江苏省如皋市2019-2020高二数学上学期教学质量调研（一）试卷（附解析Word版）

2019～2020 学年度高二年级第一学期教学质量调研（一） 数学试题 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1.抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 轴上以及 ，再直接求出其准线方程． 【详解】解：因为抛物线的标准方程为： ，焦点在 轴上； 所以： ，即 ， 所以： ， 所以准线方程 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位 置． 2.若双曲线 E： 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线上的一点，且 则 （ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 求得双曲线的 ，由双曲线的定义可得 ，代入已知条件解方程即可 得到所求值． 【详解】解：双曲线 E： 可得 ， 2 2x y= − 1 8x = 1 8y = 1 2x = 1 2y = y 2p 2 2x y= − y 2 2p = 1p = 1 2 2 p = 1 2y = 2 2 14 9 x y− = 1 2,F F P 1 2,PF = 2PF = 2a = 1 2 2 4PF PF a− = = 2 2 14 9 x y− = 2a =由双曲线的定义可得 ， 由 ，可得 ， 解得 （−2 舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题． 3.在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点 ，则该双曲线的渐 近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把已知点的坐标代入双曲线方程，求得 ，则双曲线的渐近线方程可求． 【详解】解：∵双曲线 经过点 ， ∴ ，解得 ， 又 ， ∴该双曲线的渐近线方程是 ． 故选：D． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题． 4.已知椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 1 2 2 4PF PF a− = = 1 2=PF 2| 2 | || 4PF− = 2 6PF = xOy 2 2 2 1( 0)4 x y bb − = > (4, 6) 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2 2y x= ± b 2 2 2 14 x y b − = (4, 6) 2 2 4 6 14 b − = 2b = 2a = 2 2y x= ± 2 2: 1( 0)yC x nn + = > 3 2 n 1 4 4 1 4 1 2 2 1 2【答案】A 【解析】 【分析】 通过椭圆的离心率列出方程，求解即可． 【详解】解：椭圆 的离心率为 ， 可得：椭圆的焦点坐标在 轴上时： ， 解得 ； 椭圆的焦点坐标在 轴上时： ， 解得 ． 故选：A． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查． 5.若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（ ） A. 离心率相等 B. 虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【详解】 ，则 ， ， 双曲线 实半轴长为 ，虚半轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ， 双曲线 的实半轴长为 ，虚半轴长为 ， 焦距为 ，离心率为 ， 因此，两双曲线的焦距相等， 的 2 2: 1( 0)yC x nn + = > 3 2 x 1 3 1 2 n− = 1 4n = y 1 3 2 n n − = 4n = k 0 9k< < 2 2 125 9 x y k − =− 2 2 125 9 x y k − =− 0 9k< 25 0k− > 2 2 125 9 x y k − =− 5 9 k− ( )2 25 9 2 34k k+ − = − 34 5 k− 2 2 125 9 x y k − =− 25 k− 3 ( )2 25 9 2 34k k− + = − 34 25 k k − −故选：D. 6.已知椭圆 ( )与双曲线 ( )的焦点重合，若双曲线 的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线 ， 的离心率分别为 ， ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得 ，解方程可得 ，再由离心率公式，化简计算可得所求 值． 【详解】解：椭圆 ( )与双曲线 ( )的焦点重合， 可得 ，即 ，① 若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得 ，② 由①②可得 ， 则 ． 故选：C． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运 算能力，属于基础题． 7.已知抛物线 上一点 到抛物线焦点 的距离等于 ，则直线 的斜 率为( 　) A. B. C. D. 2 2 1 2: 1xC ym + = 1m > 2 2 2 2: 1xC yn − = 0n > 1C 2C 1e 2e 1 2e e⋅ 1 3 5 5 3 5 3 2 2 11 1, 3m n n m− = + = ,m n 2 2 1 2: 1xC ym + = 1m > 2 2 2 2: 1xC yn − = 0n > 2 21 1m n− = + 2 2 2n m= − 1 3n m= 3 1,2 2m n= = 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 4 51 1 1 1 49 3 m ne m ne m n − +⋅ = ⋅ = − ⋅ + = − ⋅ + = 2 2 ( 0)y px p= > M F 2p MF 3± ±1 3 4 ± 3 3 ±【答案】A 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义可求出 的横坐标，代入抛物线方程解出 的纵坐标，代入斜率公式计 算斜率. 【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， 点 到焦点 的距离等于 到准线 的距离， 所以 ， 代入抛物线方程解得 ， ，故选 A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准 线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与 点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛 物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.. 8.已知直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则 的取值范 围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意直线 恒过定点 ，要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点，则只需要点 在椭圆上或椭圆内，代入可求． 【详解】解：由题意直线 恒过定点 M M 2 2 ( 0)y px p= > ,02 pF      2 px = −  M F M 2 px = − 22M px p+ = 3 2Mx p∴ = 3My p= ± 3 2 M MF M yk px ∴ = = ± − 1y kx= + x 22 2 1( 0)4 x y bb + = > b (1,2) ( )1,+∞ [ )1,+∞ [ )1,2 1y kx= + (0,1)M 1 ( )y kx k R= + ∈ x 22 2 1( 0)4 x y bb + = > (0,1)M 1y kx= + (0,1)M要使直线 与焦点在 轴上的椭圆 总有公共点， 则只需要点 在椭圆上或椭圆内， 则 且 ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲 线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性 质，但解题时容易漏掉焦点在 轴上的条件的考虑，误认为只有 ． 9.已知双曲线 ，过右焦点的直线交双曲线于 两点，若 中点的横坐标 为 4，则弦 长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设出直线 ，与 联立，根据韦达定理，可求出 的值，再根据弦长 公式 求得弦 的长． 【详解】解：双曲线 ，则 ，所以右焦点 ， 根据题意易得过 的直线斜率存在，设为 ， 联立 ， 化简得 ， 所以 ， 因为 中点横坐标为 4，所以 ， 1 ( )y kx k R= + ∈ x 22 2 1( 0)4 x y bb + = > (0,1)M 2 1 1b ≤ 2 4b < 1 2b≤ < x 2 1 1b ≤ 2 2: 2C x y− = ,A B ,A B AB 3 2 4 2 6 2 ( 2)y k x= − 2 2: 2C x y− = k ( )( )22| | 1 A BAB k x x= + − AB 2 2 : 12 2 x yC − = 2 4c = (2,0)F F ( 2)y k x= − ( , ), ( , )A A B BA x y B x y 2 2 ( 2) 2 y k x x y = −  − = ( )2 2 2 21 4 4 2 0k x k x k− + − − = 2 2 2 2 4 4 2,1 1A B A B k kx x x xk k − − −+ = =− − ,A B 2 2 4 81A B kx x k −+ = =−解得 ，所以 ， 则 ， 则 ． 故选：D． 【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题． 10.在平面直角坐标系 中，已知 是抛物线 的焦点，过点 作两条相互垂直的 直线 ， 分别与抛物线交于点 和 ，记 的中点为 ， 的中点为 ， 则 的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 设出 的方程，分别与抛物线 联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出 ， 的 坐标，进而可以求出 ，利用基本不等式求其最小值． 【详解】解：由 是抛物线 的焦点，得 ， 设 ， 联立 ，消去 得 ， , 设 ， 联立 ，消去 得 ， 2 2k = 2 2 4 2 101A B kx x k − −= =− ( ) ( ) 22 2 8 4 10 244A B A B A Bx x x x x x− = + − = − × = ( )( )22| | 1 3 24 6 2A BAB k x x= + − = × = xOy F 2 4x y= F 1 2,l l 1 2,l l ,A B ,C D AB M CD N OM ON⋅  1 2,l l 2 4x y= M N OM ON⋅  F 2 4x y= (0,1)F 1 : 1l y kx= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 1 4 y kx x y = +  = y 2 4 4 0x kx− − = 1 2 4 41 kx x k −∴ + = − = ( )2 2 1 21 1 1 1 2y y kx kx k x x∴ + = + + + = + + 24 2k= + ( )22 ,2 1M k k∴ + 2 1: 1y xl k = − + 3 3 4 4( , ), ( , )C x y D x y 2 1 1 4 y xk x y  = − +  = y 2 4 4 0x xk − =+, ． 故选：C． 【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注 意计算的准确性． 11.设 P，Q 分别是圆 和椭圆 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离 是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出 P，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆 的圆心为 M(0,6)，半径为 ， 设 ，则 ， 即 ， ∴当 时， ，故 的最大值为 . 故选 C. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离 3 4 4x kx∴ + = − 3 3 44 3 4 1 1 2x x xxy y k k k +∴ + = − + − + = − + 2 4 2k = + 2 2 2, 1N k k  ∴ − +   ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 ,2 1 , 1 4 2 1 1OM ON k k kk k k    ∴ ⋅ = + ⋅ − + = − + + +         2 2 2 2 2 21 2 1 2 2k kk k = + + ≥ + ⋅ 5= ( )22 6 2x y+ − = 2 2 110 x y+ = 5 2 46 2+ 6 2 7 2+ ( )22 6 2x y+ − = 2 ( )0 0,Q x y 2 20 0 110 x y+ = [ ]0 1,1y ∈ − MQ = ( ) 2 22 0 0 0 26 50 9 3x y y + − = − +   [ ]0, 1,1y ∈ − 0y = − 2 3 5 2MQ = 最大 PQ 6 2与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合 函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值. 12.过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 则直线 的斜率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设直线 的方程为： ，与椭圆方程联立．由 ，可 得 ，将其与韦达定理联立，即可解出直线 的斜率． 【详解】解：设直线 的方程为： ． 联立 ，化为： ， ， ． ，即 ， 即 ． 联立 ，解得 ． ， ∴直线 的向斜率 ． ( )1, 0M l 2 2 12 x y+ = A B、 2AM MB= l 14 2 14 7 14 2 ± 14 7 ± l ( ) ( )1 1 2 21, , , ,my x A x y B x y= − 2AM MB= 1 22y y= − l l ( ) ( )1 1 2 21, , , ,my x A x y B x y= − 2 2 1 2 2 my x x y = −  + = ( )2 22 2 1 0m y my+ + − = > 0∆ 1 2 1 22 2 2 1,2 2 my y y ym m ∴ + = − = −+ + 2AM MB= 2AM MB=  ( )1 20 2 0y y∴ − = − 1 22y y= − 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 my y m y y m y y − + = + = − + = −  2 2 7m = 2 7m∴ = ± l 141 2k m = = ±故选：C． 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能 力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是椭圆上的一点， ， 则 的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 依题意，在 中， ， ， ，利用余弦定理 可求得 的值，从而可求得 面积． 【详解】解：∵椭圆 ， ． 又∵ 为椭圆上一点， ， 为左右焦点， ∴ ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查椭圆 简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档 题． 14.在平面直角坐标系 中，过双曲线 的右焦点作垂直于 轴的 的 2 2 : 14 3 x yC + = 1 2,F F P 1 2 3F PF π∠ = 1 2F PF∆ 3 1 2F PF∆ 1 2 3F PF π∠ = 1 2| | | | 2 4PF PF a+ = = 1 2 2F F = 1 2| | | |F PP F⋅ 1 2F PF∆ 2 2 : 14 3 x yC + = 2, 3, 1a b c∴ = = = P 1 2 3F PF π∠ = 1 2,F F 1 2| | | | 2 4PF PF a+ = = 1 2 2F F = ( )22 1 2 1 2 1 2 1 22 2 cos 3F F PF PF PF PF PF PF π∴ = + − ⋅ − ⋅ 1 216 3 PF PF= − ⋅ 4= 1 2 4P PF F∴ ⋅ = 1 2 1 2 1 1 3sin 4 32 3 2 2PF FS PF PF π ∆∴ = ⋅ = × × = 3 xOy 2 2 2 2 1 0 , 0)x y a ba b − = > >（ x直线 ， 与双曲线的渐近线交于 两点，且三角形 为等腰直角三角形，若双曲线的 顶点到它的渐近线的距离为 ，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形 为等腰直角三角形，可得 ，可 得 ，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，进而可得到所求双曲线的方 程． 【详解】解：设双曲线 的右焦点为 ，双曲线的渐近线方程为 ， 由三角形 为等腰直角三角形， 可得 ， 则 ，即 ， 则双曲线的渐近线方程为 ， 设双曲线的方程为 ， 则 ，可得 ， 所以双曲线的方程为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用， 考查方程思想和运算能力，属于中档题． 15.如图，已知 和 均为等边三角形，它们的边长分别 ，抛物线 恰好经过点 ，则 _________. l l A B、 ABO 2 2 2 14 4 x y− = ABO 90AOB °∠ = a b= a 2 2 2 2 1x y a b − = (c,0) 0bx ay± = ABO 90AOB °∠ = 2 2 1b a − = − a b= y x= ± 2 2 2x y a− = 2 2 a = 2a = 2 2 14 4 x y− = 2 2 14 4 x y− = OAP∆ ABQ∆ ,m n ( )2 2 0y px p= > ,P Q m n =【答案】 【解析】 分析】 根据已知写出 坐标，代入抛物线方程，即可求出结果． 【详解】解：由已知 ， 得 ， 因为抛物线 恰好经过点 ， ，两式相除可得 ， 设 ，则 ， 解得： ，即 ． 故答案 ： ． 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换 元法可以将复杂计算简单化，难度不大． 16.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，当 【 为 1 2 ,P Q ( ,0), ( ,0)A m B m n+ 3 3( , ), ( , )2 2 2 2 m m n nP Q m− + ( )2 2 0y px p= > ,P Q 2 2 3 22 2 3 22 2 m mp n np m   − = ⋅   ∴    = ⋅ +        2 2 2 m m n m n = + ( 0)m t tn = > 2 2 1 tt t = + 1 2t = m n = 1 2 1 2 xOy 2 2: 14 xC y+ = l ,A B O到直线 的距离为 1 时，则 面积的最大值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】 首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于 的 一元二次方程，由弦长公式求得 长度，利用二次函数求 长度最值，最后写出 的面积． 【详解】解：当直线 斜率不存在时，直线 的方程为： ， 不妨取 来计算， 将 代入椭圆方程得： ， ； 当直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ， 当 到直线 的距离 ， 整理得 ， 联立 ，消去 得 ， ， 设 ，则 ， AB OAB∆ x AB AB OAB∆ l l 1x = ± 1x = 1x = 3 2y = ± 3AB\ = l l y kx m= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y O AB 2 1 1 m k = + 2 2 1m k= + 2 24 4x y y kx m  + =  = + y ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 8 4 4 1 4 1 4 km mx x x xk k −∴ + = − =+ + ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 8 16 16| | 1 4 1 1 4 1 4 km mAB k x x x x k k k    − = + + − + − + +=        ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 64 16 16 1 4 64 16 161 1 1 4 1 4 k m m k k mk k k k − − + + −+ = + + + = ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 264 16 16 48 1 1 1 1 4 1 4 k k k k k k k+ − + = + = + + + ⋅ 2 , )4 ( 11 tk t= >+ 2 1 4k t −=， 当 ，即 时， 取最大值 4， 综上， 的最大值为 2， 面积的最大值为 ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力 要求较高，是中档题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 82 分） 17.在平面直角坐标系 中，若双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，直 线 交双曲线于 两点，连结 . （1）求双曲线方程； （2）求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线 的渐近线方程为 ， 设双曲线的方程为： ， 将点 代入双曲线方程得 ， 所以双曲线的方程为： ( )2 2 2 2 2 48 1 3( 1) 9 6 3| | 3 1 1 34 4 ( 1) 4t t t AB t t t t t t ⋅ + −= = = − + − − ⋅  ⋅ + + = − − + 3 1t = 3t = 2AB AB OAB∴∆ 1 1 2 12 × × = xOy D 3y x= ± (2,3) : 2l y x= − ,A B ,OA OB OA OB⋅  2 2 13 yx − = 1OA OB⋅ =  D 3y x= ± 2 2 3 yx k− = (2,3) 1k = 2 2 13 yx − =（2）联立 得 设 ， 则 ， ∴ ． 【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用， 注意，以 为渐进线的双曲线系方程可设为 ， 为参数且 不为 0． 18.已知抛物线 ，直线 与抛物线交于 两点， 是抛物线准 线上的点，连结 . （1）若 ，求 长； （2）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将直线方程和抛物线方程联立，求出 ，利用弦长公式 即可求出 结果； （2）将直线方程和抛物线方程联立，求出 的中点为 的坐标，利用 ，斜率乘 积为-1，列方程求解即可． 【详解】解（1）设 联立 ，得 则 ， 2 2 2 13 y x yx = − − = 22 4 7 0x x+ − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 72 , 2x x x x+ = − = − ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 7 92 2 2 4 4 42 2y y x x x x x x= − − = − + + = − + + = 1 2 1 2 7 9 12 2OA OB x x y y⋅ = + = − + =  ( 0, 0)my x m nn = ± > > 2 2 2 2 y x m n λ− = λ 2: 4C y x= :l y x m= + ,A B ( 1,6)P − ,PA PB 1m = − AB PAB∆ ,PA PB m 8AB = 1m = − 1 2x x+ 1 2AB x x p= + + AB M PM AB⊥ ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 1 4 y x y x = −  = 2 6 1 0x x− + = 1 2 6x x+ =则 . （2）设 ， 的中点为 联立 ，得 则 ，则 则 . 又 是以 为腰的等腰三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ . 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率 乘积为-1，是中档题． 19.已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且不与 轴垂直的 动直线 与椭圆交于 两点，点 是椭圆 右准线上一点，连结 ，当点 为右 准线与 轴交点时，有 . （1）求椭圆 的离心率； （2）当点 的坐标为 时，求直线 与直线 的斜率之和. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】 （1）由 ，建立关于 的关系式，变形即可求出离心率； （2）先根据点 的坐标求出椭圆方程，设出直线 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式， 计算 ，整理可得结果． 1 2 6 2 82 2 p pAB AF BF x x= + = + + + = + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB M 2 4 y x m y x = +  = 2 4 4 0y y m− + = 1 2 4y y+ = 1 2 22M y yy += = (2 ,2)M m− PAB∆ ,PA PB PM AB⊥ 1PM ABk k⋅ = − 4 1 13 m × = −− + 1m = − 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2F x l ,M N P C ,PM PN P x 2 1 22PF F F= C P (2,1) PM PN 2 2e = 2 1 22PF F F= ,a c P l PM PNk k+【详解】解（1）由已知当 为右准线与 轴交点时，有 ∴ ∴ ∴ 又 ，∴ . （2）∵ ，∴ 又 ，∴ ，∴ ∴椭圆 . 设直线 ： ， 联立 ，得 则 ， ∴ 将 代入得 P x 2 1 22PF F F= 2 2 2a c cc  − =   2 22c a= 2 1 2e = (0,1)e∈ 2 2e = (2,1)P 2 2a c = 2 22a c= 2 2 2 1 a c  =  = 2 1b = 2 2: 12 xC y+ = l ( 1)y k x= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 2 2 ( 1) 2 2 y k x x y = −  + = ( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 k kx x x xk k −+ = =+ + ( ) ( )1 21 2 1 2 1 2 1 1 1 11 1 2 2 2 2PM PN k x k xy yk k x x x x − − − −− −+ + = +− − − −= ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 k x k k x k x x − − + − − += +− − 1 2 1 2 1 1 1 12 ( 1)2 2 2 2 k kk k k kx x x x  − −= + + + = + − + − − − −  ( )( )1 2 1 2 42 ( 1) 2 2 x xk k x x  + −= + −   − −  ( )1 2 1 2 1 2 42 ( 1) 2 4 x xk k x x x x  + −= + −   − + +  2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 k kx x x xk k −+ = =+ +. ∴直线 与直线 的斜率之和为 2. 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算， 对学生计算能力要求较高，难度比较大． 20.如图，马路 南边有一小池塘，池塘岸 长 40 米，池塘的最远端 到 的距离为 400 米， 且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 ，且 均与小池塘岸线相切，记 . （1）求小路的总长，用 表示； （2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时， 的值. 【答案】（1） （2）当 时，所 需铺草坪面积最小 【解析】 【分析】 （1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线 的方程， 和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出 的坐标，表示出 ，变形即 可得结果； （2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用 基本不等式求出最值． 【详解】解：（1）以 为原点， 所在直线为 轴，过点 作垂直于 轴的直线为 轴， ( )1 2 1 2 1 2 42 ( 1) 2 ( 1) ( 2) 22 4PM PN x xk k k k k kx x x x  + −+ = + − = + − × − =  − + +  PM PN l MN O l , ,AB BC CD , ,AB BC CD BAD θ∠ = θ tanθ tan 800 (0 tan 40)2 sinAB BC CD θ θθ+ + = + < < tan 20 2θ = AB ,B C AB BC CD+ + O BC x O x y建立直角坐标系，所以 ， 因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为 ， 因为 是曲线上一点， 所以 ，即抛物线方程为 . 设 所在的直线方程： ， 联立 ，即 ， 因为 与抛物线相切， 所以 ①. 记直线 与抛物线切于点 ， 所以 点的横坐标为 ，即 . 易得点 ，点 ，由对称性可知 ，点 . 所以小路总长为 ， 由①及 可知 ； （2）记草坪面积为 ，梯形面积为 ，小池塘面积为 ， ( 20,400) , (20,400)M N− 2 2 ( 0)x py p= > ( 20,400)M − 1 2p = 2y x= AB ( tan )y kx t k θ= + = 2 y kx t y x = +  = 2 0x kx t− − = AB 2 4 0k t∆ = + = AB Q Q (0,20)2 k ∈ (0,40)k ∈ ,0tB k  −   400 ,400tA k −     ,0tC k      400 ,400tD k − −   2 24002 2 400tAB BC CD k k  + + = − + +   tanθk = 2 2400 tan 8002 400 (0 tan 40t 2 an ta inn )2 sAB BC CD θ θ θ θθ  + + = + + = + < ,A B C ,M N C ,A B , ,AM BN MN BN AM C MN 2 2 14 3 x y+ = , ,a b c ,AM AN ,M N MN 2 2 2 2 3 c a c =  = + 2 1 a c =  = C 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y : ( 2)AM y k x= + 2 2 ( 2) 3 4 12 0 y k x x y = +  + − = ( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ + + − = 2 2 1 12 2 16 12 16,3 4 3 4A A k kx x x xk k − −⋅ = + =+ +所以 ，代入直线 ，得 ， 所以点 ， 设直线 ， ，即 所以 ， 所以 ，代入直线 ，得 所以点 ， 当 斜率不存在时， ， 解得 ，此时 ，直线 过点 ； 当 斜率存在时， 所以 ， 直线 ， 所以直线恒过定点 ． 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和点斜式方程，求出直线过定点， 对学生计算能力要求较高，难度比较大． 22.已知椭圆 经过点 ， 是 的一个焦点，过 点的 动直线 交椭圆于 两点. （1）求椭圆 的方程； 2 1 2 6 8 3 4 kx k −= + : ( 2)AM y k x= + 2 12 3 4 ky k = + 2 2 2 6 8 12,3 4 3 4 k kM k k  −  + +  : 3 ( 2)BN y k x= − 2 2 3 ( 2) 3 4 12 0 y k x x y = −  + − = ( )2 2 2 21 12 48 48 4 0k x k x k+ − + − = 2 2 2 22 2 48 4 48 1 12 1 12B B k kx x x xk k −⋅ = + =+ + 2 2 2 24 2 1 12 kx k −= + : 3 ( 2)BN y k x= − 2 12 1 12 ky k −= + 2 2 2 24 2 12,1 12 1 12 k kN k k  − −  + +  MN 2 2 2 2 6 8 24 2 3 4 1 12 k k k k − −=+ + 2 1 4k = 1 2 1x x= = MN (1,0) MN 2 2 2 2 2 2 2 12 12 43 4 1 12 6 8 24 2 1 4 3 4 1 12 MN k k kk kk k k k k k ++ += =− − −−+ + 2 2 2 2 2 4 6 8 12 4: ( 1)1 4 3 4 3 4 1 4 k k k kMN y x xk k k k  −= − + = − − + + −  (1,0) 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b + = > > 2( ,1)2 (0,1)F C F l ,A B C（2）是否存在定点 （异于点 ），对任意的动直线 （斜率存在）都有 ，若 存在求出点 的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在这样的定点 ，坐标为 ，详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题目条件列出关于 的方程，解出即可； （2）设出点 ，联立直线 和椭圆 ，将 用韦达定理和斜率公式变形整 理，利用恒成立的意义，即可求出点 的坐标． 详解】解（1）由题意得 ， 所以 ， 即椭圆 的方程为： . （2）假设存在这样的点 ，设点 ，点 ， 设直线 ， 联立 ，消去 得 ， 所以 . 因为 ， ， ， 【 M F l 0MA MBk k+ = M 2 2 12 y x+ = M ( )0,2 , ,a b c , ,M A B l C 0MA MBk k+ = M 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 c a b a b c =   + =  = +  2 1 a b  = = C 2 2 12 y x+ = M ( )0 0,M x y ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y : 1l y kx= + 2 2 1 2 2 0 y kx y x = +  + − = y ( )2 22 2 1 0k x kx+ + − = 1 2 1 22 2 2 1,2 2 kx x x xk k − −+ = ⋅ =+ + 0 1 0 2 0 1 0 2 0MA MB y y y yk k x x x x − −+ = + =− − ( )( ) ( )( )0 1 00 2 2 0 1 0y y x x y y x x∴ − − + − − = ( )0 0 0 1 2 0 1 2 1 2 12( )2 0y x y x x x y y y x y x∴ − + − + + + =， ， 整理得： . 因为任意的直线 （斜率存在）都成立， 所以 ，解得 ， 所以存在这样的定点 ，坐标为 . 【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对条件等式变形，对学 生计算能力要求较高，难度比较大． ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 2 0 1 1 1 2 2 102 2 01 1y x y x x x k x x kx x kx x ∴ − + − + + + + + + = ( )( )0 0 0 0 0 1 2 1 22 2 1 2 0y x x y x k x x kx x∴ − − + − + + = ( )0 0 0 0 0 2 2 2 1 22 2 02 2 k y x k ky x x k k + −∴ − + − =+ + ( )2 0 0 0 0 0 02 2 4 4 4 0x y k y k x y x+ − + − = l 0 0 0 0 0 0 2 0 2 4 0 4 4 0 x y y x y x =  − =  − = 0 0 0 2 x y =  = M ( )0,2