2010-2019十年高考数学真题分类汇编13排列组合与二项式定理（附解析）

1 十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学 专题 13 排列组合与二项式定理 一、选择题 1.(2019·全国 3·理 T4)(1+2x2)(1+x)4 的展开式中 x3 的系数为(  ) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】A 【解析】(1+2x2)(1+x)4 的展开式中 x3 的系数为C34+2C14=4+8=12.故选 A. 2.(2018·全国 3·理 T5) (x2 + 2 x)5 的展开式中 x4 的系数为(  ) A.10 B.20 C.40 D.80 【答案】C 【解析】由展开式知 Tr+1=Cr5(x2)5-r(2x-1)r=Cr52rx10-3r.当 r=2 时,x4 的系数为C2522=40. 3.(2017·全国 1·理 T6)(1 + 1 x2)(1+x)6 展开式中 x2 的系数为(  ) A.15 B.20 C.30 D.35 【答案】C 【解析】(1+x)6 的二项展开式通项为 Tr+1=C푟6xr,(1 + 1 푥2)(1+x)6 的展开式中含 x2 的项的来源有两部分,一部分 是 1×C26x2=15x2,另一部分是 1 푥2 × C46x4=15x2,故(1 + 1 푥2)(1+x)6 的展开式中含 x2 的项为 15x2+15x2=30x2,其系数 是 30. 4.(2017·全国 3·理 T4)(x+y)(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为(  ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 【答案】C 【解析】(2x-y)5 的展开式的通项公式 Tr+1=C푟5(2x)5-r(-y)r. 当 r=3 时,x(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C35×22×(-1)3=-40; 当 r=2 时,y(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C25×23×(-1)2=80. 故展开式中 x3y3 的系数为 80-40=40. 5.(2017·全国 2·理 T6)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的 安排方式共有(  ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 【答案】D 2 【解析】先把 4 项工作分成 3 份有 C2 4C1 2C1 1 A2 2 种情况,再把 3 名志愿者排列有A33种情况,故不同的安排方式共有 C2 4C1 2C1 1 A2 2 ·A33=36 种,故选 D. 6.(2016·四川·理 T2)设 i 为虚数单位,则(x+i)6 的展开式中含 x4 的项为(  ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4 【答案】A 【解析】二项式(x+i)6 展开的通项 Tr+1=C푟6x6-rir,则其展开式中含 x4 是当 6-r=4,即 r=2,则展开式中含 x4 的 项为C26x4i2=-15x4,故选 A. 7.(2016·全国 2·理 T5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(  ) A.24 B.18 C.12 D.9 【答案】B 【解析】由题意知,小明从街道的 E 处出发到 F 处的最短路径有 6 条,再从 F 处到 G 处的最短路径有 3 条,则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 6×3=18,故选 B. 8.(2016·全国 3·理 T12)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k≤2m,a1,a2,…,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有(  ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 【答案】C 【解析】由题意知 a1=0,a8=1,则满足题意的 a1,a2,…,a8 的可能取值如下: 3 综上可知,不同的“规范 01 数列”共有 14 个. 9.(2016·四川·理 T4)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(  ) A.24 B.48 C.60 D.72 【答案】D 【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为 1,3,5 中的一个,其他位置共有A44种排法,所以其 中奇数的个数为 3A44=72,故选 D. 10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(  ) A.144 个 B.120 个 C.96 个 D.72 个 【答案】B 【解析】当首位数字为 4,个位数字为 0 或 2 时,满足条件的五位数有 C12A34个;当首位数字为 5,个位数字为 0 或 2 或 4 时,满足条件的五位数有C13A34个.故满足条件的五位数共有C12 A34 + C13A34=(2+3)A34=5×4×3×2×1=120 个.故选 B. 11.(2015·全国 1·理 T10)(x2+x+y)5 的展开式中,x5y2 的系数为(  ) A.10 B.20 C.30 D.60 【答案】C 【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5 的展开式通项为 Tr+1=C푟5(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,…,5). 由题意,y 的幂指数为 2,故 r=2. 对应的项为C25(x2+x)3y2=10(x2+x)3y2. 记(x2+x)3的展开式通项为 Ts+1=C푠3(x2)3-sxs=C푠3x6-s(s=0,1,2,3),由题意令 6-s=5,得 s=1.故所求项的系数为 10 4 C13=30. 12.(2015·陕西·理 T4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中 x2 的系数为 15,则 n=(  ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】(x+1)n 的展开式通项为 Tr+1=Crnxn-r. 令 n-r=2,即 r=n-2. 则 x2 的系数为Cn-2 n = C2n=15,解得 n=6,故选 B. 13.(2015·湖北·理 T3)已知(1+x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 和为(  ) A.212 B.211 C.210 D.29 【答案】D 【解析】由条件知C3n = C7n,∴n=10. ∴(1+x)10 中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 210-1=29. 14.(2014·大纲全国·理 T5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小 组,则不同的选法共有(  ) A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 【答案】C 【解析】从 6 名男医生中选出 2 名有C26种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有C15种选法,故共有C26·C15 = 6 × 5 2 × 1 ×5=75 种选法,选 C. 15.(2014·辽宁·理 T6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  ) A.144 B.120 C.72 D.24 【答案】D 【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故排法种数为A34=24.故选 D. 16.(2014·四川·理 T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共 有(  ) A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 【答案】B 【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C14A44.因此不同的 5 排法的种数为A55 + C14A44=120+96=216. 17.(2014·重庆·理 T9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序, 则同类节目不相邻的排法种数是(  ) A.72 B.120 C.144 D.168 【答案】B 【解析】第 1 步,先排歌舞类节目,有A33=6 种排法,排好后有 4 个空位. 第 2 步,排另 3 个节目,因为 3 个歌舞节目不相邻,则中间 2 个空位必须安排 2 个节目.分两类情况: ①中间两个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声节目,有C12A22=4 种排法,最后一个小品类节目排两端,有 2 种方法.共有 6×4×2=48 种排法. ②中间两个空位安排 2 个小品类节目,有A22=2 种排法,排好后有 6 个空位,选 1 个将相声类节目排上,有 6 种排法.共有 6×2×6=72 种排法. 所以一共有 48+72=120 种排法. 18.(2014·四川·理 T2)在 x(1+x)6 的展开式中,含 x3 项的系数为(  ) A.30 B.20 C.15 D.10 【答案】C 【解析】含 x3 的项是由(1+x)6 展开式中含 x2 的项与 x 相乘得到,又(1+x)6 展开式中含 x2 的项的系数为C26 =15, 故含 x3 项的系数是 15. 19.(2014·湖南·理 T4) (1 2x - 2y)5 的展开式中 x2y3 的系数是(  ) A.-20 B.-5 C.5 D.20 【答案】A 【解析】由已知,得 Tr+1=Cr5(1 2x)5-r (-2y)r=Cr5(1 2)5-r (-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z), 令 r=3,得 T4=C35(1 2)2 (-2)3x2y3=-20x2y3. 20.(2014· 浙 江 · 理 T5) 在 (1+x)6(1+y)4 的 展 开 式 中 , 记 xmyn 项 的 系 数 为 f(m,n), 则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(  ) A.45 B.60 C.120 D.210 【答案】C 【解析】∵(1+x)6 展开式的通项公式为 Tr+1=C푟6xr,(1+y)4 展开式的通项 6 公式为 Th+1=Cℎ4yh, ∴(1+x)6(1+y)4 展开式的通项可以为C푟6Cℎ4xryh. ∴f(m,n)=C푚6 C푛4. ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) =C36 + C26C14 + C16C24 + C34=20+60+36+4=120.故选 C. 21.(2013·全国 1·理 T9)设 m 为正整数,(x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y)2m+1 展开式的二项 式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=(  ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】由题意可知,a=Cm2m,b=Cm2m+1, ∵13a=7b,∴13·(2m)! m!m!=7· (2m + 1)! m!(m + 1)!, 即13 7 = 2m + 1 m + 1 ,解得 m=6.故选 B. 22.(2013·山东·理 T10)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(  ) A.243 B.252 C.261 D.279 【答案】B 【解析】构成所有的三位数的个数为C19C110C110=900,而无重复数字的三位数的个数为C19C19C18=648,故所求个数 为 900-648=252,应选 B. 23.(2013·全国 2·理 T5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=(  ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 【答案】D 【解析】因为(1+x)5 的二项展开式的通项为Cr5xr(0≤r≤5,r∈Z),则含 x2 的项为C25x2+ax·C15x=(10+5a)x2,所 以 10+5a=5,a=-1. 24.(2013·辽宁·理 T7)使(3x + 1 x x)n (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】(3x + 1 x x)n 展开式中的第 r+1 项为Crn(3x)n-rx-3 2r = Crn3n-rxn-5 2r,若展开式中含常数项,则存在 n∈N*,r ∈N,使 n-5 2r=0,故最小的 n 值为 5,故选 B. 25.(2013·大纲全国·理 T7)(1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是(  ) 7 A.56 B.84 C.112 D.168 【答案】D 【解析】因为(1+x)8 的展开式中 x2 的系数为C28,(1+y)4 的展开式中 y2 的系数为C24,所以 x2y2 的系数为C28C24 =168.故选 D. 26.(2012·湖北·理 T5)设 a∈Z,且 0≤a