2010-2019十年高考数学真题分类汇编06平面向量（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 06 平面向量 1.(2019·全国 2·文 T3)已知向量 a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　) A. 2 B.2 C.5 2 D.50 【答案】A 【解析】由题意,得 a-b=(-1,1),则|a-b|= ( - 1)2 + 12 = 2,故选 A. 2.(2019·全国·1 理 T7 文 T8)已知非零向量 a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则 a 与 b 的夹角为(　　) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 【答案】B 【解析】因为(a-b)⊥b, 所以(a-b)·b=a·b-b2=0, 所以 a·b=b2. 所以 cos= a·b |a|·|b| = |b|2 2|b|2 = 1 2, 所以 a 与 b 的夹角为π 3,故选 B. 3.(2018·全国 1·理 T6 文 T7)在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则EB=(　　) A.3 4AB ― 1 4AC B.1 4AB ― 3 4AC C.3 4AB + 1 4AC D.1 4AB + 3 4AC 【答案】A 【解析】如图,EB=-BE =-1 2(BA + BD) =1 2AB ― 1 4BC =1 2AB ― 1 4(AC ― AB) =3 4AB ― 1 4AC. 4.(2018·全国 2·T4)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1,则 a·(2a-b)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】B2 【解析】a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 5.(2018·北京·理 T6)设 a,b 均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2. ∵a,b 均为单位向量,∴1-6a·b+9=9+6a·b+1. ∴a·b=0,故 a⊥b,反之也成立.故选 C. 6.(2018·浙江·T9)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为 π 3,向量 b 满足 b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　) A. 3-1 B. 3+1 C.2 D.2- 3 【答案】A 【解析】∵b2-4e·b+3=0,∴(b-2e)2=1,∴|b-2e|=1. 如图所示,平移 a,b,e,使它们有相同的起点 O,以 O 为原点,向量 e 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 b 的终点在以点(2,0)为圆心,半径为 1 的圆上,|a-b|就是线段 AB 的长度.要求|AB|的最小值,就是求圆上动点 到定直线的距离的最小值,也就是圆心 M 到直线 OA 的距离减去圆的半径长,因此|a-b|的最小值为-1. 7.(2018·天津·理 T8)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点 E 为边 CD 上的动点,则 A.21 16 B.3 2 C.25 16 D.33 【答案】A 【解析】如图,以 D 为坐标原点建立直角坐标系.连接 AC,由题意知∠CAD=∠CAB=60°,∠ACD=∠ACB=30°, 则 D(0,0),A(1,0),B（3 2, 3 2 ）,C(0, 3).设 E(0,y)(0≤y≤ 3),则AE=(-1,y),BE=（-3 2,y- 3 2 ）,∴AE·BE = 3 2 +y2- 3 2 y=（y- 3 4 ）2+21 16,∴当 y= 3 4 时,AE·BE有最小值21 16. 8.(2018·天津·文 T8)在如图的平面图形中,已知 OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的 值为(　　) A.-15 B.-9 C.-6 D.0 【答案】C 【解析】连接 MN,∵BM=2MA,CN=2NA,∴AC=3AN,AB=3AM.∴MN∥BC,且MN BC = 1 3,∴BC=3MN=3(ON ― OM), ∴BC·OM=3(ON ― OM)·OM=3(ON·OM-|OM|2)=3[2 × 1 × ( - 1 2) - 1]=-6. 9.(2017·全国 2·理 T12)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形,P 为平面 ABC 内一点,则PA·(PB + PC)的最 小值是(　　) A.-2 B.-3 2 C.-4 3 D.-1 【答案】B 【解析】以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.4 可知 A(0, 3),B(-1,0),C(1,0). 设 P(x,y),则PA=(-x, 3-y),PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y). 所以PB + PC=(-2x,-2y). 所以PA·(PB + PC)=2x2-2y( 3-y)=2x2+2(y - 3 2 )2 ― 3 2≥-3 2. 当点 P 的坐标为(0, 3 2 )时,PA·(PB + PC)取得最小值为-3 2,故选 10.(2017·全国 3·理 T12)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP=λ AB+μAD,则 λ+μ 的最大值为(　　) A.3 B.2 2 C. 5 D.2 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系, 则 A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设 P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得 r=|BC|·|CD| |BD| = 2 × 1 5 = 2 5 5 ,即圆的方程是(x-2)2+y2=4 5. 易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0). 由AP=λAB+μAD, 得{x = 2μ, y - 1 = -λ,所以 μ=x 2,λ=1-y, 所以 λ+μ=1 2x-y+1. 设 z=1 2x-y+1,即1 2x-y+1-z=0. 因为点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2=4 5上, 所以圆心 C 到直线1 2x-y+1-z=0 的距离 d≤r, 即|2 - z| 1 4 + 1 ≤ 2 5 5 ,解得 1≤z≤3, 11.(2017·全国 2·文 T4)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则(　　)5 A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 【答案】A 【解析】由|a+b|=|a-b|,平方得 a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即 a·b=0.又 a,b 为非零向量,故 a⊥b,故选 A. 12.(2016·四川·文 T9)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3,平面 ABC 内的动点 P,M 满足|AP|=1,PM = MC,则| BM|2 的最大值是(　　) A.43 4 B.49 4 C.37 + 6 3 4 D.37 + 2 33 4 【答案】B 【解析】设△ABC 的外心为 D,则|DA|=|DB|=|DC|=2. 以 D 为原点,直线 DA 为 x 轴,过 D 点的 DA 的垂线 为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(2,0),B(-1,- 3),C(-1, 3). 设 P(x,y),由已知|AP|=1,得(x-2)2+y2=1, ∵PM = MC,∴M(x - 1 2 ,y + 3 2 ). ∴BM = (x + 1 2 ,y + 3 3 2 ). ∴BM2 = (x + 1)2 + (y + 3 3)2 4 , 它 表 示 圆 (x-2)2+y2=1 上 点 (x,y) 与 点 (-1,-3 3)距离平方的1 4, ∴(|BM|2)max=1 4[ 32 + (0 + 3 3)2+1]2=49 4 , 故选 B. 13.(2016·天津·文 T7)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点,连接 DE 并延 长到点 F,使得 DE=2EF,则AF·BC的值为 (　　) A.-5 8 B.1 8 C.1 4 D.11 8 【答案】B 【解析】方法 1(基向量法):如图所示,选取AB,AC为基底,则AF = AB + BE + EF = AB + 1 2BC + 1 2DE = AB + 1 2( AC ― AB)+1 2 × 1 2AC = 1 2AB + 3 4AC,BC = AC ― AB.6 故AF·BC=（1 2AB + 3 4AC）·(AC ― AB) =3 4AC2 ― 1 4AC·AB ― 1 2AB2 = 3 4 ― 1 4×1×1×1 2 ― 1 2 = 1 8. 14.(2016·全国 2·理 T3)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m=(　　) A.-8 B.-6 C.6 D.8 【答案】D 【解析】由题意可知,向量 a+b=(4,m-2).由(a+b)⊥b,得 4×3+(m-2)×(-2)=0,解得 m=8.故选 D. 15.(2015·全国 2·文 T4)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】C 【解析】由已知 2a+b=(1,0), 所以(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1.故选 C. 16.(2015·福建·文 T7)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c,则实数 k 的值等于(　　) A.-3 2 B.-5 3 C.5 3 D.3 2 【答案】A 【解析】∵a=(1,2),b=(1,1),∴c=(1+k,2+k). ∵b⊥c,∴b·c=1+k+2+k=0.∴k=-3 2 17.(2015·广东·文 T9)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1), 则AD·AC=(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】AC = AB + AD=(3,-1), 所以AD·AC=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5. 18.(2015·山东·理 T4)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则BD·CD=(　　) A.-3 2a2 B.-3 4a2 C.3 4a2 D.3 2a2 【答案】D7 【解析】如图,设BA=a,BC=b. 则BD·CD=(BA + BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos 60°=a2+1 2a2=3 2a2. 19.(2015·四川·理 T7)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点 M,N 满足BM=3MC,DN=2NC,则 AM·NM=(　　) A.20 B.15 C.9 D.6 【答案】C 【解析】如图所示,AM = AB + BM = AB + 3 4AD,NM = 1 3AB ― 1 4AD, 所以AM·NM=(AB + 3 4AD)·（1 3AB ― 1 4AD） =1 3|AB|2- 3 16|AD|2+1 4AB·AD ― 1 4AB·AD =1 3×36- 3 16×16=9. 20.(2015·福建·理 T9)已知AB ⊥ AC,|AB|=1 t,|AC|=t.若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP = AB |AB| + 4AC |AC|,则PB·PC的最大值等于(　　) A.13 B.15 C.19 D.21 【答案】A 【解析】以点 A 为原点,AB,AC所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,如图. 则 A(0,0),B(1 t,0),C(0,t), ∴ AB |AB|=(1,0), AC |AC|=(0,1). ∴AP = AB |AB| + 4AC |AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4). ∴点 P 的坐标为(1,4),PB = (1 t - 1, - 4),PC=(-1,t-4). ∴PB·PC=1-1 t-4t+16=-(1 t + 4t)+17≤-4+17=13,当且仅当1 t=4t,即 t=1 2时 取“=”. ∴PB·PC的最大值为 13.8 21.(2015·全国 1·文 T2)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=(　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 【答案】A 【解析】∵AB = OB ― OA=(3,1),AC=(-4,-3), ∴BC = AC ― AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 22.(2015·重庆·理 T6)若非零向量 a,b 满足|a|=2 2 3 |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为 (　　) A.π 4 B.π 2 C.3π 4 D.π 【答案】A 【 解 析 】 由 (a-b) ⊥ (3a+2b) 知 (a-b)·(3a+2b)=0, 即 3|a|2-a·b-2|b|2=0. 设 a 与 b 的 夹 角 为 θ, 则 3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0,即 3·(2 2 3 |b|)2 ― 2 2 3 |b|2cos θ-2|b|2=0,整理,得 cos θ= 2 2 .故 θ=π 4. 23.(2015·重庆·文 T7)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为(　　) A.π 3 B.π 2 C.2π 3 D.5π 6 【答案】C 【解析】因为 a⊥(2a+b),所以 a·(2a+b)=0, 即 2|a|2+a·b=0. 设 a 与 b 的夹角为 θ,则有 2|a|2+|a||b|cos θ=0. 又|b|=4|a|,所以 2|a|2+4|a|2cos θ=0, 则 cos θ=-1 2,从而 θ=2π 3 . 24.(2015·全国 1·理 T7)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则(　　) A.AD=-1 3AB + 4 3AC B.AD = 1 3AB ― 4 3AC C.AD = 4 3AB + 1 3AC D.AD = 4 3AB ― 1 3AC 【答案】A 【解析】如图,9 ∵AD = AB + BD,BC=3CD, ∴AD = AB + 4 3BC = AB + 4 3(AC ― AB) =-1 3AB + 4 3AC. 25.(2014·全国 1·文 T6)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB + FC=(　　) A.AD B.1 2AD C.BC D.1 2BC 【答案】A 【 解 析 】 EB + FC=-1 2(BA + BC)-1 2(CA + CB)=-1 2(BA + CA)=1 2(AB + AC)=1 2×2 AD = AD,故选 A. 26.(2014·山东·文 T7)已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角为π 6,则实数 m=(　　) A.2 3 B. 3 C.0 D.- 3 【答案】B 【解析】∵cos= a·b |a||b|, ∴cosπ 6 = 3 + 3m 2 × 32 + m2,解得 m= 3. 27.(2014·北京·文 T3)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=(　　) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【答案】A 【解析】2a-b=(4-(-1),8-1)=(5,7).故选 A. 28.(2014·广东·文 T3)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=(　　) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 【答案】B 【解析】由题意得 b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选 B. 29.(2014·福建·理 T8)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)10 【答案】B 【解析】对于 A,C,D,都有 e1∥e2,故选 B. 30.(2014·全国 2·理 T3 文 T4)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A 【解析】∵|a+b|= 10,∴(a+b)2=10. ∴|a|2+|b|2+2a·b=10, ① ∵|a-b|= 6,∴(a-b)2=6, ∴|a|2+|b|2-2a·b=6, ② 由①-②得 a·b=1,故选 A. 31.(2014·大纲全国·文 T6)已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】由已知得|a|=|b|=1,=60°, ∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos-|b|2 =2×1×1×cos 60°-12=0,故选 B. 32.(2014·大纲全国·理 T4)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=(　　) A.2 B. 2 C.1 D. 2 2 【答案】B 【解析】∵(a+b)⊥a,|a|=1, ∴(a+b)·a=0.∴|a|2+a·b=0.∴a·b=-1. 又(2a+b)⊥b,∴(2a+b)·b=0.∴2a·b+|b|2=0. ∴|b|2=2.∴|b|= 2.故选 B. 33.(2014·重庆·理 T4)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数 k=(　　) A.-9 2 B.0 C.3 D.15 2 【答案】C 【解析】由已知(2a-3b)⊥c,可得(2a-3b)·c=0, 即(2k-3,-6)·(2,1)=0,展开化简,得 4k-12=0, 所以 k=3.故选 C.11 34.(2012·陕西·文 T7)设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于(　　) A. 2 2 B.1 2 C.0 D.-1 【答案】C 【解析】∵a⊥b,∴a·b=0, ∴-1+2cos2θ=0,即 cos 2θ=0. 35.(2012·重庆·理 T6)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|= (　　) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10 【答案】B 【 解 析 】 由 a ⊥ c, 得 a·c=2x-4=0, 解 得 x=2. 由 b ∥ c 得 1 2 = y -4, 解 得 y=-2, 所 以 a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),|a+b|= 10.故选 B. 36.(2010·全国·文 T2)a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于(　　) A. 8 65 B.- 8 65 C.16 65 D.-16 65 【答案】C 【解析】b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12), 因此 cos= a·b |a||b| = 16 5 × 13 = 16 65. 37.(2019·全国 3·文 T13)已知向量 a=(2,2),b=(-8,6),则 cos=　. 【答案】 ― 2 10 【解析】cos= a·b |a||b| = 2 × ( - 8) + 2 × 6 22 + 22 × ( - 8)2 + 62 = -4 2 2 × 10=- 2 10. 38.(2019·北京·文 T9)已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 a⊥b,则 m=　　. 【答案】8 【解析】∵a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b, ∴a·b=0,即-4×6+3m=0,即 m=8. 39.(2019·天津·T14)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,∠A=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE=BE,则BD·AE=　　　　. 【答案】-1 【解析】∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°. ∵EA=EB,∴∠EAB=30°. ∠AEB=120°.12 在△AEB 中,EA=EB=2, BD·AE=(BA + AD)·(AB·BE) =-BA2 + BA·BE + AD·AB + AD·BE =-12+2 3×2×cos 30°+5×2 3×cos 30°+5×2×cos 180°=-22+6+15=-1. 40.(2019·全国 3·理 T13)已知 a,b 为单位向量,且 a·b=0,若 c=2a- 5b,则 cos= 　. 【答案】2 3 【解析】∵a,b 为单位向量, ∴|a|=|b|=1. 又 a·b=0,c=2a- 5b, ∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4 5a·b=9,∴|c|=3. 又 a·c=2|a|2- 5a·b=2, ∴cos= a·c |a|·|c| = 2 1 × 3 = 2 3. 41.(2019·浙江·T17)已知正方形 ABCD 的边长为 1.当每个 λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1 时,|λ1AB+λ2BC +λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小值是　　,最大值是 　. 【答案】0 2 5 【解析】(基向量处理) λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD=(λ1-λ3+λ5-λ6)AB+(λ2-λ4+λ5+λ6)AD, 要 使 |λ1AB+λ2BC +λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|的最小,只需要|λ1-λ3+λ5-λ6|=|λ2-λ4+λ5+λ6|=0, 此时只需要取λ1=1,λ2=-1,λ3=1,λ4=1,λ5=1,λ6=1,此时|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|min=0, 由于 λ5AC+λ6BD=±2AB或±2AD,取其中的一种 λ5AC+λ6BD=2AB讨论(其他三种类同),此时 λ1AB+λ2BC +λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD=(λ1-λ3+2)AB+(λ2-λ4)AD,要使|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD| 的最大,只需要使|λ1-λ3+2|,|λ2-λ4|最大,取 λ1=1,λ2=1,λ3=-1,λ4=-1,此时|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4 DA+λ5AC+λ6BD|=|4AB+2AD|=2 5,综合几种情况可得|λ1AB+λ2BC+λ3CD+λ4DA+λ5AC+λ6BD|max=2 5. 42.(2019·江苏·T12)如图,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E 在边 AB 上,BE=2EA,AD 与 CE 交于点 O.若AB·AC=6 AO·EC,则AB AC的值是 　. 13 【答案】 3 【解析】如图,过点 D 作 DF∥CE,交 AB 于点 F, 由 BE=2EA,D 为 BC 中点,知 BF=FE=EA,AO=OD. 又AB·AC=6AO·EC =3AD·(AC ― AE) =3 2(AB + AC)·(AC - 1 3AB) =3 2（AB·AC ― 1 3AB2 + AC2 ― 1 3AB·AC） =3 2（2 3AB·AC ― 1 3AB2 + AC2） =AB·AC ― 1 2AB2 + 3 2AC2, 得1 2AB2 = 3 2AC2,即|AB|= 3|AC|,故AB AC = 3. 43.(2018·北京·文 T9)设向量 a=(1,0),b=(-1,m).若 a⊥(ma-b),则 m=　　. 【答案】-1 【解析】由题意,得 ma-b=(m+1,-m). ∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0,即 m+1=0, ∴m=-1. 44.(2018·上海·T8)在平面直角坐标系中,已知点 A(-1,0),B(2,0),E,F 是 y 轴上的两个动点,且|EF|=2,则 AE·BF的最小值为 　. 【答案】-3 【解析】依题意,设 E(0,a),F(0,b),不妨设 a>b,则 a-b=2,AE=(1,a),BF=(-2,b),a=b+2, 所以AE·BF=(1,a)·(-2,b)=-2+ab=-2+(b+2)b=b2+2b-2=(b+1)2-3, 故所求最小值为-3. 45.(2018·江苏·T2)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5,0),以 AB 为直径 的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若AB·CD=0,则点 A 的横坐标为 　. 【答案】314 【解析】设 A(a,2a)(a>0),则由圆心 C 为 AB 的中点得 C(a + 5 2 ,a),☉C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与 y=2x 联 立 解 得 xD=1,D(1,2). 因 为 AB=(5-a,-2a),CD = (1 - a + 5 2 ,2 - a),AB·CD=0, 所 以 (5-a)·(1 - a + 5 2 ) +(-2a)(2-a)=0,即 a2-2a-3=0,解得 a=3 或 a=-1. 因为 a>0,所以 a=3. 46.(2018·全国 3·T13)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若 c∥(2a+b),则 λ= 　. 【答案】1 2 【解析】2a+b=(4,2),c=(1,λ), 由 c∥(2a+b),得 4λ-2=0,得 λ=1 2. 47.(2017·全国 1·文 T13)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1),若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=　　. 【答案】7 【解析】因为 a=(-1,2),b=(m,1), 所以 a+b=(m-1,3). 因为 a+b 与 a 垂直,所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,解得 m=7. 48.(2017·山东·文 T11)已知向量 a=(2,6),b=(-1,λ).若 a∥b,则 λ=　　. 【答案】-3 【解析】∵a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 49.(2017·全国 1·理 T13)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　. 【答案】2 【解析】因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos 60°+4|b|2=22+4×2×1×1 2+4×1=12, 所以|a+2b|= 12=2 3. 50.(2017·天津,理 13 文 14)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC ― AB(λ∈R),且AD·AE =-4,则 λ 的值为 　. 【答案】 3 11 【解析】由题意,知|AB|=3,|AC|=2, AB·AC=3×2×cos 60°=3, AD = AB + BD = AB + 2 3BC = AB + 2 3(AC ― AB)=1 3AB + 2 3AC, 所以AD·AE=（1 3AB + 2 3AC）·(λAC ― AB)15 =λ - 2 3 AB·AC ― 1 3AB2 + 2λ 3 AC2 =λ - 2 3 ×3-1 3×32+2λ 3 ×22 =11 3 λ-5=-4,解得 λ= 3 11. 51.(2017·江苏·T12)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为 1,1, 2,OA与OC的夹角为 α,且 tan α=7,OB与OC的夹角为 45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则 m+n=　　. 【答案】3 【解析】由 tan α=7 可得 cos α= 1 5 2,sin α= 7 5 2, 则 1 5 2 = OA·OC |OA|·|OC| = m + nOA·OB 2 , 由 cos∠BOC= 2 2 可得 2 2 = OB·OC |OB|·|OC| = mOA·OB + n 2 , 因为 cos ∠AOB=cos (α+45°)=cos αcos 45°-sin αsin 45°= 1 5 2 × 2 2 ― 7 5 2 × 2 2 =-3 5,所以OA·OB=-3 5,所以 m-3 5n=1 5,-3 5m+n=1, 所以2 5m+2 5n=6 5,所以 m+n=3. 52.(2017·山东·理 T12)已知 e1,e2是互相垂直的单位向量,若 3 e1-e2与 e1+λe2的夹角为 60°,则实数 λ 的值是 　. 【答案】 3 3 【解析】∵e1,e2 是互相垂直的单位向量, ∴可设 a= 3e1-e2=( 3,-1),b=e1+λe2=(1,λ). 则=60°. ∴cos=cos 60°= a·b |a||b| = 3 - λ 2 λ2 + 1 = 1 2, 即 3-λ= λ2 + 1,解得 λ= 3 3 . 53.(2017·江苏·理 T13)在平面直角坐标系 xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点 P 在圆 O:x 2+y2=50 上.若 PA·PB ≤20,则点 P 的横坐标的取值范围是 　. 【答案】[-5 2,1] 【解析】设 P(x,y),由PA·PB≤20,易得 x2+y2+12x-6y≤20.把 x2+y2=50 代入 x2+y2+12x-6y≤20 得 2x-y+5≤0. 由{2x - y + 5 = 0, x2 + y2 = 50, 可得{x = -5, y = -5 或{x = 1, y = 7.由 2x-y+5≤0 表示的平面区域及 P 点在圆上,可得点 P 在圆弧 EPF 上,所以点 P 横坐标的取值范围为[-5 2,1].16 54.(2017·北京·文 T12)已知点 P 在圆 x 2+y2=1 上,点 A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则 AO·AP的最大值 为　　. 【答案】6 【解析】方法 1:设 P(cos α,sin α),α∈R,则AO=(2,0),AP=(cos α+2,sin α),AO·AP=2cos α+4. 当 α=2kπ,k∈Z 时,2cos α+4 取得最大值,最大值为 6. 故AO·AP的最大值为 6. 方法 2:设 P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,AO=(2,0),AP=(x+2,y),AO·AP=2x+4,故AO·AP的最大值为 6. 55.(2016·北京·文 T9)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为 　. 【答案】π 6 【解析】设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= a·b |a||b| = 2 3 2 × 2 = 3 2 ,且两个向量夹角范围是[0,π],∴所求的夹角为 π 6. 56.(2016·全国 1·文 T13)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x=　　. 【答案】 ― 2 3 【解析】∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0, 解得 x=-2 3. 57.(2016·山东·文 T13)已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为　　. 【答案】-5 【解析】由 a⊥(ta+b)可得 a·(ta+b)=0, 所以 ta2+a·b=0, 而 a2=12+(-1)2=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,所以有 t×2+10=0,解得 t=-5. 58.(2016·全国 2·文 T13)已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m=　　. 【答案】-6 【解析】因为 a∥b,所以-2m-4×3=0,解得 m=-6.17 59.(2016·全国 1·理 T13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=　　. 【答案】-2 【解析】∵|a+b|2=|a|2+|b|2, ∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得 m=-2. 60.(2015·浙江·文 T13)已知 e 1,e2 是平面单位向量,且 e 1·e2=1 2.若平面向量 b 满足 b·e1=b·e2=1,则 |b|= 　. 【答案】2 3 3 【解析】因为 b·e1=b·e2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知 b 在 e1,e2 方向上的投影相等,且都为 1, 所以 b 与 e1,e2 所成的角相等.由 e1·e2=1 2知 e1 与 e2 的夹角为 60°,所以 b 与 e1,e2 所成的角均为 30°,即 |b|cos 30°=1,所以|b|= 1 cos30° = 2 3 3 . 61.(2015·全国 2·理 T13)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ= 　. 【答案】1 2 【解析】由题意知存在实数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b),得{λ = t, 1 = 2t,解得 λ=1 2. 62.(2015· 北 京 · 理 T13) 在 △ABC 中 , 点 M,N 满 足 AM=2MC,BN = NC. 若 MN=xAB+yAC, 则 x= 　,y= 　. 【答案】1 2 ― 1 6 【解析】如图,∵MN = MC + CN = 1 3AC ― 1 2BC =1 3AC ― 1 2(AC ― AB) =1 2AB ― 1 6AC, ∴x=1 2,y=-1 6. 63.(2014·湖北·理 T11)设向量 a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数 λ=　　. 【答案】±3 【解析】由题意得(a+λb)·(a-λb)=0,即 a2-λ2b2=0,则 a2=λ2b2, λ2=a2 b2 = ( 32 + 32)2 [ 12 + ( - 1)2]2 = 18 2 =9.故 λ=±3. 64.(2014· 陕 西 · 理 T3) 设 0