2010-2019十年高考数学真题分类汇编11直线与圆（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 11 直线与圆 一、选择题 1.(2019·全国 2·理 T11 文 T12)设 F 为双曲线 C:푥2 푎2 ― 푦2 푏2=1(a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点,以 OF 为直径 的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P,Q 两点.若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率为(  ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 【答案】A 【解析】如图,设 PQ 与 x 轴交于点 A,由对称性可知 PQ⊥x 轴. ∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=푐 2. ∴PA 为以 OF 为直径的圆的半径,A 为圆心, ∴|OA|=푐 2.∴P 푐 2,푐 2 . 又点 P 在圆 x2+y2=a2 上,∴푐2 4 + 푐2 4 =a2,即푐2 2 =a2, ∴e2=푐2 푎2=2,∴e= 2,故选 A. 2.(2018·北京·理 T7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos θ,sin θ)到直线 x-my-2=0 的距离.当 θ,m 变化时,d 的最大值为(  )                A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】设 P(x,y),则{x = cosθ, y = sinθ,x2+y2=1.即点 P 在单位圆上,点 P 到直线 x-my-2=0 的距离可转化为圆心(0,0) 到直线 x-my-2=0 的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为 d=1+ | - 2| 1 + m2=1+ 2 1 + m2. 当 m=0 时,dmax=3. 3.(2018·全国 3·理 T6 文 T8)直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,点 P 在圆(x-2)2+y2=2 上,则△ ABP 面积的取值范围是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[ 2,3 2] D.[2 2,3 2] 【答案】A 【解析】设圆心到直线 AB 的距离 d=|2 + 0 + 2| 2 =2 2. 2 点 P 到直线 AB 的距离为 d'. 易知 d-r≤d'≤d+r,即 2≤d'≤3 2. 又 AB=2 2,∴S△ABP=1 2·|AB|·d'= 2d', ∴2≤S△ABP≤6. 4.(2016·山东·文 T7)已知圆 M:x 2+y2-2ay=0(a>0)截直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2.则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是(  ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 【答案】B 【解析】圆 M 的方程可化为 x2+(y-a)2=a2,故其圆心为 M(0,a),半径 R=a. 所以圆心到直线 x+y=0 的距离 d= |0 + 푎| 12 + 12 = 2 2 a. 所以直线 x+y=0 被圆 M 所截弦长为 2 푅2 - d2=2 a2 - ( 2 2 a)2 = 2a,由题意可得 2a=2 2,故 a=2. 而|MN|= (1 - 0)2 + (1 - 2)2 = 2,显然 R-r0),所以使∠APB=90°的点 P 在以线段 AB 为直径的圆上,该圆的圆心为 O(0,0),半径为 m. 而圆 C 的圆心为 C(3,4),半径为 1. 由题意知点 P 在圆 C 上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故 m-1≤|CO|≤m+1, 即 m-1≤5≤m+1,解得 4≤m≤6. 所以 m 的最大值为 6.故选 B. 16.(2014·四川·文 T9)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x,y), 则|PA|+|PB|的取值范围是(  ) A.[ 5,2 5] B.[ 10,2 5] C.[ 10,4 5] D.[2 5,4 5] 【答案】B 【解析】由题意,得 A(0,0),B(1,3), 因为 1×m+m×(-1)=0,所以两直线垂直, 所以点 P 在以 AB 为直径的圆上,所以 PA⊥PB. 6 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, 设∠ABP=θ, 则|PA|+|PB|= 10sin θ+ 10cos θ=2 5sin(θ + π 4). 因为|PA|≥0,|PB|≥0,所以 0≤θ≤π 2. 所以 10≤|PA|+|PB|≤2 5,故选 B. 17.(2013·重庆·理 T7)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(  ) A.5 2-4 B. 17-1 C.6-2 2 D. 17 【答案】A 【 解 析 】 圆 C1,C2 的 圆 心 分 别 为 C1,C2, 由 题 意 知 |PM| ≥ |PC1|-1,|PN| ≥ |PC2|-3, ∴ |PM|+|PN| ≥ |PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4 的最小值.又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2,-3), 所以|PC1|+|PC2|-4 的最小值为|C3C2|-4= (2 - 3)2 + ( - 3 - 4)2-4=5 2-4,故选 A. 18.(2013·湖南·理 T8)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 为边 AB 上异于 A,B 的一点,光线从点 P 出 发,经 BC,CA 反射后又回到点 P.若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于(  ) A.2 B.1 C.8 3 D.4 3 【答案】D 【解析】以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角坐标系如图所示. 则 A(0,0),B(4,0),C(0,4). 设△ABC 的重心为 D,则 D 点坐标为(4 3,4 3). 设 P 点坐标为(m,0),则 P 点关于 y 轴的对称点 P1 为(-m,0),因为直线 BC 方程为 x+y-4=0,所以 P 点关于 BC 的对称点 P2 为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2 均在 QR 所在直线上, ∴kP1D = kP2D,即 4 3 4 3 + m = 4 3 - 4 + m 4 3 - 4 , 7 解得,m=4 3或 m=0. 当 m=0 时,P 点与 A 点重合, 故舍去.∴m=4 3. 19.(2012·浙江·理 T3)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】l1 与 l2 平行的充要条件为 a(a+1)=2×1 且 a×4≠1×(-1),可解得 a=1 或 a=-2,故 a=1 是 l1∥l2 的 充分不必要条件. 20.(2010·安徽·文 T4)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是(  ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 【答案】A 【解析】设直线方程为 x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得 c=-1,故直线方程为 x-2y-1=0. 二、填空题 1.(2019·江苏·T10)在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 y=x+4 x(x>0)上的一个动点,则点 P 到直线 x+y=0 的 距离的最小值是  . 【答案】4 【解析】当直线 x+y=0 平移到与曲线 y=x+4 x相切位置时,切点 Q 即为点 P 到直线 x+y=0 的最小距离的点,有 y'= (x + 4 x)'=1- 4 x2=-1(x>0),得 x= 2(- 2舍). 此时 y= 2 + 4 2=3 2,即切点 Q( 2,3 2), 则切点 Q 到直线 x+y=0 的距离为 d=| 2 + 3 2| 12 + 12 =4,即为所求最小值. 2.(2019·天津·理 T12)设 a∈R,直线 ax-y+2=0 和圆{푥 = 2 + 2푐표푠휃, 푦 = 1 + 2푠푖푛휃 (θ 为参数)相切,则 a 的值为____. 【答案】3 4 8 【解析】由{푥 = 2 + 2푐표푠휃, 푦 = 1 + 2푠푖푛휃 (θ 为参数), 得(x-2)2+(y-1)2=4, 圆心为(2,1),r=2. 由直线与圆相切,得|2푎 - 1 + 2| 푎2 + 1 =2, 解得 a=3 4. 3.(2019·浙江·T12)已知圆 C 的圆心坐标是(0,m),半径长是 r.若直线 2x-y+3=0 与圆 C 相切于点 A(-2,-1), 则 m=  ,r=  . 【答案】-2 5 【解析】由题意知 kAC=-1 2⇒AC:y+1=-1 2(x+2),把(0,m)代入得 m=-2,此时 r=|AC|= 4 + 1 = 5. 4.(2018·天津·文 T12)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为  . 【答案】x2+y2-2x=0 【解析】画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为 1,所以所求圆 的方程为(x-1)2+y2=1,即 x2+y2-2x=0. 5.(2018·全国 1·文 T15)直线 y=x+1 与圆 x2+y2+2y-3=0 交于 A,B 两点,则|AB|=  . 【答案】2 【解析】圆的方程可化为 x2+(y+1)2=4, 故圆心 C(0,-1),半径 r=2,圆心到直线 y=x+1 的距离 d=|0 - ( - 1) + 1| 2 = 2, 所以弦长|AB|=2 푟2 - 푑2=2 4 - 2=2 2. 6.(2018·天津·理 T12)已知圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 C, 直线{푥 = -1 + 2 2 푡, 푦 = 3 - 2 2 푡 (t 为参数)与该圆相交于 A,B 两 点,则△ABC 的面积为_____________. 【答案】1 2 【解析】圆 C 的方程可化为(x-1)2+y2=1,得圆心为 C(1,0),半径为 1. 9 由{푥 = -1 + 2 2 푡, 푦 = 3 - 2 2 푡 (t 为参数),可得直线的普通方程为 x+y-2=0. 所以圆心 C(1,0)到直线 x+y-2=0 的距离 d=|1 + 0 - 2| 1 + 1 = 2 2 . 所以|AB|=2 1 - ( 2 2 )2 = 2. 所以 S△ABC=1 2·|AB|·d=1 2 × 2 × 2 2 = 1 2. 7.(2016·全国 1·文 T15)设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则圆 C 的面积 为  . 【答案】4π 【解析】圆 C 的方程可化为 x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为 x-y+2a=0, 所以圆心坐标为(0,a),半径 r2=a2+2,圆心到直线的距离 d=|푎| 2 .由已知( 3)2+푎2 2 =a2+2,解得 a2=2,故圆 C 的面 积为 π(2+a2)=4π. 8.(2016·上海·理 T3)已知平行直线 l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则 l1,l2 的距离是  . 【答案】2 5 5 【解析】d= |C1 - C2| A2 + B2 = | - 1 - 1| 22 + 12 = 2 5 5 . 9.(2016·浙江·文 T10)已知 a∈R,方程 a 2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标是  ,半径 是  . 【答案】(-2,-4) 5 【解析】由题意,可得 a2=a+2,解得 a=-1 或 2.当 a=-1 时,方程为 x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆 心为(-2,-4),半径为 5;当 a=2 时,方程为 4x2+4y2+4x+8y+10=0,(x + 1 2)2 +(y+1)2=-5 4不表示圆. 10.(2016·天津·文 T12)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上,点 M(0, 5)在圆 C 上,且圆心到直线 2x-y=0 的 距离为4 5 5 ,则圆 C 的方程为  . 【答案】(x-2)2+y2=9 【解析】设圆心 C 的坐标为(a,0)(a>0),则|2a| 5 = 4 5 5 ⇒a=2.又点 M(0, 5)在圆 C 上,则圆 C 的半径 r= 22 + 5 =3. 故圆 C 的方程为(x-2)2+y2=9. 11.(2016·全国 3·理 T16 文 T15)已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点.若|AB|=2 3,则|CD|=  . 10 【答案】4 【解析】因为|AB|=2 3,且圆的半径 R=2 3, 所以圆心(0,0)到直线 mx+y+3m- 3=0 的距离为 푅2 - (|퐴퐵| 2 )2 =3. 由|3푚 - 3| 푚2 + 1 =3,解得 m=- 3 3 . 将其代入直线 l 的方程,得 y= 3 3 x+2 3,即直线 l 的倾斜角为 30°. 由平面几何知识知在梯形 ABDC 中, |CD|= |퐴퐵| 푐표푠30°=4. 12.(2015·江苏·T10)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有 圆中,半径最大的圆的标准方程为  . 【答案】(x-1)2+y2=2 【解析】(方法一)设 A(1,0).由 mx-y-2m-1=0,得 m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点 P(2,-1),即该方程表示所 有过定点 P 的直线系方程. 当直线与 AP 垂直时,所求圆的半径最大. 此时,半径为|AP|= (2 - 1)2 + ( - 1 - 0)2 = 2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. (方法二)设圆的半径为 r,根据直线与圆相切的关系得 r=|푚 + 1| 1 + 푚2 = 푚2 + 2푚 + 1 푚2 + 1 = 1 + 2푚 푚2 + 1, 当 m0), 所以 (a - 0)2 + (0 - 2)2=4-a,解得 a=3 2,故圆心为 (3 2,0),此时半径 r=4-3 2 = 5 2,因此该圆的标准方程是 11 (x - 3 2)2 +y2=25 4 . 14.(2014·重庆·理 T13)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为 等边三角形,则实数 a=   . 【答案】4± 15 【解析】由△ABC 为等边三角形可得,C 到 AB 的距离为 3,即(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离 d=|푎 + 푎 - 2| 1 + 푎2 = 3,即 a2-8a+1=0,可求得 a=4± 15. 15.(2014·陕西·理 T12)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程 为  . 【答案】x2+(y-1)2=1 【解析】因为(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1),所以圆 C 是以(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,其方程为 x2+(y-1)2=1. 16.(2011·浙江·文 T12)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m=  . 【答案】1 【解析】由题意知 1×2+(-2)·m=0,即 m=1. 17.(2010·全国·理 T15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y-1=0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为   . 【答案】(x-3)2+y2=2 【解析】由题意知 A,B 两点在圆 C 上, ∴线段 AB 的垂直平分线 x=3 过圆心 C. 又圆 C 与直线 y=x-1 相切于点 B(2,1), ∴kBC=-1. ∴直线 BC 的方程为 y-1=-(x-2), 即 y=-x+3. y=-x+3 与 x=3 联立得圆心 C 的坐标为(3,0), ∴r=|BC|= (3 - 2)2 + (0 - 1)2 = 2. ∴圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2. 18.(2010·全国·文 T13)圆心在原点且与直线 x+y-2=0 相切的圆的方程为   . 【答案】x2+y2=2 【解析】圆心(0,0)到直线 x+y-2=0 的距离 R= | - 2| 12 + 12 = 2.∴圆的方程为 x2+y2=2. 三、计算题 12 1.(2015·全国 1·文 T20)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)若푂푀·푂푁=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 【解析】(1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1. 因为 l 与 C 交于两点, 所以|2푘 - 3 + 1| 1 + 푘2