 的参数方程代入椭圆 的直角坐标方程整理得： ， 因为 ， 中点为 所以 ， 故 ， 所以直线 的斜率为 . 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查 了运算求解的能力，属于中档题. 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 . （Ⅰ）若 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ） 的解集为 ，求 和 . 【答案】（Ⅰ） 或 ；（Ⅱ）， ， . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据绝对值三角不等式，由 ，求得 最小值，再由 求解. （Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当 时， ，即 ，解得： 或 4.，再 分类求解. 【详解】（Ⅰ）因为 ， 当且仅当 时取等， 故 最小值为 ， 或 . （Ⅱ）由不等式解集的意义可知： 时， l C ( ) ( )2 23 sin 12cos 8sin 32 0t tϕ ϕ ϕ+ + + − = A B ( )2,1M 1 2 0t t+ = 312cos 8sin 0 tan 2kϕ ϕ ϕ+ = ⇒ = = − l 3 2 − ( ) 2f x x a x= − + − ( ) 3f x ≥ a ( )f x x≤ [ ]2,m a m 5a ≥ 1a ≤ − 4a = 6m = ( ) ( )2 2 2x a x x a x a− + − ≥ − − − = − ( )f x 2 3a − ≥ 2x = ( )2 2f = 2 2a− = 0a = ( ) ( )2 2 2x a x x a x a− + − ≥ − − − = − ( )( )2 0x a x− − ≤ ( )f x 2a - 2 3 5a a∴ − ≥ ⇔ ≥ 1a ≤ − 2x =，即 ，解得： 或 4. 时，如图所示： 不合题意舍去. 时，如图所示： 由 与 解得： ， 即 ， 综上， ， . 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的解集与相应方程根的关系，还考查了数形结合的思想 和运算求解的能力，属于中档题. ( )2 2f = 2 2a− = 0a = 0a = 4a = y x= 2 6y x= − 6x = 6m = 4a = 6m =