2010-2019十年高考数学真题分类汇编10立体几何（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 10 立体几何 1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原 理,利用该原理可以得到柱体的体积公式 V 柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图 如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是(  ) A.158 B.162 C.182 D.324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为 6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为 4, 下底为 6,高为 3,另一个的上底为 2,下底为 6,高为 3,则该棱柱的体积为 2 + 6 2 ×3+4 + 6 2 ×3 ×6=162. 2.(2019·全国 1·理 T12)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正 三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球 O 的体积为(  ) A.8 6π B.4 6π C.2 6π D. 6π 【答案】D 【解析】设 PA=PB=PC=2x. ∵E,F 分别为 PA,AB 的中点, ∴EF∥PB,且 EF=1 2PB=x. 2 ∵△ABC 为边长为 2 的等边三角形, ∴CF= 3. 又∠CEF=90°,∴CE= 3 - 푥2,AE=1 2PA=x. 在△AEC 中,由余弦定理可知 cos∠EAC=푥2 + 4 - (3 - 푥2) 2 × 2·푥 . 作 PD⊥AC 于点 D,∵PA=PC, ∴D 为 AC 的中点,cos∠EAC=퐴퐷 푃퐴 = 1 2푥. ∴푥2 + 4 - 3 + 푥2 4푥 = 1 2푥. ∴2x2+1=2.∴x2=1 2,即 x= 2 2 . ∴PA=PB=PC= 2. 又 AB=BC=AC=2, ∴PA⊥PB⊥PC. ∴2R= 2 + 2 + 2 = 6. ∴R= 6 2 . ∴V=4 3πR3=4 3π×6 6 8 = 6π. 故选 D. 3.(2019·全国 2·理 T7 文 T7)设 α,β 为两个平面,则 α∥β 的充要条件是(  ) A.α 内有无数条直线与 β 平行 B.α 内有两条相交直线与 β 平行 C.α,β 平行于同一条直线 D.α,β 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知,“α 内有两条相交直线与 β 平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平 行的性质知,“α 内有两条相交直线与 β 平行”是“α∥β”的必要条件,故选 B. 4.(2019·全国 3·理 T8 文 T8)如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面 ECD⊥平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则(  ) A.BM=EN,且直线 BM,EN 是相交直线 3 B.BM≠EN,且直线 BM,EN 是相交直线 C.BM=EN,且直线 BM,EN 是异面直线 D.BM≠EN,且直线 BM,EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图,连接 BD,BE. 在△BDE 中,N 为 BD 的中点,M 为 DE 的中点, ∴BM,EN 是相交直线,排除选项 C、D. 作 EO⊥CD 于点 O,连接 ON. 作 MF⊥OD 于点 F,连接 BF. ∵平面 CDE⊥平面 ABCD,平面 CDE∩平面 ABCD=CD,EO⊥ CD,EO⊂平面 CDE,∴EO⊥平面 ABCD. 同理,MF⊥平面 ABCD. ∴△MFB 与△EON 均为直角三角形. 设正方形 ABCD 的边长为 2,易知 EO= 3,ON=1,MF= 3 2 ,BF= 22 + 9 4 = 5 2, 则 EN= 3 + 1=2,BM= 3 4 + 25 4 = 7, ∴BM≠EN.故选 B. 5.(2019·浙江·T8)设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱 VA 上的点(不含端点).记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 α,直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 β,二面角 P-AC-B 的平面角为 γ,则(  ) A.β