2010-2019十年高考数学真题分类汇编05三角函数（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 05 三角函数 1.(2019·全国 2·理 T10 文 T11)已知 α∈ 0,π 2 ,2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=(  ) A.1 5 B. 5 5 C. 3 3 D.2 5 5 【答案】B 【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cos2α. ∵α∈（0,π 2）,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又 sin2α+cos2α=1, ∴5sin2α=1,即 sin2α=1 5. ∵sin α>0,∴sin α= 5 5 . 故选 B. 2.(2019·全国 2·文 T8)若 x1=π 4,x2=3π 4 是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则 ω=(  ) A.2 B.3 2 C.1 D.1 2 【答案】A 【解析】由题意,得 f(x)=sin ωx 的周期 T=2π ω =2 3π 4 ― π 4 =π,解得 ω=2,故选 A. 3.(2019·全国 2·理 T9)下列函数中,以π 2为周期且在区间 π 4,π 2 单调递增的是(  ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】y=|cos 2x|的图象为 ,由图知 y=|cos 2x|的周期为π 2,且在区间（π 4,π 2）内单调 递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为 ,由图知它的周期为π 2,但在区间（π 4,π 2）内单调递 减 , 不 符 合 题 意 ; 因 为 y=cos|x|=cos x, 所 以 它 的 周 期 为 2π, 不 符 合 题 意 ;y=sin |x| 的 图 象 为 2 ,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选 A. 4.(2019·天津·理 T7)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0)在区间[0,2π]上有且仅有 5 个零点, ∴5π≤2πω+π 5a D.c>a>b 【答案】C 【解析】∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,c=tan 35°=sin35° cos35°, ∴sin35° cos35°>sin 35°>sin 33°.∴c>b>a.故选 C. 46.(2014·全国 1·文 T7)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos(2x + π 6),④y=tan(2x - π 4)中,最小正周 期为 π 的所有函数为(  ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 【答案】A 【解析】由于 y=cos|2x|=cos 2x,所以该函数的周期为2π 2 =π;由函数 y=|cos x|的图象易知其周期为 π;函数 y=cos(2x + π 6)的周期为2π 2 =π;函数 y=tan（2x-π 4）的周期为π 2,故最小正周期为 π 的函数是①②③,故选 A. 47.(2014·全国 1·理 T6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终 边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在 [0,π]的图象大致为(  ) 【答案】C 【解析】由题意知|OM|=|cos x|,f(x)=|OM||sin x|=|sin xcos x|=1 2|sin 2x|,由此可知 C 项中图符合.故 选 C. 48.(2014·浙江·理 T4)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象 (  ) A.向右平移π 4个单位 B.向左平移π 4个单位 C.向右平移 π 12个单位 D.向左平移 π 12个单位 【答案】C 【解析】y=sin 3x+cos 3x= 2cos(3푥 - π 4) = 2cos[3(푥 - π 12)],因此需将函数 y= 2cos 3x 的图象向右平移 π 12个单位.故选 C. 16 49.(2013·浙江·理 T6)已知 α∈R,sin α+2cos α= 10 2 ,则 tan 2α=(  ) A.4 3 B.3 4 C.-3 4 D.-4 3 【答案】C 【解析】由 sin α+2cos α= 10 2 ,得 sin α= 10 2 -2cos α. ① 把①式代入 sin2α+cos2α=1 中可解出 cos α= 10 10 或 cos α=3 10 10 , 当 cos α= 10 10 时,sin α=3 10 10 ; 当 cos α=3 10 10 时,sin α=- 10 10 . ∴tan α=3 或 tan α=-1 3,∴tan 2α=-3 4. 50.(2013·大纲全国·文 T2)已知 α 是第二象限角,sin α= 5 13,则 cos α=(  ) A.-12 13 B.- 5 13 C. 5 13 D.12 13 【答案】A 【解析】∵α 是第二象限角,∴cos α=- 1 - sin2훼=- 1 - ( 5 13)2 =-12 13.故选 A. 51.(2013·广东·文 T4)已知 sin(5π 2 + α) = 1 5,那么 cos α=(  ) A.-2 5 B.-1 5 C.1 5 D.2 5 【答案】C 【解析】∵sin(5π 2 + 훼)=sin(π 2 + 훼)=cos α=1 5, ∴cos α=1 5. 52.(2013·全国 2·文 T6)已知 sin 2α=2 3,则 cos2(α + π 4)=(  ) A.1 6 B.1 3 C.1 2 D.2 3 【答案】A 【解析】由降幂公式变形,可得 cos2(훼 + π 4) = 1 + cos(2훼 + π 2) 2 = 1 - sin2훼 2 = 1 - 2 3 2 = 1 6. 17 53.(2012·全国·理 T9)已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx + π 4)在(π 2,π)单调递减,则 ω 的取值范围是 (  ) A.[1 2,5 4] B.[1 2,3 4] C.(0,1 2] D.(0,2] 【答案】A 【解析】结合 y=si n ωx 的图象可知 y=sin ωx 在[ π 2휔,3π 2휔]单调递减,而 y=sin（ωx+π 4）=sin[ω（x+ π 4휔）], 可知y=sin ωx的图象向左平移 π 4휔个单位之后可得y=sin(휔푥 + π 4)的图象,故y=sin(휔푥 + π 4)在[ π 4휔,5π 4휔]单调递 减,故应有[π 2,π] ⊆ [ π 4휔,5π 4휔],解得1 2≤ω≤5 4. 54.(2012·全国·文 T9)已知 ω>0,0