2010-2019十年高考数学真题分类汇编09不等式（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 09 不等式 1.(2019·全国 1·理 T4 文 T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是 5 - 1 2 （ 5 - 1 2 ≈0.618,称为黄金分割比例）,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至 咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 - 1 2 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105 cm,头顶 至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是(  ) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 【答案】B 【解析】设人体脖子下端至肚脐的长度为 x cm,则26 x ≈ 5 - 1 2 ,得 x≈42.07,又其腿长 为 105 cm,所以其身高约为 42.07+105+26=173.07(cm),接近 175 cm.故选 B. 2.(2019·全国 2·理 T6)若 a>b,则(  ) A.ln(a-b)>0 B.3a0 D.|a|>|b| 【答案】C 【解析】取 a=2,b=1,满足 a>b.但 ln(a-b)=0,排除 A; ∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除 B;∵y=x3 是增函数,a>b,∴a3>b3,故 C 正确;取 a=1,b=-2,满足 a>b,但|a|4,x-ay≤2},则(  ) A.对任意实数 a,(2,1)∈A B.对任意实数 a,(2,1)∉A C.当且仅当 a 4, 2 - a ≤ 2, 化简得{a > 3 2, a ≥ 0. 即 a>3 2. 所以当且仅当 a≤3 2时,(2,1)∉A,故选 D. 7.(2017·全国 2·理 T5 文 T7)设 x,y 满足约束条件{2x + 3y - 3 ≤ 0, 2x - 3y + 3 ≥ 0, y + 3 ≥ 0, 则 z=2x+y 的最小值是(  ) A.-15 B.-9 C.1 D.9 【答案】A 【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数 z=2x+y 的几何意义,可得 z 在点 B(-6,-3) 处取得最小值,即 zmin=-12-3=-15,故选 A. 8.(2017·全国 3·文 T5)设 x,y 满足约束条件 {3x + 2y - 6 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0, 则 z=x-y 的取值范围是(  ) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 【答案】B 【解析】画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点 A(0,3)处取得最小 值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.故选 B. 4 9.(2017·全国 1·文 T7)设 x,y 满足约束条件{x + 3y ≤ 3, x - y ≥ 1, y ≥ 0, 则 z=x+y 的最大值为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由 z=x+y 得 y=-x+z.作出直线 y=-x,并平移该直线,当直 线 y=-x+z 过点 A 时,目标函数取得最大值.由图知 A(3,0),故 zmax=3+0=3. 10.(2016·北京·理 T2)若 x,y 满足{2x - y ≤ 0, x + y ≤ 3, x ≥ 0, 则 2x+y 的最大值为(  ) A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将 z=2x+y 变形为 y=-2x+z,这是斜率为-2,随 z 变化的 一族平行直线,如图,可知当 y=-2x+z 经过点 P 时,z 取最大值. 5 由{2x - y = 0, x + y = 3, 可得 P 点坐标为(1,2),故 zmax=2×1+2=4. 11.(2016·天津·理 T2)设变量 x,y 满足约束条件{x - y + 2 ≥ 0, 2x + 3y - 6 ≥ 0, 3x + 2y - 9 ≤ 0, 则目标函数 z=2x+5y 的最小值为 (  ) A.-4 B.6 C.10 D.17 【答案】B 【解析】如图,作出变量 x,y 满足约束条件表示的可行域,为三角形 ABC 及其内部,点 A,B,C 的坐标依次为 (0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将 z=2x+5y 变形为 y=-2 5x+z 5,可知当 y=-2 5x+z 5经过点 B 时,z 取最小值 6.故选 B. 12.(2016·山东·理 T4 文 T4)若变量 x,y 满足{푥 + 푦 ≤ 2, 2푥 - 3푦 ≤ 9, 푥 ≥ 0, 则 x2+y2 的最大值是(  ) A.4 B.9 C.10 D.12 【答案】C 【解析】如图,不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2 表示点(x,y) 到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选 C. 6 13.(2016·浙江·理 T3)在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影,由区域 {푥 - 2 ≤ 0, 푥 + 푦 ≥ 0, 푥 - 3푦 + 4 ≥ 0 中的点在直线 x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 AB,则|AB|=(  ) A.2 2 B.4 C.3 2 D.6 【答案】C 【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点 C,D 分别作直线 x+y-2=0 的垂线,垂足 分别为 A,B,则四边形 ABDC 为 矩形.又 D(2,-2),C(-1,1),所以 14.(2016·浙江·文 T4)若平面区域{푥 + 푦 - 3 ≥ 0, 2푥 - 푦 - 3 ≤ 0, 푥 - 2푦 + 3 ≥ 0 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线 间的距离的最小值是(  ) A.3 5 5 B. 2 C.3 2 2 D. 5 【答案】B 【解析】作出可行域,如图阴影部分所示. ∵两平行直线的斜率为 1, ∴两平行直线与直线 x+y-3=0 垂直. ∴两平行线间的最短距离是 AB 的长度. 7 由{푥 + 푦 - 3 = 0, 푥 - 2푦 + 3 = 0,得 A(1,2), 由{푥 + 푦 - 3 = 0, 2푥 - 푦 - 3 = 0,得 B(2,1). ∴|AB|= (1 - 2)2 + (2 - 1)2 = 2,故选 B. 15.(2015·浙江·文 T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不 相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为 x,y,z,且 x