2020届高考数学（文）百校联考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷试题（解析版）

2020 届百校联考高考百日冲刺金卷 全国 II 卷·文数（三） 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.本试卷满分 150 分，测试时间 120 分钟. 5.考试范围：高考全部内容. 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 ，根据补集定义，即可求得答案. 【详解】 ， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了补集运算，解题关键是掌握集合补集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基 础题. 2.已知 是虚数单位， ，则复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B { | }6M x N x= ∈ ≤ { }2,1,0,1,2A = − { }2 ,B y y x x A= = ∈ M B = { }2,5,6 { }2,3,6 { }2,3,5,6 { }0,2,3,5,6 B  { }2,1,0,1,2A = − ∴ { } { }2| , 0,1,4B y y x x A= = ∈ =  { | } {0,1,2,6 3,4,5,6}M x N x == ∈ ≤ ∴ { }2,3,5,6M B = i (2 ) 5(1 )z i i− = + z 1 3i+ 1 3i− 1 3i− + 1 3i− −【解析】 【分析】 化简 ，求得 ，根据复数的共轭复数定义，即可求得答案. 【详解】 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求复数的共轭复数和复数除法运算，解题关键是掌握共轭复数定义和复数除法运 算，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 3.已知 为坐标原点，椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为直角三角形，则椭圆 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 因为椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为 直角三角形，根据椭圆通径可得： ，结合已知，即可求得答案. 【详解】 椭圆 ，过右焦点 的直线 轴，交椭圆 于 ， 两点，且 为直角三角形 根据椭圆通径可得： ， ， ， ， (2 ) 5(1 )z i i− = + z 5(1 ) 5(1 )(2 ) 1 32 5 i i iz ii + + += = = +− 1 3z i∴ = − O 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ C 1 5 2 − + 1 3 2 − + 1 2 1 5 2 − − 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ 22| | bAB a =  2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > F l x⊥ C A B AOB∆ 22| | bAB a = ∴ 2bc a= 2b ac∴ = 2 2a c ac∴ − =， 解得 或 （舍）. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，解题关键是掌握椭圆离心率定义和椭圆的通径求法，考查了分 析能力和计算能力，属于中档题. 4.如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形 ，在长方形内随机取一点， 则此点取自阴影部分 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设小三角形的边长为 ，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ，又长方 形的宽为 ，长为 ，即可求得答案. 【详解】设小三角形的边长为 ，每个小三角形的面积为 ，六个小三角形的面积之和为 ， 又 长方形的宽为 ，长为 ， 长方形的面积为 ， 故此点取自阴影部分 的概率是： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了几何型概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力， 2 1 0e e∴ + − = 1 5 2e − += 1 5 2e − −= T T 1 8 1 4 1 2 2 3 1 3 4 3 3 36 4 2 × = 3 34 2 32 × = 1 3 4 3 3 36 4 2 × =  3 34 2 32 × = ∴ 6 3 T 3 3 12 46 3 =属于基础题. 5.在 中， ， ， 为 上一点，且 ， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ， 由 余 弦 定 理 ， ，即可求得答案. 【详解】设 ， 由余弦定理 ； 即 ① ； 即 ， ② 又 ③ 由①②③可得. ， . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了根据余弦定理解三角形，解题关键是掌握余弦定理公式和灵活使用诱导公式，考 查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6.已知函数 的图象经过 ，周期为 ，且 对 恒成立，则函数 在区间 上的取值范围为（ ） A. B. C. D. ABC∆ 2 3AB = 4AC = D BC 3BC BD= 2AD = BC 42 3 42 2 4 42 BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ BD x= 2 2 2(2 ) 2 2 cosAC AD x AD x ADC= + − ⋅ ∠ 2 2 24 2 (2 ) 2 2 2 cosx x ADC= + − × ⋅ ∠ — — 2 2 2 2 cosAB AD x AD x ADB= + − ⋅ ∠ 2 2 2(2 3) 2 2 2 cosx x ADB= + − × ∠ — —  ( )0cos cos 180 cosADC ADB ADB∠ = − ∠ = − ∠ — — 42 3x = ∴ 3 42BB DC = = ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0, 0,0 2A πω ϕ > > < + + 1 x y< < ∴ 2 21 1 1x y< + < + lny x= ( ) ( )2 2ln 1 ln 1x y+ < + tan x tan y 1 x y< < 3 3x y< 1 1 1 1 1 2 4 6 4038 4040 − + − + −A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 该程序的功能是利用循环结构计算并输出 的值，模拟程序的运行过程，分析 循环中各变量值的变化情况，即可求得答案. 【详解】该程序 功能是利用循环结构计算并输出 的值，模拟程序的运行过 程， 可得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握框图基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11.已知三棱柱 ，四边形 与 均为边长为 的正方形， ， 分别是 ， 的 4034?i ≤ 4036?i ≤ 4038?i ≤ 4042?i ≤ 1 1 1 1 1 2 4 6 4038 4040 − + − + − 1 1 1 1 1 2 4 6 4038 4040 − + − + − 2i = 1 1 2 4T = − 6i = 1 1 1 1 2 4 6 8T = − + − 10i = 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12T = − + − + − 14i = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 14 16T = − + − + − + −  4038i = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 4038 4040T = − + − + − + − 1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC 1 1B BCC 2 M N 1 1C B的中点， ，则 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ，可知 ，取 中点 ，连接 ，再取 的中点 ，连接 ，则 ，同理可证 ，所以 为异面直线 与 所成的角（或其补角），即可求得答案. 【详解】 ， ， 取 中点 ，连接 ，再取 的中点 ，连接 ， 则 ，同理可证 ， 为异面直线 与 所成的角（或其补角）. 又 ， 根据勾股定理， ， ， ， 在 中，由余弦定理得 ， 故异面直线 与 所成角的余弦值为 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求异面直线夹角余弦值，解题关键是掌握异面直线夹角定义和余弦定理公式，考 查了分析能力和计算能力，属于中档题. 12.已知函数 若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 1CC 0CA CB⋅ =  BM AN 1 5 2 5 4 5 21 5 0CA CB⋅ =  AC BC⊥ BC D 1C D CD E EN 1/ /EN C D 1/ /BM C D ANE∠ BM AN  0CA CB⋅ =  ∴ AC BC⊥ BC D 1C D CD E EN 1/ /EN C D 1/ /BM C D ∴ ANE∠ BM AN  1CN = 5AN = 5 2EN = 17 2AE = AEN∆ 2 2 2 2cos 2 5 AN EN AEANE AN EN + −∠ = =⋅ BM AN 2 5 2 2 e 1, 0,( ) 2 2, 0, x xf x x x x  − >= − − − ≤ | ( ) |f x mx≥ m 2 2 2,2 −  2 2 2,1 −  2 2 2,e −  2 2 e,e − 【分析】 作出函数 的图象如图所示，在考虑直线与曲线相切时 的临界值，结合图像即可得到答案. 【详解】作出函数 的图象如图所示； 当 时；令 ，即 ， 令 ，即 ，解得 ， 结合图象可知， ； 当 时，令 ，则此时 ， 相切， 设切点 ，则 解得 ， 观察可知，实数 的取值范围为 . 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数 形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图像的直观性进行分析. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13.已知向量 ， ，则 _________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量数量积坐标公式，即可求得答案. . | ( ) |f x m | ( ) |f x 0x ≤ 2 2 2x x mx+ + = 2 (2 ) 2 0x m x+ − + = 0∆ = 2(2 ) 8 0m− − = 2 2 2m = ± 2 2 2m = − 0x > 2e 1x mx− = 2( ) e 1xf x = − ( )h x mx= ( )02 0 , 1xx e − 0 0 2 0 2 e 1 , 2e , x x mx m  − =  = 2m = m 2 2 2,2 −  (2,1)a = (2, 1)b = − (2 )b a b⋅ − =   1【详解】 ， ， 可得 ， . 故答案 ： . 【点睛】本题主要考查了求向量的数量积，解题关键是掌握向量数量积坐标公式，考查了分析能力和计算 能力，属于基础题. 14.若 ，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 ，展开化简可得 ，结合已知，即可求得答案. 【详解】由 ， 展开化简可得 整理可得： ， . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握正弦两角和公式和余弦的二倍角公式，考查了分 析能力和计算能力，属于基础题. 15.已知函数 在 处的切线方程为 ，则满足 的 的取值范围 为_________. 【答案】 【解析】 为  (2,1)a = (2, 1)b = − 2 (2,3)a b− = (2 ) 4 3 1b a b∴ ⋅ − = − =  1 3sin cos6 3 πα α + + = −   2cos 23 π α + =   7 9 3sin cos6 3 πα α + + = −   1sin 3 3 πα + = −   3sin cos6 3 πα α + + = −   3cos cos sin cos6 6s 3in π πα α α+ + = − 1sin 3 3 πα + = −   ∴ 2 22 1 7cos 2 1 2sin 1 23 3 3 9 π πα α     + = − + = − − =           7 9 ( ) ln( )f x a x= + ( )( )0, 0f y x= ( )0 2 1f x≤ − ≤ x [2, 1]e +【分析】 因为 ，可得 ，即 ，所以 ， 是 上的增函数， 结合已知，即可求得答案. 【详解】 ， ， ， ， 是 上的增函数， 又 ， ， ， .即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和 导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 16.某饮料厂生产 ， 两种饮料.生产 桶 饮料，需该特产原料 公斤，需时间 小时；生产 桶 饮 料，需该特产原料 公斤，需时间 小时，每天 饮料的产量不超过 饮料产量的 倍，每天生产两种饮 料所需该特产原料的总量至多 公斤，每天生产 饮料的时间不低于生产 饮料的时间，每桶 饮料的 利润是每桶 饮料利润的 倍，若该饮料厂每天生产 饮料 桶， 饮料 桶时 利润最大， 则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 设每天 ， 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 ，画出可行域，结合 已知，即可求得答案. 1( )f x a x ′ = + 1(0) 1f a ′ = = 1a = ( ) ln(1 )f x x= + ( )f x ( 1, )− +∞  1( )f x a x ′ = + 1(0) 1f a ′∴ = = 1a\ = ∴ ( ) ln(1 )f x x= + ( )f x ( 1, )− +∞  ( )0 0f = ( 1) ln( 1 1) 1f e e− = − + = ∴ 0 2 1x e≤ − ≤ − 2 1x e∴ ≤ ≤ + [2, 1]e + [2, 1]e + A B 1 A 100 3 1 B 100 1 A B 2 750 A B A B 1.5 A m B n ( )*,m n N∈ m n+ = 7 A B x y 0, 0 2 3 100 100 750 0 x y x y x y y x ≥ ≥  ≤ ≥  + − ≤【详解】设每天 ， 两种饮料的生产数量分别为 桶， 桶，则有 则其表示的可行域如图中阴影部分所示， 设 B 饮料每桶利润为 1，则目标函数为 ，则 ， 表示直线在 轴上的截距， ， 只取整数， 当直线 经过点 即 ， 时， 取得最大值， 故 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平 面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在 何处取得最优解． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知正项等比数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ， . （1）求 的通项公式与 ； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）根据等比数列通项公式和等差数列前 项和公式，即可求得答案； （2）因为 ，根据等比数列前 项和公式和“裂项相消”求和，即可求得答 案. A B x y 0, 0 2 3 100 100 750 0 x y x y x y y x ≥ ≥  ≤ ≥  + − ≤ 1.5z x y= + 1.5y x z= − + z y  x y ∴ 1.5y x z= − + ( )4,3 4m = 3n = z 7m n+ = 7 { }na 1 2a = 2 3 7 32a a = { }nb n nS 2 2nb n= − { }na nS 1 1 n n n c a S + = + { }nc n nT 2n na = 2 nS n n= − 1 12 1 1 n nT n + − − += n 1 1 1 1 12n n n n c a S n n+ = + = + − + n【详解】（1） 正项等比数列 满足. .， ， ， 可得 ， ， ， ，数列 为公差 ，首项为 的等差数列， . （2） 【点睛】本题主要考查了求等比数列通项公式和求数列前 项和，解题关键是掌握等比数列和等差数列基 础知识，及其“裂项相消”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 18. 年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，现随机 抽取了 名观众（含 名女性）的评分（百分制）进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方 图. （1）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分； （2）若把评分低于 分定 “不满意”，评分不低于 分定为“满意”. （i）试比较男观众与女观众不满意的概率大小，并说明理由； （ii）完成下列 列联表，并回答是否有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 女性观众 男性观众 合计 为  { }na 1 2a = 2 3 7 32a a = ∴ 1 2a = 2 2 5 32a = 5 32a = 2q∴ = ∴ 2n na =  2 2nb n= − { }nb 2 0 2(0 2 2) 2n n nS n n + −∴ = = −  1 1 n n n c a S + = + ∴ 1 1 12 2( 1) 1 1 1 n n n n n c a S nn n n+ = + = + + −= ++ ∴ ( ) 12 1 2 1 1 1 1 1 11 2 11 2 2 2 3 1 1 n n nT n n n + −      = + − + − + + − = − −     − + +      n 2019 500 200 70 70 2 2× 95%“满意” “不满意” 合计 参考数据： 【答案】（1）女性观众评分的中位数为 ，男性观众评分的平均数为 （2）（i）男性观众不满意的 概率大，详见解析（ii）填表见解析；有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关 【解析】 【分析】 （1）根据所给数据，即可求得中位数和平均数，即可求得答案； （2）记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图求得 和 ，即可比较男观众与女观众不满意的概率大小. 完成下列 列联表,计算出 ，结合已知，即可求得答 案. 【详解】（1）根据题意，设女性观众评分的中位数为 ， ， . 男性观众评分的平均数为 . （2）（i）男性观众不满意的概率大， 记 表示事件：“女性观众不满意”； 表示事件：“男性观众不满意”，由直方图得 的估计值为 ， 估计值为 ，的 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2P K k≥ 0.05 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 75 73.5 95% AC BC ( )AP C ( )BP C 2 2× 2K x 10 0.01 10 0.02 ( 70) 0.04 0.5x× + × + − × = 75x∴ = 55 0.15 65 0.25 75 0.3 85 0.2 95 0.1 73.5× + × + × + × + × = AC BC ( )AP C (0.01 0.02) 10 0.3+ × = ( )BP C (0.015 0.025) 10 0.4+ × =所以男性观众不满意的概率大. （ii）列联表如下图： 女性观众 男性观众 合计 “满意” “不满意” 合计 所以 故有 的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关. 【点睛】本题主要考查了根据频率直方图计算中位数和平均数，及其卡方计算，解题关键是掌握频率直方 图基础知识和卡方计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 19.如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，平面 平面 ， ， ， 为三棱锥 外一点，且 为等边三角形. （1）证明： ； （2）若 平面 ，求点 到平面 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 140 180 320 60 120 180 200 300 500 2 2 500 (140 120 180 60) 5.208 3.841200 300 320 180K × × − ×= ≈ >× × × 95% A BCD− ABD∆ ABD ⊥ BCD BC CD⊥ 2BC CD= = E A BCD− CDE∆ AC BD⊥ AE ⊥ CDE E BCD 6 3 3 7 +（1）要证 ，只需证 平面 ，即可求得答案； （2）因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，且 ， ，取 的中点 ，连接 ， ，同理可证 平面 ， 平面 ，结合已知 ，即可求得答案. 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 故 . （2） 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ， 且 ， ， 取 的中点 ，连接 ， ， 同理可证 平面 ， 平面 ， ， ， ， 共面， 平面 平面 ，作 垂直 于点 ， 则 平面 ， 故点 到平面 的距离即为 ， 又 平面 ，所以 ， ， AC BD⊥ BD ⊥ AOC ABD ⊥ BCD ABD ∩ CBD CD= AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = CD F OF EF CD ⊥ EOF CD ⊥ AOF BD O OC OA  ABD∆ ∴ AO BD⊥  BC CD= ∴ CO BD⊥  CO AO O∩ = ∴ BD ⊥ AOC  AC ⊂ AOC AC BD⊥  ABD ⊥ BCD ABD ∩ CBD CD= ∴ AO ⊥ BCD 2BD = 3AO = CD F OF EF CD ⊥ EOF CD ⊥ AOF A∴ O F E ∴ BCD ⊥ OFE EH OF H EH ⊥ BCD E BCD EH  AE ⊥ CDE AE EF⊥ AE EC⊥， ， ， . 由 . 【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面 垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 20.已知圆 与抛物线 相交于 ， 两点，且 . （1）求抛物线 的方程； （2）若抛物线 与直线 相交于 ， 两点， 为抛物线 的焦点，若 ，求直线 与圆 相交所得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）因为 ， 关于 轴对称，所以 ， 的纵坐标为 ，横坐标为 ，代入 ， 即可求得答案； （2）设抛物线 的准线为 ，直线 恒过定点 ，过 ， 分别 作 于 ， 于 ，由 ，则 ，结合已知，即可求得答案. 【详解】（1） ， 关于 轴对称， ， 的纵坐标为 ，横坐标为 ， 代入 ，可得 . （2）设抛物线 的准线为 ， 直线 恒过定点 ， 如图过 ， 分别作 于 ， 于 ， ∴ 2 2OF = 6 2EF = 14 2AF = 2AE = sin sin( )EFO AFO AFE∠ = ∠ + ∠ sin cos cos sinAFO AFE AFO AFE= ∠ ∠ + ∠ ∠ ∴ 6 2 3 2 6 3 3 2 7 7EH + += × = 2 2: 9O x y+ = 2: 2C y px= ( 0)p > G H 4 2GH = C C : ( 2)l y k x= + ( 0)k > A B F C 2FA FB= l O 2 8y x= 22 17 17 G H x G H 2 2± 1 2 2y px= ( )0p > 2: 8C y x= : 2l x = − ( 2)y k x= + ( 0)k > ( )2,0P − A B AM l⊥ M BN l⊥ N | | 2 | |FA FB= | | 2 | |AM BN=  G H x ∴ G H 2 2± 1 2 2y px= ( )0p > 2 8y x= 2: 8C y x= : 2l x = − ( 2)y k x= + ( 0)k > ( )2,0P − A B AM l⊥ M BN l⊥ N由 ，则 点 为 的中点，连接 ， 则 ， ，点 的横坐标为 . 点 的坐标为 ， ， ， 直线 的方程为 ， 到直线 的距离为 弦长为 . 【点睛】本题主要考查了求抛物线标准方程和直线抛物关系问题，解题关键是掌握抛物线定义和直线与抛 物线关系问题的解法，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21.已知函数 的最小值为 . （1）求 的解析式； （2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： . 【答案】（1） （2）证明见解析 | | 2 | |FA FB= | | 2 | |AM BN= B AP OB 1| | | |2OB AF= OB BF∴ = B 1 ∴ B (1, 2 2)± 2 2 0 2 2 1 ( 2) 3k ± − ±∴ = =− − 0k > 2 2 3k∴ = ∴ l 2 2 3 4 2 0x y− + = ∴ O l 4 2 17 ∴ 2 2 4 2 22 172 3 1717  − =    ( ) ln( ) x af x ax x −= − ( 0)a > 0 ( )f x 1( ) ( ) 2g x f x mx = − − 1x 2x 1 2x x< 1 2 1x x+ > 1( ) ln 1f x x x = + −【解析】 【分析】 （1）因为 定义域为 ，从而 ，令 ，由于 ，则 ；故当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，即可求得 答案； （2）根据题意， ，因为 ， 是函数 的两个零 点，所以 ， ，即可求得答案. 【详解】（1） ， 定义域为 ，从而 ， 令 ，由于 ， 则 ； 故当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 故 ， ，故 ， . （2） ， ， 是函数 的两个零点， ， 两式相减，可得 即 ， ( ) ln( ) x af x ax x −= − ( )0, ∞+ 2( ) x af x x −′ = ( ) 0f x′ = 0a > x a= x a> ( ) 0f x′ > ( )f x 0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1( ) ln 12g x x mx = + − − ( 0)x > 1x 2x 1( ) ln 12g x x mx = + − − 1 1 1ln 1 02x mx + − − = 2 2 1ln 1 02x mx + − − =  ( ) ln( ) x af x ax x −= − ∴ ( )0, ∞+ 2( ) x af x x −′ = ( ) 0f x′ = 0a > x a= x a> ( ) 0f x′ > ( )f x 0 x a< < ( ) 0f x′ < ( )f x min( ) ( ) 2lnf x f a a= = ∴ 2ln 0a = 1a = ∴ 1 1( ) ln ln 1xf x x xx x −= − = + −  1( ) ( ) 2g x f x mx = − − ∴ 1( ) ln 12g x x mx = + − − ( 0)x >  1x 2x 1( ) ln 12g x x mx = + − − ∴ 1 1 1ln 1 02x mx + − − = 2 2 1ln 1 02x mx + − − = 1 2 2 1 1 1ln 2 2 x x x x = − 1 1 2 2 1 2 ln 2 x x x x x x −=故 . ， . 令 ，其中 ， 则 ， 构造函数 ， 则 . 对于 ， 恒成立，故 ， 即 . 可知 ， . 【点睛】本题主要考查了根据最值求函数表达式和根据导数证明不等式，解题关键是掌握导数求最值的方 法和根据导数证不等式恒成立的证法，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方 框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题 的首题进行评分. 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标分别为 ，且 的顶点 都在圆 上，将圆 向右平移 3 个单位长度后，得到曲线 . （1）求曲线 的直角坐标方程； 1 2 1 2 1 2 2ln x xx x x x −= ∴ 1 2 1 1 2 1 2ln x xx x x − = 2 1 2 1 2 1 2ln x xx x x − = 1 2 xt x = 0 1t< < 1 2 1 111 2ln 2ln 2ln tt t tx x t t t − −−+ = + = 1( ) 2lnh t t tt = − − 2 2 ( 1)( ) th t t −′ = 0 1t< < ( ) 0h t′ > ( ) ( )1 0h t h< = 1 2ln 0t tt − − < 1 12ln t t t − > ∴ 1 2 1x x+ > xOy 1C 21 2 21 2 x t y t  = −  = + t x , ,A B C 5 3(4, ),(4, ),(4, )6 6 2 π π π ABC∆ 2C 2C 3C 3C（2）设 ，曲线 与 相交于 两点，求 的值. 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把极坐标转化为直角坐标，再进一步求解即可，进行转换； （2）由（1）联立曲线 与 ，利用一元二次方程根和系数的关系即可求出结果． 【详解】（1）由 可得点 的直角坐标系为 ， 点 的直角坐标系为 ， 点 的直角坐标系为 . 设圆 的直角坐标系方程为 ， 代入 可得 ， . 圆 的直角坐标方程为 . 故曲线 的直角坐标方程为： . （2）由（1）联立曲线 ， 可得 ， 整理可得， ， ， . 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程，直线与圆的位置关系等知识，考查转化能力和运算求解能 力，属于中档题． 23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若 ，对 ，不等式 恒成立，求 的最小值. ( )1, 1M 1C 3C ,P Q MP MQ⋅ 2 2( 3) 16x y− + = 1C 3C cos , sinx yρ θ ρ θ= = A (2 3,2)A B ( 2 3,2)B − C (0, 4)C − 2C 2 2 2( )x y m r+ − = ,A C 2 2 2 2 12 (2 ) ( 4 ) m r m r  + − =  − − = 0, 4m r= =∴ ∴ 2C 2 2 16x y+ = 3C 2 2( 3) 16x y− + = 1C 3C 2 22 2(1 3) (1 ) 162 2t t− − + + = 2 3 2 11 0t t+ − = 1 2 1 23 2, 11t t t t+ = − = −∴ 1 2 1 2| | | | | | | | 11MP MQ t t t t⋅ = ⋅ = − =∴ ( ) | 3 1| | 2 |f x x x= − + − ( ) 3f x ≥ 1, 1m n> > x R∀ ∈ 2 2 53log log ( )m n f x ⋅ ≥ mn【答案】（1） 或 .（2）4 【解析】 【分析】 （1）由题意可得，利用零点分段法进行分区间讨论，脱去绝对值符号解不等式，再求并集即可； （2）由题意可得 ，利用基本不等式 ，从而求得 mn 的最小值． 【详解】（1）原不等式可化为 ， ①当 时， 原不等式可化为 ， 解得 ， ； ②当 时， 原不等式可化为 ， 解得 ， ； ③当 时， 原不等式可化为 ， 解得 ， ； 综上，不等式的解集为 或 . （2） ， . 由 恒成立可知， { | 0x x ≤ 1}x ≥ 2 2log log 1m n⋅ ≥ 2 2 2 2log log 2 log log 2m n m n+ ≥ ⋅ ≥ | 3 1| | 2 | 3x x− + − ≥ 1 3x ≤ 3 1 2 3x x− + + − ≥ 0x ≤ 0x∴ ≤ 1 23 x< < 3 1 2 3x x− + − ≥ 1x ≥ 1 2x≤