2019-2020 学年度第一学期期中考试试题
高二（数学）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。）
1.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC 的面积
为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.
【详解】由三角形面积公式得 得面积 .
本题选择 A 选项.
【点睛】在解决三角形问题中，面积公式 最常用，因
为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
2.下列四个数中，哪一个是数列{ }中的一项 （ ）
A. 380 B. 39 C. 35 D. 23
【答案】A
【解析】
【详解】因为数列{ }，那么将四个选项代入,可知 ,其他选项
中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选 A.
3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式 ，则这个动点的运动区域(用阴
影表示)是（ ）
A. B.
1
2
3
2 3
ABC
1 1 11 2 302 2 2ABCS acsinB sin= = × × × ° =
1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C ac B bc A= = =
( 1)n n +
( 1)n n + 19 20 380 19n× = ⇒ =
x y c R∈
2 2a b> ac bc> 2 2ac bc>
a c b c− > −
a b>
0b a< <
{ }na 1a 1 2n na a+ − = 51a
1 2n na a+ − = { }na
51a
0x > 4y xx
= +
ABC∆ sin :sin :sin 5:11:13A B C = ABC∆【解析】
【分析】
由 ，得出 ，可得出角 为最大角，并利用余
弦定理计算出 ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】由 ，可得出 ，
设 ，则 ， ，则角 为最大角，
由余弦定理得 ，则角 钝角，
因此， 为钝角三角形，故选：C.
【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合
大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
10.一个等比数列 的前 项和为 48，前 项和为 60，则前 项和为（ ）
A. 63 B. 108 C. 75 D. 83
【答案】A
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 在 等 比 数 列 中 ， 连 续 相 同 项 的 和 依 然 成 等 比 数 列 ， 即
成等比数列，题中 ，根
据等比中项性质有 ，则 ，故本题正确
选项为 A.
考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.
11.在 中， ，则此三角形解的情况是( )
A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解
【答案】B
【解析】
由题意知， ， ， ，∴ ，如图：
为
sin :sin :sin 5:11:13A B C = : : 5:11:13a b c = C
cosC
sin :sin :sin 5:11:13A B C = : : 5:11:13a b c =
( )5 0a t t= > 11b t= 13c t= C
2 2 2 2 2 225 121 169 23cos 02 2 5 11 110
a b c t t tC ab t t
+ − + −= = = − + = 1 4y a b
= +
7
2
9
2
1 4y a b
= +
1 4y a b
= + ( )1 1 4 1 452 2
b aa b a b a b
= × + + = × + +
1 45 22
b a
a b
≥ × + ×
9
2
=
2 4,3 3a b= =
1 4y a b
= + 9
2【分析】
根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，由等比数列的性质可得 q+q2＝6，解可得 q＝2 或﹣3，
分析可得 q 的值，结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案．
【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，
若 a1＝1，a2+a3＝6，则 q+q2＝6，
解可得 q＝2 或﹣3，
又由{an}是各项为正数的等比数列，则 q＝2，
则 S10 1023；
故该数列前 10 项的和 S10＝1023．
【点睛】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，关键求出等比数列的公比．
14.不等式 解集是______
【答案】
【解析】
【分析】
首先将所给 不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.
【详解】题中所给的不等式即： ， ，
该不等式等价于： ，
求解二次不等式可得： ，则不等式的解集为 .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.设 满足约束条件 ,则 的最大值为___
【答案】7
【解析】
此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示的平面区
的
的
( )10
1 1
1
a q
q
−
= =−
2 1 13 1
x
x
− >+
1| 2 3x x − < < −
2 1 1 03 1
x
x
− − >+
2 03 1
x
x
− − >+
( )( )2 3 1 0x x− − + >
12 3x− < < − 1| 2 3x x − < < −
1| 2 3x x − < < −
,x y
1
{
2
x y
y x
y
+ ≤
≤
≥ −
3z x y= +域，然后找出直线 ，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后
把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的
就是最小值；此不等式组所表示的平面区域如图阴影所示，
把 分别代入目标函数可知，当过点（3，-2）时，目标函数最大
且 7；
16.在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 ，塔基的俯角为 ，那么这座塔吊
的高是 .
【答案】 米.
【解析】
【分析】
由题意，AB＝10 米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可先在直角三角形 ABC 中求出 BC，再由 AD⊥CE，
得出 DC，AD 的长度，再求出 DE 即可得出塔吊的高度．
【详解】解：由题意，AB＝10 米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可知 ABCD 是正方形，由此易
得 CD＝AD＝10 米
再由，∠DAE＝60°，在直角三角形 ADE 中可求得 DE AD＝10
∴塔高为 DE+CD＝10+10
故答案为： 米
【点睛】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，
然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问
为
1 1(3, 2), ( 2, 2), ( , )2 2A B C− − −
60 45
10( 3 1)+
3= 3
( )3 10 3 1= +
( )10 3 1+题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．
三、解答题：（写出必要的解题步骤）
17.在△ABC 中，∠A=600，∠C=450，b=2, 解这个三角形.
【答案】 ， ， .
【解析】
【分析】
由题意首先求得∠B 的大小，然后利用正弦定理解三角形即可.
【详解】由题意可得： ，
结合正弦定理 可得：
， .
【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等
题.
18.（1）在△ABC 中，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2；
（2）比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】
【分析】
(1)由题意利用余弦定理角化边，然后整理变形即可证得题中的等式即可；
(2)由题意利用作差法比较两个代数式的大小即可.
【详解】(1)由余弦定理： ，
则等式左侧
=等式右侧，
75B∠ = 3 2 6a = − 2 3 2c = −
180 75B A C∠ = − ∠ − ∠ =
sin sin sin
a b c
A B C
= =
32sin 2 3 2 6sin 6 2
4
b Aa B
×
= = = −
+
22sin 2 2 3 2sin 6 2
4
b Cc B
×
= = = −
+
( 3)( 5) ( 2)( 4)a a a a+ − < + −
2 2 2 2 2 2
cos ,cos2 2
b c a a c bA Bbc ac
+ − + −= =
2 2 2 2 2 2
2 2
a c b b c aac bcac bc
+ − + −= ⋅ − ⋅
( )2 2 2 2 2 21
2 a c b b c a= + − − − +
2 2a b= −题中的等式得证.
(2)利用作差法：
，
.
【点睛】本题主要考查余弦定理证明三角恒等式的方法，作差法比较大小的方法等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知数列 的通项公式 ，数列 的前 项和为 .
（1）求 ， ；
（2）求 的最小值以及取得最小值时 n 的值.
【答案】（1） ，4；（2）最小值为 ，此时 或 3
【解析】
【分析】
(1)由数列 通项公式求解 ， 的值即可；
(2)由题意首先求得前 n 项和，然后结合前 n 项和公式即可确定 的最小值以及取得最小值时
n 的值.
【详解】(1)由数列的通项公式可得： ；
(2)由通项公式可得： ，
由数列的前 n 项和可得： ,
关于 的函数 开口向上，对称轴为 ，
据此可得，当 或 时前 n 项和取得最小值，其最小值为： .
【点睛】本题主要考查由通项公式确定数列中的项的方法，等差数列前 n 项和公式及其应用，
前 n 项和的最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知数列 的前 项和为
（1）求数列 的通项公式；
的
( ) ( )2 2( 3)( 5) ( 2)( 4) 2 15 2 8 7 0a a a a a a a a+ − − + − = − − − − − = − 0，
(1) 若不等式的解集是{x|-4
微信/支付宝扫码支付