2020届高考数学（文）百校联考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷（三）试题（解析版）

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷·文数（三） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据指数函数单调性，求出 ，得出 ，求出集合 ，根据交集的计算即可得出 答案. 【详解】解：由题可知， ， ， ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题. 2.已知 是虚数单位， ，则复数 所对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解： ， ，整理得 ， { }| 2 2xA x= > { }2| , RB y y x x= = ∈ ( )R A B = [0,1) (0,2) ( ,1]−∞ [0,1] { | 1}A x x= > R { | 1}A x x=  B { }| 2 2 { | 1}xA x x x= > = > R { | 1}A x x∴ =  { }2| , { | 0}B y y x x y y= = ∈ =R  ( )R { |0 1}B xA x∩ =   i 1 11 2 2z i i − =   z 1 11 2 2z i i − =   11 1 22 22 1 1 1 51 1 12 2 2 i ii iz i i i  +  − + ∴ = = =    − − +         1 2 5 5z i= − +则复数 所对应的点为（ ），位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3.已知 为坐标原点，椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 因为椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为 直角三角形，根据椭圆通径可得： ，结合已知，即可求得答案. 【详解】 椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为直角三角形 根据椭圆通径可得： ， ， ， ， ， 解得 或 （舍）. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心率定义和椭圆的通径求法，考查了分 z 1 2,5 5 − O 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ C 1 5 2 − + 1 3 2 − + 1 2 1 5 2 − − 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ 22| | bAB a =  2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ 22| | bAB a = ∴ 2bc a= 2b ac∴ = 2 2a c ac∴ − = 2 1 0e e∴ + − = 1 5 2e − += 1 5 2e − −=析能力和计算能力，属于中档题. 4.如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形 ，在长方形内随机取一点， 则此点取自阴影部分 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 设小三角形的边长为 ，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ，又长方 形的宽为 ，长为 ，即可求得答案. 【详解】设小三角形的边长为 ，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ， 又 长方形 宽为 ，长为 ， 长方形的面积为 ， 故此点取自阴影部分 的概率是： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力， 属于基础题. 5.在 中， ， ， 为 上一点，且 ， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【 的 T T 1 8 1 4 1 2 2 3 1 3 4 3 3 36 4 2 × = 3 34 2 32 × = 1 3 4 3 3 36 4 2 × =  3 34 2 32 × = ∴ 6 3 T 3 3 12 46 3 = ABC∆ 2 3AB = 4AC = D BC 3BC BD= 2AD = BC 42 3 42 2 4 42【解析】 【分析】 设 ， 由 余 弦 定 理 ， ，即可求得答案. 【详解】设 ， 由余弦定理 ； 即 ① ； 即 ， ② 又 ③ 由①②③可得. ， . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键 掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考 查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6.已知 的最大值为 ，将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意， 的最大值为 4 且 ，列式可算出 ， ，利用辅助角公式化简得 是 BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 24 2 (2 ) 2 2 2 cosx x ADC= + − × ⋅ ∠ — — 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 2(2 3) 2 2 2 cosx x ADB= + − × ∠ — —  ( )0cos cos 180 cosADC ADB ADB∠ = − ∠ = − ∠ — — 42 3x = ∴ 3 42BB DC = = ( ) sin 2 cos2f x a x b x= + 412f π  =   ( )f x 4sin 2 3y x π = +   4sin 3y x π = +   14sin 2 3y x π = +   4sin 4 3y x π = +   ( )f x 412f π  =   2a = 2 3b =，根据平移伸缩的性质即可得出变换后的解析式. 【详解】解：由题可知， 的最大值为 4， 则 ， ， 且 ， 解之得 ， . 故 ， 将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍， 得到 . 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的平移伸缩求解析式，涉及三角函数最值和辅助角公式的应用，考查计算能力. 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由几何体的三视图，可看出几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体，根据棱锥和球的体积公式 求出几何体的体积. 【详解】解：根据三视图，此几何体为一个半球挖去个正四棱锥后剩余的几何体， ( ) 2sin 2 2 3 cos2 4sin 2 3f x x x x π = + = +   ( ) sin 2 cos2f x a x b x= + 2 2( ) sin(2 )f x a b x ϕ= + + 2 2 4a b+ = 2 2sin cos12 12 12f a b π π π  = +   2a = 2 3b = ( ) 2sin 2 2 3 cos2 4sin 2 3f x x x x π = + = +   ( )f x 4sin 3y x π = +   2 3 3 π − 2 2 3 π − 2 3 π 4 1 3 π −正四棱锥的底面边长为 ，高为 1， 所以四棱锥的体积为 ，半球的体积为 ， 故该几何体的体积为 . 故选：B. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及运用棱锥和球的体积公式，考查想象能力和计算能力. 8.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性，结合具体函数值，进行排除即可. 【详解】易知 定义域为 ， ， 为偶函数，关于 轴对称， 排除 C， 又 ，排除 A 和 D. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性，属于基础题. 2 1 22 2 13 3 × × × = 32 213 3 ππ× × = 2 2 3 π − ( ) ( )2 2 xf x x x e= − ( )f x R ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2x xf x x x e x x e f x− − = − − − = − =  ∴ ( )f x y ∴ ( ) ( )2 11 1 2f e e= − = −9.已知 ， ，设 ， ， ，则 ， ， 的 大小关系为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知 ， ，可得 ，且 a＞1＞b＞0，不难判断 x，y，z 的大小关系 ， 再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系. 【详解】∵a＞b＞0， ， ∴可得 ，且 a＞1＞b＞0， ∴ ， ， ， 又 ， ， 单调递增， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， 根据对数函数性质可得 ， ∴ ． 故选 B． 【点睛】本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题. 10.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) . 0a b> > 1ab = 2a bx = 2log ( )y a b= + 1z a b = + log 2x x log 2y y log 2z z log 2 log 2 log 2x y zx y z> > log 2 log 2 log 2y z xy z x> > log 2 log 2 log 2x z yx z y> > log 2 log 2 log 2y x zy x z> > 0a b> > 1ab = 1=a b 0 1x y z< < < < 1ab = 1=a b 1 1 2 2 2a a bx a = = = = 1 2 2z a a a ab = + = + = > ( )( )22 log ( 1)z y a a b f a a− = − + = ＞ ( ) 12 0f a a b ′ = − + ＞ ( )f a ( ) ( ) 21 2 log (1 ) 0f a f b= − + >＞ z y− ＞0 0 1x y z< < < < log 2 =log 2 1x xx + log 2 log 2 1y yy = + log 2 =log 2+1z zz log 2 log 2 log 2x z y < < log 2 log 2 log 2y z xy z x> >A. 31 B. 39 C. 47 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】 根据循环程序框图，循环计算到 时，输出 ，即可得出答案. 【详解】解：根据题意， ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ， 故输出的结果为 . 故选：D. 【点睛】本题考查程序框图的循环计算，考查计算能力. 11.已知三棱柱 内接于一个半径为 的球，四边形 与 均为正方形， 分别是 ， 的中点， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） 11n = T 0T = 1n = 8T = 2n = 8 4T = + 3n = 8 4 4T = + + 4n = 8 4 4 8T = + + + 5n = 8 4 4 8 0T = + + + + 6n = 8 4 4 8 +0 12T = + + + + 7n = 8 4 4 8 0 12 4T = + + + + + − 8n = 8 4 4 8 0 12 4 16T = + + + + + − + 9n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8T = + + + + + − + − 10n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8 20T = + + + + + − + − + 11n = 8 4 4 8 0 12 4 16 8 20 60T = + + + + + − + − + = 1 1 1ABC A B C− 3 1 1A ACC 1 1B BCC ,M N 1 1A B 1 1AC 1 1 1 1 2C M A B= BM ANA. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值． 【详解】 直三棱柱 ABC−A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点， 如图：BC 的中点为 O，连结 ON， MN∥ B1C1=OB，则 MNOB 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是∠ANO， ∵ 分别是 ， 的中点， ， 可得 A1C1⊥B1C1， 四边形 与 均为正方形，可得 BC=CA=CC1， ∵三棱柱 内接于一个半径为 的球， 设 BC=CA=CC1=a, 三棱柱 外接球可看作棱长为 a 的正方体外接球， ∴ ，解得 a=2， ∴BC=CA=CC1=2, CO=1,AO= ,AN= , ， 在△ANO 中,由余弦定理可得： , 故选：B. 3 10 30 10 7 10 70 10 1 2 ,M N 1 1A B 1 1AC 1 1 1 1 2C M A B= 1 1A ACC 1 1B BCC 1 1 1ABC A B C− 3 1 1 1ABC A B C− 2 2 2 2 3a a a+ + = 5 5 ( )22 2 2 1 1 2 2 6NO MB B M BB= = + = + = 2 2 2 6 30 2 102 5 6 AN NO AOcos ANO AN NO + −∠ = = =⋅ × ×【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，涉及几何体外接球及空间位置关系等知识点，根据外接球半径 解出三棱柱棱长是关键点，也是本题难点，属于较难题. 12.已知函数 若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出函数 的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时 的临界值，结合图像即可得到答案. 【详解】作出函数 的图象如图所示； 当 时；令 ，即 ， 令 ，即 ，解得 ， 结合图象可知， ； 当 时，令 ，则此时 ， 相切， 设切点 ，则 解得 ， 观察可知，实数 的取值范围为 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数 形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 2 2 e 1, 0,( ) 2 2, 0, x xf x x x x  − >= − − − ≤ | ( ) |f x mx≥ m 2 2 2,2 −  2 2 2,1 −  2 2 2,e −  2 2 e,e −  | ( ) |f x m | ( ) |f x 0x ≤ 2 2 2x x mx+ + = 2 (2 ) 2 0x m x+ − + = 0∆ = 2(2 ) 8 0m− − = 2 2 2m = ± 2 2 2m = − 0x > 2e 1x mx− = 2( ) e 1xf x = − ( )h x mx= ( )02 0 , 1xx e − 0 0 2 0 2 e 1 , 2e , x x mx m  − =  = 2m = m 2 2 2,2 − 13.已知向量 ， ，且 ，则 ______. 【答案】1 或 5 【解析】 【分析】 由 ， ，求得 ，利用向量垂直的坐标运算，即可求出 ，再结合向 量的数量积运算，即可求出结果. 【详解】解：根据题意， ， ， ，解得： 或 ， 所以 或 5. 故答案为：1 或 5. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量的数量积，考查计算能力. 14.若 ，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，展开化简可得 ，结合已知，即可求得答案. 【详解】由 ， 展开化简可得 整理可得： ， . 故答案为： . (2,1)a = ( , 1)b m= − (2 )b a b⊥ −   a b⋅ =  (2,1)a = ( , 1)b m= − 2 (4 ,3)a b m− = −  m 2 (4 ,3)a b m− = −  (2 )b a b⊥ −    (4 ) 3 0m m∴ − − = 1m = 3m = 1a b⋅ =  3sin cos6 3 πα α + + = −   2cos 23 π α + =   7 9 3sin cos6 3 πα α + + = −   1sin 3 3 πα + = −   3sin cos6 3 πα α + + = −   3cos cos sin cos6 6s 3in π πα α α+ + = − 1sin 3 3 πα + = −   ∴ 2 22 1 7cos 2 1 2sin 1 23 3 3 9 π πα α     + = − + = − − =           7 9【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分 析能力和计算能力，属于基础题. 15.已知圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆 的 切线，则切线长为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】 根据题意，得出圆 的圆心为 ，利用点到直线的距离公式，求出圆心 到直线 的距离 ，再结合弦长公式求得 ，即可求出切线长 . 【详解】解：由题知，圆 ， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离 ， 所以 ，解得： . 故圆 的方程为 . 过点 作圆 的切线，所以切线长为： . 故答案为：3. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆心和半径、点到直线距离和切线长等知识，考查解题能力. 16.某饮料厂生产 ， 两种饮料.生产 桶 饮料，需该特产原料 公斤，需时间 小时；生产 桶 饮 料，需该特产原料 公斤，需时间 小时，每天 饮料的产量不超过 饮料产量的 倍，每天生产两种饮 料所需该特产原料的总量至多 公斤，每天生产 饮料的时间不低于生产 饮料的时间，每桶 饮料的 利润是每桶 饮料利润的 倍，若该饮料厂每天生产 饮料 桶， 饮料 桶时 利润最大， 则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 2 2: 2 0( 0)M x y ay a+ − = > 0x y+ = 2 2 (3,0)A M 2 2 2: ( ) ( 0)M x y a a a+ − = > (0, )a (0, )a 0x y+ = 2 ad = 2a = 2 2AM r− 2 2 2: ( ) ( 0)M x y a a a+ − = > (0, )a r a= (0, )a 0x y+ = 2 ad = 2 22 2 22 aa − = 2a = M 2 2( 2) 4x y+ − = (3,0)A M 22 2 2(3 0) (0 2) 4 3AM r− = − + − − = A B 1 A 100 3 1 B 100 1 A B 2 750 A B A B 1.5 A m B n ( )*,m n N∈ m n+ = 7设每天 ， 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 ，画出可行域，结合 已知，即可求得答案. 【详解】设每天 ， 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 则其表示的可行域如图中阴影部分所示， 设 B 饮料每桶利润为 1，则目标函数为 ，则 ， 表示直线在 轴上的截距， ， 只取整数， 当直线 经过点 即 ， 时， 取得最大值， 故 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平 面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在 何处取得最优解． 三、解答题：解答应写出文字说明，证眀过程或演算步骤. 17.已知正项等比数列 满足 ， ，数列 的前 项和 . （Ⅰ）求数列 与 的通项公式； （Ⅱ）设 求数列 的前 项和 . 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . A B x y 0, 0 2 3 100 100 750 0 x y x y x y y x ≥ ≥  ≤ ≥  + − ≤ A B x y 0, 0 2 3 100 100 750 0 x y x y x y y x ≥ ≥  ≤ ≥  + − ≤ 1.5z x y= + 1.5y x z= − + z y  x y ∴ 1.5y x z= − + ( )4,3 4m = 3n = z 7m n+ = 7 { }na 1 2a = 2 3 7 32a a = { }nb n 2 nS n n= − { }na { }nb , , , , n n n a nc b n =   为奇数 为偶数 { }nc n nT 2n na = 2 2nb n= − 2 2 2 1 2 2 ( 1) ,3 2 2 2 ,2 3 n n n n n T n n + +  − −+=  − + 为奇数 为偶数【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的性质和通项公式，求出 ，即可得出数列 的通项公式；利用 和 的关系， 求出 的通项公式； （2）根据题意可知，数列 的奇数项构成一个等比数列，首项为 2，公比为 4，数列 的偶数项构成 一个等差数列，首项为 2，公差为 4，利用等比数列和等差数列的前 项和公式，即可求出 . 【详解】（Ⅰ）根据题意， ， ， ， ，故 ， 所以 ， 因为 ， ， 又 ，所以 . （Ⅱ）根据题意，数列 的奇数项构成一个等比数列，首项为 2，公比为 4， 数列 的偶数项构成一个等差数列，首项为 2，公差为 4， 所以当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ， 故 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和递推关系求通项公式，以及等比数列和等差数列的前 项和公式， 考查计算能力. 2q = { }na nS nb { }nb { }nc { }nc n nT 1 2a = 2 2 5 32a = 1 2a∴ = 5 32a = 2q = 2n na = 2 nS n n= − ( )2 2 1 ( 1) ( 1) 2 2( 2)n n nb S S n n n n n n−  ∴ = − = − − − − − = −   1 1 0b S= = 2 2nb n= − { }nc { }nc n 2 2 12 1 4 (2 2 2) 2 22 1 4 2 2 3 n n n n n nT +  −  + − − = + = +− n 1 2 2 2 1 12 1 4 (2 2 4) 2 2 ( 1)2 21 4 2 3 2 n n n n n n n n nT T c − + −   −−  + − − − = + = + + = +− 2 2 2 1 2 2 ( 1) ,3 2 2 2 ,2 3 n n n n n T n n + +  − −+=  − + 为奇数 为偶数 n18. 年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机 抽取了 名观众（含 名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方 图. （1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分； （2）若把评分低于 分定为“不满意”，评分不低于 分定为“满意”. （i）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明理由； （ii）完成下列 列联表，并回答是否有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 女性观众 男性观众 合计 “满意” “不满意” 合计 参考数据： 【答案】（1）女性观众评分的中位数为 ，男性观众评分的平均数为 （2）（i）男性观众不满意的 概率大，详见解析（ii）填表见解析；有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关 【解析】 【分析】 （1）根据所给数据，即可求得中位数和平均数，即可求得答案； 2019 500 200 70 70 2 2× 95% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P K k≥ 0.05 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 75 73.5 95%（2）记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图求得 和 ， 即可比较男观众与女观众不满意的概率大小. 完成下列 列联表,计算出 ，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为 ， ， . 男性观众评分的平均数为 . （2）（i）男性观众不满意的概率大， 记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得 的估计值为 ， 的估计值为 ， 所以男性观众不满意的概率大. （ii）列联表如下图： 女性观众 男性观众 合计 “满意” “不满意” 合计 所以 故有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 【点睛】本题主要考查了根据频率直方图计算中位数和平均数，及其卡方计算，解题关键是掌握频率直方 图基础知识和卡方计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 19.如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，平面 平面 ， ， ， 为三棱锥 外一点，且 为等边三角形. AC BC ( )AP C ( )BP C 2 2× 2K x 10 0.01 10 0.02 ( 70) 0.04 0.5x× + × + − × = 75x∴ = 55 0.15 65 0.25 75 0.3 85 0.2 95 0.1 73.5× + × + × + × + × = AC BC ( )AP C (0.01 0.02) 10 0.3+ × = ( )BP C (0.015 0.025) 10 0.4+ × = 140 180 320 60 120 180 200 300 500 2 2 500 (140 120 180 60) 5.208 3.841200 300 320 180K × × − ×= ≈ >× × × 95% A BCD− ABD∆ ABD ⊥ BCD BC CD⊥ 2BC CD= = E A BCD− CDE∆（1）证明： ； （2）若 平面 ，求点 到平面 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）要证 ，只需证 平面 ，即可求得答案； （2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，且 ， ，取 的中点 ，连接 ， ，同理可证 平面 ， 平面 ，结合已知 ，即可求得答案. 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 故 . AC BD⊥ AE ⊥ CDE E BCD 6 3 3 7 + AC BD⊥ BD ⊥ AOC ABD ⊥ BCD ABD ∩ CBD CD= AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = CD F OF EF CD ⊥ EOF CD ⊥ AOF BD O OC OA  ABD∆ ∴ AO BD⊥  BC CD= ∴ CO BD⊥  CO AO O∩ = ∴ BD ⊥ AOC  AC ⊂ AOC AC BD⊥（2） 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 且 ， ， 取 的中点 ，连接 ， ， 同理可证 平面 ， 平面 ， ， ， ， 共面， 平面 平面 ，作 垂直 于点 ， 则 平面 ， 故点 到平面 的距离即为 ， 又 平面 ，所以 ， ， ， ， ， . 由 . 【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面 垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 20.已知抛物线 的焦点为 ，圆 与抛物线 相交于 两点，且 . （Ⅰ）若 为抛物线 上三点，若 为 的重心，求 的值； （Ⅱ）抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 ，求圆 上一点 到线段 的中 点 的最大距离. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】  ABD ⊥ BCD ABD ∩ CBD CD= ∴ AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = CD F OF EF CD ⊥ EOF CD ⊥ AOF A∴ O F E ∴ BCD ⊥ OFE EH OF H EH ⊥ BCD E BCD EH  AE ⊥ CDE AE EF⊥ AE EC⊥ ∴ 2 2OF = 6 2EF = 14 2AF = 2AE = sin sin( )EFO AFO AFE∠ = ∠ + ∠ sin cos cos sinAFO AFE AFO AFE= ∠ ∠ + ∠ ∠ ∴ 6 2 3 2 6 3 3 2 7 7EH + += × = 2: 2 ( 0)C y px p= > F 2 2: 3O x y+ = C ,M N | | 2 2MN = , ,A B E C F ABC FA FB FE+ +   C : 2 0l x y− − = P Q O G PQ H 2 3+（Ⅰ）根据题意，求出 的坐标，得出抛物线 ，由焦点 ， 为 的重心，设点 ， ， ，得出 ，即可得出结果； （Ⅱ）设点 ， ，利用点差法，求得 ，根据条件，得出 ，得 出线段 的中点 坐标为 ，即可得出 到线段 的中点 的最大距离. 【详解】（Ⅰ）因为 关于 轴对称，所以 的纵坐标为 ，横坐标为 1， 代入 ，可得 ， 依题意，设点 ， ， ， 又焦点 ， 所以 ， 则 . （Ⅱ）设点 ， ，则 则 ， ， 又 关于直线 对称， ， 即 ， ， 又 的中点一定在直线 上， ， ,M N 2 2y x= 1 ,02F      F ABC ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,E x y ( )1 2 3 3 2FA FB FE x x x+ + = + + +   ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 PQk y y = + 1 2 2y y+ = − PQ H (1, 1)− G PQ H ,M N x ,M N 2± 2 2 ( 0)y px p= > 2 2y x= ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,E x y 1 ,02F      1 2 3 1 33 2 2x x x+ + = × = 1 2 3 1 1 1 2 2 2FA FB FE x x x   + + = + + + + +          ( )1 2 3 3 3 3 32 2 2x x x= + + + = + = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 1 1 2 2 2 2 , 2 , y x y x  =  = ( )( ) ( )1 2 1 2 1 22y y y y x x− + = − 1 2 2 PQk y y ∴ = + ,P Q l 1PQk∴ = − 1 2 2y y+ = − 1 2 12 y y+∴ = − PQ∵ l 1 2 1 2 2 12 2 x x y y+ +∴ = + =线段 的中点 坐标为 ， 故 从而 到 的最大距离为 . 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，涉及点差法求直线的斜率、点对称的性质、中点坐标公式等知识点， 考查转化思想和解题能力. 21.已知函数 . （I）当 时，比较 ， ， 的大小； （Ⅱ）当 时，若方程 在 上有且只有一个解，求 的值. 【答案】（I） ；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】 （I）由题可知，函数 的定义域为 ， ，利用导函数得出 的单调性，得 出 ，则有 ，再利用作差法，即可比较 ， ， 的 大小； （Ⅱ）由题知，设 ，则 在 上有且只有一个零点，而 ，故函数 有零点 ，由 ，再利用导函数研究 的单调性和极 值，即可求出 的值. 【详解】（Ⅰ）函数 定义域为 ， ， 令 ，得 ， 令 ，得 ， 所以函数 的单调递减区间为 ， 的 ∴ PQ H (1, 1)− 2 2( 1) ( 1) 3 2 3GH ≥ − + − + = + G H 2 3+ ( ) lnf x x x= − 1 2x< < ln x x 2ln x x      2 2 ln x x 10 2m< ≤ 2( ) 2 1f x mx mx m= − + + (0, )+∞ m 2 2 2 ln ln lnx x x x x x   < = > ln1 0x x > > ln x x 2ln x x      2 2 ln x x 2( ) ln (2 1)g x mx x x mx m= − + − − − ( )g x (0, )+∞ (1) 0g = ( )g x 1x = (2 1)( 1)( ) mx xg x x − −=′ ( )g x m ( )f x (0, )+∞ 1 1( ) 1 xf x x x ′ −= − = 1 1( ) 1 0xf x x x −′ = − = > 1x > 1 1( ) 1 0xf x x x −′ = − = < 0 1x< < ( )f x (0,1)函数 的单调递增区间为 . 所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ； 又因为 ， 所以 ； （Ⅱ）设 ， 则 在 上有且只有一个零点， 又 ，故函数 有零点 ， ， 当 时， ， 又 不是常数函数，故 在 上单调递增， 函数 有且只有一个零点 ，满足题意 当 时，由 ，得 或 ，且 ， 由 ，得 或 ， 由 ，得 ， 故当 在 上变化时， ， 的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + ( )f x (1, )+∞ ( ) ln (1) 1 0f x x x f= − > = > ln 0x x> > ln1 0x x > > 2ln lnx x x x   2 2 2 ln ln lnx x x x x x   < ( ) 0g x′ > 0 1x< < 1 2x m > ( ) 0g x′ < 11 2x m < < x (0, )+∞ ( )g x′ ( )g x x (0,1) 11, 2m      1 2m 1 ,2m  +∞   ( )g x′ 极大值 极小值 根据上表知 ， 又 ， ， 故在 上，函数 又有一个零点，不满足题意， 综上所述， . 【点睛】本题考查利用导函数比较大小以及根据方程解得个数求参数，还涉及利用导数研究函数的单调性、 极值，考查转化能力、综合分析能力和计算能力. 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题 的首题进行评分. 选修 4—4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标分别为 ，且 的顶点 都在圆 上，将圆 向右平移 3 个单位长度后，得到曲线 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设 ，曲线 与 相交于 两点，求 的值. 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】 ( )g x    01 2g m     <  1( ) 2 ln 1g x mx x m xm   = − + + + +     12 0g m  ∴ + >   1 ,2m  +∞   ( )g x 1 2m = xOy 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t x , ,A B C 5 3(4, ),(4, ),(4, )6 6 2 π π π ABC∆ 2C 2C 3C 3C ( )1, 1M 1C 3C ,P Q MP MQ⋅ 2 2( 3) 16x y− + =（1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换； （2）由（1）联立曲线 与 ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果． 【详解】（1）由 可得点 的直角坐标系为 ， 点 的直角坐标系为 ， 点 的直角坐标系为 . 设圆 的直角坐标系方程为 ， 代入 可得 ， . 圆 的直角坐标方程为 . 故曲线 的直角坐标方程为： . （2）由（1）联立曲线 ， 可得 ， 整理可得， ， ， . 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能 力，属于中档题． 选修 4—5：不等式选讲 23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值. 【答案】（1） 或 .（2）4 【解析】 【分析】 1C 3C cos , sinx yρ θ ρ θ= = A (2 3,2)A B ( 2 3,2)B − C (0, 4)C − 2C 2 2 2( )x y m r+ − = ,A C 2 2 2 2 12 (2 ) ( 4 ) m r m r  + − =  − − = 0, 4m r= =∴ ∴ 2C 2 2 16x y+ = 3C 2 2( 3) 16x y− + = 1C 3C 2 22 2(1 3) (1 ) 162 2t t− − + + = 2 3 2 11 0t t+ − = 1 2 1 23 2, 11t t t t+ = − = −∴ 1 2 1 2| | | | | | | | 11MP MQ t t t t⋅ = ⋅ = − =∴ ( ) | 3 1| | 2 |f x x x= − + − ( ) 3f x ≥ 1, 1m n> > x R∀ ∈ 2 2 53log log ( )m n f x ⋅ ≥ mn { | 0x x ≤ 1}x ≥（1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可； （2）由题意可得 ，利用基本不等式 ，从而求得 mn 的最小值． 【详解】（1）原不等式可化为 ， ①当 时， 原不等式可化为 ， 解得 ， ； ②当 时， 原不等式可化为 ， 解得 ， ； ③当 时， 原不等式可化为 ， 解得 ， ； 综上，不等式的解集为 或 . （2） ， . 由 恒成立可知， 不等式 恒成立. ， ， 2 2log log 1m n⋅ ≥ 2 2 2 2log log 2 log log 2m n m n+ ≥ ⋅ ≥ | 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥ 1 3x ≤ 3 1 2 3x x− + + − ≥ 0x ≤ 0x∴ ≤ 1 23 x< < 3 1 2 3x x− + − ≥ 1x ≥ 1 2x≤